精品解析： 陕西省西安市阎良区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷

2020-2021学年陕西省西安市阎良区八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 3. 一个正多边形的内角和比外角和多，则该正多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 5. 如果的积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 7. 如图，，且，于点，于点．若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，则的度数可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，，、分别平分的外角、，连接．以下结论：；；；平分．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 _____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，则点的坐标为______． 13. 如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是___________； 14. 如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为______． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：a3b-2a2b2+ab3． 16. 化简：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，作关于y轴对称的图形，并写出点A、B、C的对应点的坐标． 18. 如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由． 20. 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 21. 如图，在中，AD是角平分线，，，． （1）求的度数． （2）若，求点D到AB的距离． 22. 一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．这项工程预期几天完成？ 23. 如图，在中，，于点，为的中点，与交于点，且． 求证： （1）； （2）是等腰三角形． 24. 长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． （1）用含a、b的式子分别表示S1和S2； （2）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 25. 如图，张老师在黑板上画出了一个，其中．让同学们进行探究． （1）探究一：如图，小明以为边在内部作等边，连接．请直接写出的度数______； （2）探究二：如图，小彬在（）的条件下，又以为边作等边，连接．判断与的数量关系，并说明理由； （3）探究三：如图，小聪在（）的条件下，连接．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年陕西省西安市阎良区八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的特点即可求解． 【详解】A是轴对称图形，B,C,D均不是轴对称图形 故选A． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形的特点． 2. 已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可解答． 【详解】解：设此三角形第三边的长为x， 则，即， 四个选项中只有9符合条件． 故选：D． 3. 一个正多边形的内角和比外角和多，则该正多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设正多边形边数为n，根据多边形内角和与个角和定理，以一个正多边形的内角和比外角和多为等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设正多边形边数为n，根据题意，得 (n-2)×180-360=360 解得：n=6， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和与外角和定理，利用方程思想求解是解题词的关键． 4. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 5. 如果的积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出m-9=0，求出即可． 【详解】解：（x-3）（3x+m） =3x2+mx-9x-3m =3x2+（m-9）x-3m， ∵（x-3）（3x+m）的积中不含x的一次项， ∴m-9=0， 解得：m=9， 故选：C． 【点睛】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值．不含x的某一项的题型，需要将含参数的式子，化简成关于x的降幂或者升幂的形式，并使得不含x的此项的系数为0，建立方程（组）求解即可． 6. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 7. 如图，，且，于点，于点．若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得出，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，则的度数可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵点P是线段AB上的一个动点， ∴， ∴的度数可能是． 故选：C． 9. 如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先证，再证是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 10. 如图，，、分别平分的外角、，连接．以下结论：；；；平分．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角的性质结合已知可得，根据平行线的判定定理，可判断，由角平分线的定义和三角形外角的性质，可判断，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断，由等边对等角，结合角平分线的定义，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； 根据已知条件无法得出，故错误； ∵平分， ∴， 由得， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，而， ∴，故错误； ∴正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握是解题关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 医用外科口罩的熔喷布厚度为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示为 _____． 【答案】1.56×10﹣4 【解析】 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000156＝1.56×10﹣4． 故答案为：1.56×10﹣4． 【点睛】本题考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握绝对值小于1的数用科学记数法表示的方法． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点．具体来说，如果两个点关于轴对称，那么这两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；根据已知点的坐标求出其关于轴对称点的坐标． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是___________； 【答案】11 【解析】 【分析】按照长方形面积公式计算所拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可得解． 【详解】解：∵（a＋3b）（3a＋2b）＝3a2＋11ab＋6b2， ∵一张C类卡片的面积为ab， ∴需要C类卡片11张． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，属于基础知识的考查，比较简单． 14. 如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：a3b-2a2b2+ab3． 【答案】ab（a-b）2． 【解析】 【分析】首先提取公因式ab，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】解：a3b-2a2b2+ab3 =ab（a2-2ab+b2） =ab（a-b）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算． 首先将原式括号中两项通分，再利用同分母分式的减法法则计算合并，然后把除法转化为乘法，接着因式分解后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，作关于y轴对称的图形，并写出点A、B、C的对应点的坐标． 【答案】图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图． 根据轴对称作关于y轴对称的图形，根据平面直角坐标系即可得到的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求； 由图可知，． 18. 如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段的方法是解答本题的关键．作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，根据作一个角等于已知角的方法作，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 【详解】解：作法：作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 根据作一个角等于已知角的方法作； 以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 19. 小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由． 【答案】小明的做法可行，理由见解析． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠DPO＝∠POM，根据等腰三角形的性质得到∠DPO＝∠DOP，由等量代换得到∠POM＝∠DOP，由此可判断小明的做法可行． 【详解】解：小明的做法可行．理由如下： 在直角尺DEMN中，DN∥EM， ∴∠DPO＝∠POM， ∵DP＝OD， ∴∠DPO＝∠DOP， ∴∠POM＝∠DOP， ∴OC平分∠AOB． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，能灵活应用平行线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 20. 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 【答案】 证明：∵AD是高， ∴ AD⊥BC, 又 BD=DE ∴ AD所在的直线是线段BE的垂直平分线 ∴AB=AE 于是 AB+BD=AE+DE 又 AB+BD=DC ∴ DC=AE+DE 即 DE+EC=AE+DE ∴ EC=AE ∴ 点E在线段AC的垂直平分线上 【解析】 【详解】此题考查三角形中垂直平分线 略 点评：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等． 21. 如图，在中，AD是角平分线，，，． （1）求的度数． （2）若，求点D到AB的距离． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的内角和． （1）由已知和三角形的内角和求出，再根据角平分线以及直角三角形两锐角互余的关系，即可求出的度数； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质定理即可得出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点D作于点F，如图所示， ∵AD是的角平分线，且，， ∴， 即点D到AB的距离为3． 22. 一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．这项工程预期几天完成？ 【答案】这项工程预期20天完成． 【解析】 【分析】首先设规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要（x+5）天．根据题意可得等量关系：甲干4天的工作量+乙干x天的工作量=1，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要（x+5）天． 由题意可列方程：＝1， 解这个方程得：x＝20 检验：x＝20时，x（x+5）≠0． 故x＝20是原方程的解． 答：这项工程预期20天完成． 【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程 23. 如图，在中，，于点，为的中点，与交于点，且． 求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质证出，根据全等三角形的判定定理，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而推出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． （1）用含a、b的式子分别表示S1和S2； （2）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 【答案】（1）， （2） ， ， ， ， 所以与的差一定是5的倍数． 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意及整式的乘法求解即可； （2）根据（1）中结果作差，然后分解因式即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 【小问2详解】 略 25. 如图，张老师在黑板上画出了一个，其中．让同学们进行探究． （1）探究一：如图，小明以为边在内部作等边，连接．请直接写出的度数______； （2）探究二：如图，小彬在（）的条件下，又以为边作等边，连接．判断与的数量关系，并说明理由； （3）探究三：如图，小聪在（）的条件下，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要运用等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质来求解．通过证明三角形全等得到角和边的关系，进而求出相关角度和线段长度． ()先由、证得，得到，再根据周角为结合，计算出； ()由和是等边三角形，得出，且推导出；进而证得，所以； ()由，得，结合是等边三角形，推出；在中，根据得出，再由，得；根据勾股定理得，最后由，得出． 【小问1详解】 解：（1）探究一：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 探究二：结论：． 理由：∵都是等边三角形 ∴，，． ∴ ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【小问3详解】 探究三：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵，，， 由勾股定理得，， ∵是等边三角形 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $