广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期数学开学考复习题

2025-2026学年第一学期高二数学开学考复习题解析版 2025.9.6 一、单选题 1．已知直线与平面，能使的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】若，则也可能平行，故A错误； 若，则，故B正确；若，则可能垂直，也可能平行，故C错误； 若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 所以可能相交，不一定垂直，故D错误； 2．设一组样本数据的方差为4，则数据的方差为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C【详解】因为的方差为， 所以根据方差的性质得：数据，，⋯，的方差为. 3．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ） +    A．可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B．可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C．可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D．可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 【答案】C【详解】由众数的定义可知，100户居民月均用水量在区间内的居民用户最多，再由样本估计总体可知，A正确； 由图可知，随着月均用水量的增加，高度呈现降低的趋势，故B正确； 平均数为， 因为，，则中位数在第二组内，设中位数为，则，得，故可以估计该市月均用水量的平均数大于中位数，故C错误； 因为，， 则分位数在第五组内，设该市居民月均用水量的分位数为，则， 得，故D正确. 4．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】连接，，因为，所以即为和所成角，因为，，由勾股定理得，，因此. 5．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为 A． B． C． D． 【答案】A【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由平面向量数量积的坐标运算法则有：.本题选择A选项. 6．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，又，所以是等边三角形，，，设，则，作于，则，所以，即为向量在向量上的投影向量，． 7．已知函数的部分图象如图所示，且，则（    ） A. B． C． D． 【答案】C【详解】由函数的图象，可得，所以，可得，所以函数，又由，可得， 因为，可得只有时满足题意，可得，又因为，可得，所以. 8．如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的， 故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的． 二、多选题 9．已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为，对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确；对于C：若在复平面内对应的点在直线上，所以，解得或，故C错误；对于D：令，即，不等式组无解，所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 10．得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（    ） A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】AD 11．如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（    ）    A．圆锥的母线长为 B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C．当三棱锥的体积最大时， D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 【答案】ACD【详解】对于A，圆锥的母线长为，A正确； 对于B，平面，则母线与底面所成的角等于，，B错误；对于C，平面平面，且交线为，则点在平面上的射影在线段上，当是弧中点，即时，点到平面的距离最大，而面积为定值，此时三棱锥的体积最大，反之亦然，C正确； 对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，， 有，则，是异面直线与所成角或其补角， ，，，，D正确.  三、填空题 12．已知复数z与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 【答案】【详解】设 13．某次体检，10位同学的身高（单位：米）分别为1.57，1.59，1.62，1.64，1.65，1.66，1.68，1.70，1.72，1.73，则这组数据的第60百分位数是 （米）． 【答案】1.67【详解】，该组数据的第60百分位数为从小到大排列，第6个和第7个数的平均数，即， 14．已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 . 【答案】【详解】由题意：以点为原点，建立平面直接坐标系，则，所以直线的方程为，设点，所以，所以，当时，的最小值为：. 四、解答题 15．已知向量，，． (1)求在上的值域；(2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 【详解】（1）依题意，， 当时，，则，所以的值域为. （2）由，得，所以函数图象的对称中心坐标为； 由，得，所以函数图象的对称轴方程为. 16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A；(2)若，则的面积为，求的周长． 【详解】（1）由正弦定理得，其中，故，因为，所以，故，即，所以，因为，所以，故，解得； （2）由三角形面积公式得，故，由余弦定理得，解得，故，解得， 故，周长为6. 17．如图，在三棱锥中，，底面，求证： (1)平面面； (2)若，是的中点，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：底面，底面，． ，．，平面，平面，又面，所以平面面； （2）解：取中点，连接．，， 由（1）平面平面，平面平面，面，平面，连接，则就是与平面所成角．，所以，，所以，所以，，，，与平面所成角的正弦值是． 18．在中，角的对边分别为，已知. (1)若的内角平分线交于点，求的长； (2)若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值. 【详解】（1）因为是内角的平分线，所以， 因为，所以， 即，解得； （2） 因为的外接圆半径为2，，所以，，因为与的内角平分线相交于点，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，因为，所以，所以，，当且仅当等号成立，所以的最大值为4. 19．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【详解】（1）因为为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 由（1）知为平行四边形，可得， 又，所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形， 与底边上中点重合，， ，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 又，而， 又，得到， 所以，                       设点到的距离为， 则， 解得，            所以点到的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学开学考复习题 姓名：_________________ 班级：_________________学号：_________________ 一、单选题 1．已知直线与平面，能使的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．设一组样本数据的方差为4，则数据的方差为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A．可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B．可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C．可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D．可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 4．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为 A． B． C． D． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 6．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，且，则（    ） A． B． C． D． 8．如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 10．得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（    ） A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 11．如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（    ）    A．圆锥的母线长为 B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C．当三棱锥的体积最大时， D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 三、填空题 12．已知复数z与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 13．某次体检，10位同学的身高（单位：米）分别为1.57，1.59，1.62，1.64，1.65，1.66，1.68，1.70，1.72，1.73，则这组数据的第60百分位数是 （米）． 14．已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知向量，，． (1)求在上的值域；(2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，则的面积为，求的周长． 17．如图，在三棱锥中，，底面，求证： (1)平面面； (2)若，是的中点，求与平面所成角的正弦值． 18．在中，角的对边分别为，已知. (1)若的内角平分线交于点，求的长； (2)若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值. 19．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. $