四川省绵阳第一中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题（二）

绵阳一中2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试（二) 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知全集R,集合A={xx2-2x>0},则下列关系正确的是() A.1∈A B.O≤A C.CRA={x0<x<2} D.A∩O=A 2.关于函数f(x)=x-2,下列说法错误的是() A.函数的定义域为(-∞，0)U(0,+o) B.函数的值域为(0，+oo) C.函数在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 D.函数是偶函数 3.已知复数z的共轭复数是z,且z=z+1一2i(为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知向量1=2，b=(0,1)且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为() A.Z B.g c Da 5.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1，p),则n-m-p为() A.-24 B.-20 C.0 D.4 6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈W*),则an等于() A.0,卫+2n-1-1 B.n0,D+2n-1 2 2 C.nt1+2n+1-1 D.n卫+2n+1-1 2 2 7.若对任意的x1,x∈(m,+o),且当x1<x2时，都有1-n2>3 则m的最小值是() X1-X2 A.e B号 C.3 D 8.某同学用收集到的6组数据对(x,y)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标）， 并由最小二乘法计算得到回归直线L1的方程：夕=1x+@,相关系数为r1,决定系数为子：经过残差分 析确定点E为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线2的方 程：夕=b2x+2,相关系数为r2,决定系数为R.则以下结论中，正确的是() E(5,5) F(7,4.2) D(3,3) (2,2.3) B(1,2 A(0,1.5) ①m1>0,r2>0;②b1>0,b2>0;③61>b2；④R2>R A.①② B.①②③ C.②④ D.②③④ 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个等式其中正确的是() A.tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3 tan22.5° B.1-tan22.5 1 c.cos2g-sim28=号 8 D.,1.3 sn10-co810=4 10.下列说法正确的是() A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D.样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8，则2x1一1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为32 11.以下四个关于圆锥曲线的命题：则其中正确的说法是() A.直角坐标系内，到点(-1,2)和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线 B.设A,B为两个定点，若|PA-IPB=2,则动点P的轨迹为双曲线 C.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率 D若直线mx+W=4和圈0：平+y严=4锻有交点，则过点P(m)的直线与椭圆号+号-1的交点个数为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=4-2x+2-1,x∈[0,2]，则其值域为 13.与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+√3y=0相切于点M(3,-V3)的圆的方程为 14己知数列an满足：a1=1,2=a1+2+ =号，1+2+…+血=也+6(0n≥2且n∈N+),等比数列b}公比 an an-1 q=2,则数列侣的前n项和5n=一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知向量石=(2cosx,1),万=(W3sinx+cosx,-1),函数f(x)=a.b. (1)若fx)-号，x∈[匠，，求cos2xo的值； (2)若函数y=fwx)在区间G,受上是单调递增函数，求正数ω的取值范围。 16.(本小题15分) 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x( 亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当0<x≤16时，建立了y与x的两个回归模型： 模型①=4.1x+11.8;模型②：=21.3Vx-14.4: 当x>16时，确定y与x满足的回归方程为：)=-0.7x+a. (1)根据下列表格中的数据，比较当0<x≤16时模型①、②的相关指数2，并选择拟合精度更高、更可 靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 =4.1x+11.8 =21.3Vx-14.4 .0-)2 182.4 79.2 台 (附1：刻画回归效果的相关指数R2=1-婴 张10y:-)2 (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N(0.52,0.012),公司对科 技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励：若发动机的热效率超过50%但不 超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获 得奖励的分布列和数学期望. (附2：随机变量服从正态分布N(4,σ2)，则P(u-o<<u+o)=0.6827,P(u-2o<<u+2o)= 0.9545.) 17.(本小题15分) 如图，平面SAC1平面ACB,ASAC是边长为4V3的等边三角形，△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC= 4, A ①当M为AB的中点时，求三棱锥M-BCS的体积： ()求二面角A-SB-C的正弦值. 18.(本小题17分) 已知动点M(化，y)到定点F(-1,0)的距离和M化，y)到直线：x=-2的距离的比是常数 (1)求点M的轨迹C; (2)若A为轨迹C与x轴左侧的交点，直线PQ交轨迹C于P、Q两点（不与A重合），连接PA、QA,并延长交直 线于M、N两点，且MF LNF,问：直线PQ是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理 由： (3)在(2)的条件下，若直线PQ斜率k的取值范围是[1,2]，求△FMN面积的取值范围. 19.(本小题17分) 己知函数f(x)=(1+a)x+xlnx,a∈R. (1)当a=-2时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)当a=1时，求f(x)的极值： (3)若f(x)≤ex-a+x2恒成立，求a的取值范围。 绵阳一中2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟二答案 一.单项选择题。（共40分) 1-4 BCDB 5-8 BBCB 二.多项选择题。（共18分) 9.AD 10.AC 11.CD 三.填空题。(15分) 12.[-5,-1] 13.(x-4)2+y2=4 14.(2n-3).2m+1+6 四.解答题。(77分) 15.(13分)解：(1)f(x)=i.万=2cosx(W3sinx+cosx)-1=V3sim2x+cos2x=2sin(2x+ ?,因为fxo)=号所以2sin(2x+3=号即sin(2x+3=号 因为呢.所以号<2+<g 所以cos(2o+9=-√1-sin2(2x0+爱=-号 所以cos2x0=cos【(2x0+?-月=2cos(2+9+sin(2x0+9 =受×（自+×号=20 10 (2)y=f(@x)=2sin (2ox+. 2kn-<2wx+<2km+kEZ 得绍-无<x<+乙kEz 因为函数y=f(ωx)在区间（仔，）上是单调递增函数， 所以存在ko么，使得凭3（倍-品+急， 所以有 g-品<号即3 ko亚 2π’ +品> (6k0+1≥4w1 因为w>0,所以k>-名 又因为号-晋<×无所以0<w<则3k。<1+2所以k。<君 从而有-名<k≤名所以k知=0，所以0<w< 16.（15分)解：(1)由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为1- 182.4 79.2 ,0-<1-00y- 所以模型①的2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当x=16万元时，科技改造直接收益的预测值为： 夕=21.3×V16-14.4=70.8(万元)： (2)因为P(0.52-0.02<X<0.52+0.02)=0.9545, 所以P(X≤0.5)=1-09545=0.02275， 2 因为P(0.52-0.01<X<0.52+0.01)=0.6827, 所以P(X>0.53)= 1-0.6827=0.15865, 2 所以P(0.50<X≤0.53)=1-0.15865-0.02275=0.8186， 设每台机器人获得的奖励为Y(万元)，则Y的分布列为： 0 2 4 P0.02275 0.8186 0.15865 所以每台机器人获得奖励的数学期望 E(Y)=0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865=2.2718(万元) 17.(15分)解：(1)如图，连接SM,MC.作AC的中点N,连接SN. △SAC是边长为4V3的等边三角形，N是AC的中点， 所以SN=6,SN⊥AC, :平面SAC1平面ACB,又平面SAC∩平面ACB= AC,SN⊥AC, 根据面面垂直的性质定理可知：SN1平面ABC, 所以SN是三棱锥S-ABC的高， 由题意可知：M-8cs=北，-Ac=×××4× 4vV3×6=8V3, 故三棱锥M-BCS的体积为8V3. (2)连接MN,在△ACB中，AC1BC,MN/BC,所以MN1AC, 因而SN,MN,AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图. ∴A(2V3,0,0),B(-2V3,4,0),S(0,0,6),C(-2√3,0,0) .5B=(-2V3,4,-6),S元=(-2V3,0,-6),SA=(2W3,0,-6): 设元=(x1,y1,Z1),2=(x2,y2,22)分别是面ASB、面CSB的法向量， 则低西25+641=0化3 m·SA=2W3x1-6z1=0 (x1=V3z1 令21=1，则m1=(W3,3,1) 同理可得：n2=(-√3,0,1)： n12=-2,=V3,2=2, “与n2所成的角的余弦值为cos9=-,正弦值为sim0=2V型 13 13 故二面角A-SB-C的正弦值为2y3型 13 18。(17分)解：（①由题意：++y=2 x+21 2 化简得：号+y2=1,即点M的轨迹c为号+y2=1; (2)由已知得：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=kx+b, 联立号+y2=1得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0, 由4>0得b2<2k2+1, 设P(x1y1),Q(x2,y2),则由根与系数关系得： 名+=名品 4kb 则PM:y=Hx+V2),QN:y=,nx+V②， 解得M(-2,（N7-2,N(-2,(V2-2) , 则MF=(1,本2-V2),派=1，h2-V2), 由MF1NF得MF.N下=1+，6-422 x1x2+W2c1+x2)+2 =0, 代入化简行：D不 1 解得b=k或b=√2k(舍)，经检验，满足4>0， 故PQ:y=kx+k经过定点(-1,0)： 3)油(2得5awN-1-wN=w-w=2马10 2-V2|k(x1+1)x2+V2k(x1+1)-k(x2+1)x1-V2k(x2+1) 2 x1x2+V2(x1+x2)+2 =2-2V2-1)k-x2) 2x1x2+W2(x1+x2)+2 4k2 将x1+x2=-2k2+1x1X2=2k24, 代入化简得：SAFMN=J1+是 叉kE1,2],所以e层即1+是e尽，2]， 故5aMw=√1+是E[吃，Va, 19.(17分)解：(I)因为a=-2,所以f(x)=-x+xlnx,则f'(x)=-1+lmx+1=lmx. 又f(e)=-e+e=0,f'(e)=1, 故曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-0=x-e, 即x-y-e=0; (IⅡ)当a=1时，f(x)=2x+xnx,x>0,则f'(x)=2+lnx+1=3+lnx,x>0. 令3+lnx=0,得x=e-3,当0<x<e-3时，f'(x)<0,f(x)在(0，e-3)上单调递减； 当x>e-3时，f'(x)>0,f(x)在(e-3,+oo)上单调递增： 所以当x=e-3时，f(x)有极小值为f(e-3)=2e-3+e-3me-3=-,f()没有极大值. (ID由f(x)≤ex-a+x2得，(1+a)x+xlnx≤ex-a+x2, 即1+a+lx<+x恒成立，也即+x-nx-a-1>0,xc0,+)恤成立， 令g(x)=e- +x-lnx-a-1,只需g(x)min>0 因为g'x)=e-0e*”+1-1=-1e-+ x2 x2 因为x>0,所以ex-a+x>0,所以当0<x<1时，g(x)<0,g(x)单调递减： 当x>1时，g(x)>0,g(x)单调递增； 所以当x=1时，g(x)有最小值为g(1)=e1-a-a,所以e1-a-a>0 令h(a)=e1-a-a,则h'(a)=-e1-a-1<0,所以h(a)在R上单调递减，又h(1)=0 所以当a≤1时，h(a)≥0， 所以a的取值范围为(-∞，1]