精品解析：山西省山西现代双语学校南校2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题

山西现代双语学校南校高二年级开学测试数学试题 总分： 100 分 考试时间： 60分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集的个数是（ ） A. 7 B. 3 C. 4 D. 8 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数 A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为自然数对数的底数），若，，，则　　 A. B. C. D. 7. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c表示不同直线，表示平面，下列四个命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 在边长为2的正中，满足相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上投影向量为 11. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确是（ ） A. 为中点 B. 与所成的角为 C. 平面 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为__________. 13. 如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（其中为的倒数）的最小值为________． 四、解答题：本大题共2小题，共30分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求直方图中的值； （2）求月平均用电量的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目，求参加节目的户来自不同组的概率． 16. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校南校高二年级开学测试数学试题 总分： 100 分 考试时间： 60分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集的个数是（ ） A. 7 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再由子集个数为即可求解. 【详解】由题意，1，， 有三个元素，其子集有8个． 故选：D． 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故选B. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，由求得，进而由求得结果. 【详解】由得：，解得：； . 故选：A. 4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解. 【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． 因为积水深9寸，所以水面半径为寸， 所以盆中水的体积为（立方寸）． 所以平地降雨量等于（寸）， 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 6. 已知函数为自然数对数的底数），若，，，则　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，比较，，大小关系，利用单调性求出． 【详解】解： ， 故， 而显然为减函数， 所以， 故选：． 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，角A的角平分线交BC于点D，可得，由可得，，在，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可知：，可求得，判断出为锐角，即可求得答案. 【详解】，角A的角平分线交BC于点D 又 ，解得 在中，由正弦定理可知： 即 ， 为锐角，故 . 故选：B. 8. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可 【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，即，所以函数为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，即， 所以函数是周期为的周期函数，当时，， 因当时，函数在上单调递增， 所以当时，，函数在上单调递增，故B错误； 对于C：因为函数图象关于直线对称，所以， 又函数是偶函数，所以，即，， 所以，所以关于对称，故C正确； 对于D：， 又时，，所以，故D正确； 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c表示不同的直线，表示平面，下列四个命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，或；在C中，a与b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得. 【详解】由题意知， A：若，则a与b相交、平行或异面，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则a与b相交、平行或异面，故C错误； D：若，则由线面垂直的性质定理得，故D正确. 故选：ABC 10. 在边长为2的正中，满足相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，以点为原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项判断作答. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，是上的点，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系如图： 则，又因为，即为边上的一个靠近的三等分点， 于是，设，则，而， 由三点共线得，解得，即，因此是的中点， 因为，所以，A正确； 因为，，B错误； 显然，，因此，C错误； 又因为， 所以在方向上的投影向量，D正确. 故选：AD 【点睛】关键点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 11. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而； 在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为； 在C中，推导出，，由此能证明平面； 在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于． 【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面， ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确； 在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角， ∵平面，平面，∴， 在中，，∴， ∴与所成角为，故B错误； 在C中，∵四边形为正方形，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，、平面， ∴平面，故C正确； 在D中，设，则， ． ∴，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由折线图写出每场比赛的分值并求，由求方差，进而可得标准差. 【详解】由图知，该运动员5场比赛的得分分别为10，13，12，14，16，则平均数为， ∴方差为，所以标准差为2. 故答案为：2. 13. 如图，三棱锥中， ，点分别是中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 【答案】 【解析】 【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直 线，所成角（或其补角）易得， ，， ∴，即异面直线，所成角的余弦值为. 考点：异面直线的夹角. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（其中为的倒数）的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先运用三角函数的两角和公式、二倍角公式，将原式化简为，结合均值不等式，即可求解． 【详解】， ， ，， ， ，， ，， ，当且仅当，即， 的最小值为3， 故答案为：3． 四、解答题：本大题共2小题，共30分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求直方图中的值； （2）求月平均用电量的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目，求参加节目的户来自不同组的概率． 【答案】（1） （2）中位数是，平均数是 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为，可得解； （2）根据频率分布直方图的中位数及平均数公式计算； （3）利用列举法计算古典概型概率. 【小问1详解】 由，得，所以直方图中的值是； 【小问2详解】 中位数：因为， 且， 所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，解得， 所以月平均用电量的中位数是． 平均数：； 【小问3详解】 月平均用电量在的用户有户， 月平均用电量在的用户有户， 月平均用电量在的用户有户． 抽样方法为分层抽样，在，，中的用户比为， 所以在，，中分别抽取户、户和户． 设参加节目的户来自不同组为事件，将来自的用户记为，，，来自的用户记为，，来自的用户记为，在户中随机抽取户，， 共包含个样本点，其中，包含样本点个数为， 故参加节目的户来自不同组的概率． 16. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. (2) 在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离. (3) 先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解. 【详解】(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ， 可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD， 又AB//CD，所以 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE. 又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB， 又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB (2)因为PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB. 又 PA=2， AB=1，所以. 因为正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中点，所以. 因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB， 所以 因为，PA⊥底面ABCD， 设点D到平面PBE的距离为d， 所以， 而 所以，即点D到平面PBE的距离为. (3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线. 取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI. 由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， 可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以 . 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH. 又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A， 所以BH⊥平面PAD，又平面PAD，所以.BH⊥PF， 又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B， 所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI， 则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角. 因为BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI. 因为菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，. 在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF， 所以，，又， 所以中，，， 即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $