河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期开学测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数满足，则复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．1 D．0 3．在等差数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在平面内，(为常数，且)，动点满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 5．除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度.可用（其中为常数）近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d之间的关系.若1号天体的绝对星等为0.54，目视星等为0.04，2号天体的绝对星等为，目视星等为，则观测者与1号天体和2号天体的距离的比值约为（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，从直线以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．对于随机事件与，若，，则事件与独立 C．若随机变量，，若最大，则 D．设随机变量服从正态分布，若，则 10．已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．是以4为周期的周期函数 C． D．函数与函数的图象有8个不同的公共点 11．已知O为坐标原点，抛物线的焦点F为，过点的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（    ）． A．的最小值为 B．直线与抛物线C相交的弦长为8 C．当时，点P到直线l的距离的最大值为 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数且a≠1)的图象过定点Q，且角a的终边也过点Q，则 . 13．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 ． 14．已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足，记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和． 16．（15分）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 17．（15分）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 18．（17分）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点、、、汇聚为一点，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹． (1)证明底面； (2)设点为上的点，且二面角的正切值为，试求与平面所成角的正弦值． 19．（17分）在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点． (1)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (2)求四边形面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期开学测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C A D B D D BCD ABD BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，然后与原式结合，两式相减并化简求出，最后根据等差数列的定义求得答案； （2）结合（1），分别讨论，和三种情况，分别求出，进而求出. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，所以． 又，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以. （2）由得，当时，， 当时，， 当时，， 所以 . 16．(1) (2)单调递增区间，，单调递减区间. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. （2）因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，令，结合导数可求出的取值范围，即为所求. 【详解】（1）因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． （2）在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 又，设，设，其中， ， 由可得，由可得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，， 又因为，，故的取值范围为， 即的取值范围为. 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定可证得结论； （2）连接，取的中点，连接，证明出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用已知条件求出，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：由菱形的边长为，，， 所以，，即有，同理可得， 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得，， ，底面. （2）解：连接，取的中点，连接， 由已知，，故为等边三角形， 因为为的中点，则，因为，则， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 平面，、平面，则，， 故二面角的平面角为， 由题意可得，可得， 易知点、、、、， 设点，其中，，， 所以，，整理可得， 解得或（舍），故点， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，. 因此，与平面所成角的正弦值为. 19．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得； （2）根据图形，可得四边形的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1） 由题意知，，椭圆： 如图，设， 当时，直线的方程为：，代入， 得，则，从而，点 又直线的方程为：，代入， 得则，从而，点 由对称性知，定点在轴上，设为 由，即，化简得， 因故得，解得. 即直线过定点，而当时，直线也过定点． 综上，直线恒过定点． （2） 由图可知四边形的面积为 ， 令，当且仅当时等号成立， 因在上单调递增，而， 故当时，四边形面积有最大值． 【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大. 求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即可. $