精品解析：河南省郑州市金水区新奇初级中学2021-2022学年八年级上学期期末学业水平考查B（开学) 数学试题

河南省郑州市新奇初级中学2021-2022学年八年级 上学期期末学业水平考查B（开学) 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　） A. x＝1 B. x＝2 C. x＝3 D. x＝4 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 点一定在第二象限 B. 点到y轴的距离为2 C. 若中，则P点在x轴上 D. 若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 6. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 B. 为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C. 一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1 D. 若原命题成立，则它的逆命题一定成立 8. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 是方程的解 C. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 D. 一次函数的图象与轴交于点 10. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个比大比小的无理数：______． 12. 把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：__________________． 13. 已知x、y满足方程组，则的值为______． 14. 校运会上，七、八、九年级同学分别组建了红、黄、蓝三支仪仗队，各队队员身高（）的平均数（）与方差（）如表所示，则三支仪仗队中身高最整齐的___________． 红队 黄队 蓝队 165 168 170 12.75 8.8 10.45 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，作轴于点B，将绕点B顺时针旋转得到，若点B的坐标为，则点C的坐标是_________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 17. 21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站有“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台校团委以此为契机，组织了“中国梦，航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 项目班次 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 85 91 88 乙 90 84 87 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 18. 定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 19. （1）请你写出一个关于x，y的二元一次方程组，使该方程组无解． （2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征，如果不能，请说明理由． 20. 已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4． （1）当AC＝6，BC＝8时， ①求S1的值； ②求S4﹣S2﹣S3的值； （2）请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 21. 为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． （1）求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元： （2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型B型足球共50个，其中购买A型足球大于20个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 22. 如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． （1）若，则 ； （2）如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． （3）在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市新奇初级中学2021-2022学年八年级 上学期期末学业水平考查B（开学) 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4. 如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　） A. x＝1 B. x＝2 C. x＝3 D. x＝4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用y＝x+2求出交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4）， ∴关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 点一定在第二象限 B. 点到y轴的距离为2 C. 若中，则P点在x轴上 D. 若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、因为−a2−1＜0，|b|＋1＞0，所以点A（−a2−1，|b|＋1）一定在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意． B、点P（−2，3）到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意； D、若x＋y＝0，则x、y互为相反数，点P（x，y）一定在第二、四象限角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 6. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，”列出方程组，即可解题． 【详解】解：由题可得：，， 方程组为， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 B. 为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C. 一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1 D. 若原命题成立，则它的逆命题一定成立 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，调查方式，中位数和众数，命题与逆命题，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故原说法错误，不符合题意； B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽查的方式，故原说法错误，不符合题意； C、一组数据0，1，2，1，1中出现次数最多的是1，排序后中间一位是1，故众数和中位数都是1，正确，符合题意； D、若原命题成立，则它的逆命题不一定成立，比如对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF=A'B=20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE=A'E=DG=4cm， ∴BD=16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D= ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 9. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 是方程的解 C. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 D. 一次函数的图象与轴交于点 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】把（0，2）、（1，-1）代入得 解得 ∴一次函数解析式为y=-3x+2 ∵k=-3＜0， ∴随的增大而减小，故A错误； 把代入，故B错误； 一次函数y=-3x+2的图象经过第一、二、四象限，故C正确； 令y=0, -3x+2=0,解得x=， 一次函数y=-3x+2的图象与轴交于点，故D错误， 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用． 10. 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， 点的坐标为． 四边形为正方形， 点的坐标为． 同理，，，，， ，，，，， （n为正整数）， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键． 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个比大比小的无理数：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由于两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以根据实数大小比较法则求解即可． 【详解】解：∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴所求的数的绝对值小于5且大于1， ∴这样的无理数有无数个， 如或等. 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较以及无理数的估算；熟练掌握实数大小的比较法则是解题的关键． 12. 把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：__________________． 【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 【解析】 【分析】首先找出原命题中的条件及结论，然后写成“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余， 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余． 【点睛】本题考查命题，主要考查学生对命题的理解及运用能力． 13. 已知x、y满足方程组，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】用方程①减去方程②，进行计算即可求解． 【详解】解： ①-②得， ∴的值为3 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组中的整体思想是解题的关键． 14. 校运会上，七、八、九年级同学分别组建了红、黄、蓝三支仪仗队，各队队员身高（）的平均数（）与方差（）如表所示，则三支仪仗队中身高最整齐的___________． 红队 黄队 蓝队 165 168 170 12.75 8.8 10.45 【答案】黄队 【解析】 【分析】根据方差的意义：方差越大，则数据的波动越大，稳定性也越小；反之，则数据的波动越小，稳定性越好，即可得出结论． 求解即可． 【详解】解：由表知：黄队身高的方差最小， 所以三支仪仗队中身高最整齐的黄队， 故答案为：黄队． 【点睛】本题考查了方差，掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，作轴于点B，将绕点B顺时针旋转得到，若点B的坐标为，则点C的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，一次函数与几何的综合应用，设交于点，先求出点坐标，进而求出的长，推出轴，得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出点坐标即可． 【详解】解：设交于点 ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵轴，， ∴点的横坐标为4， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是实数的运算，解二元一次方程组，掌握绝对值，立方根定义，零指数幂，负整数指数幂的运算法则，是解决此题的关键． （1）先计算绝对值，开立方，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得，， ， 把代入②得，， ， 原方程组的解为：． 17. 21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站有“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台校团委以此为契机，组织了“中国梦，航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 项目班次 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 85 91 88 乙 90 84 87 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 【答案】（1）甲班将获胜 （2）乙班将获胜 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题； （2）根据加权平均数的计算方法可以解答本题． 【小问1详解】 甲班的平均分为：（分）， 乙班的平均分为：（分）， ∵， ∴甲班将获胜； 【小问2详解】 由题意可得， 甲班的平均分为：（分）， 乙班的平均分为：（分）， ∵， ∴乙班将获胜． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 18. 定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）①；②或或 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 19. （1）请你写出一个关于x，y的二元一次方程组，使该方程组无解． （2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能，这些二元一次方程组中的系数之比与的系数之比相同，且不等于常数项之比 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）写出一个无解的二元一次方程组即可； （2）根据二元一次方程组中未知数的系数的比的关系，方程组无解，写出即可． 【详解】解：（1）例如：，该方程组无解； （2）能，例如：，．．． 这些二元一次方程组中的的系数之比与的系数之比相同，且不等于常数项之比． 20. 已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4． （1）当AC＝6，BC＝8时， ①求S1的值； ②求S4﹣S2﹣S3的值； （2）请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值为9 （2） 设S△BEG=S5，如图， ∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB， ∴S△ADC=AC2，S△BFC=BC2，S△ABE=AB2， ∵AC2+BC2=AB2， ∴AC2+BC2=AB2， ∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3， ∴AB2-BC2=S4-S2-S3， ∴AC2=S4-S2-S3， ∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3， ∴S4＝S1+S2+S3． 【解析】 【分析】（1）①直接根据勾股定理可得AD的长，由此可得答案； ②利用勾股定理得AE=BE=5，CF=BF=4，设S△BEG=S5，则S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案； （2）设S△BEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案． 【小问1详解】 ①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6， ∴AD=CD=3， ∴S1=×3×3=9； ②设AE与BC交于点G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形， ∴AE=BE=5，CF=BF=4， 设S△BEG=S5， ∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=×5×5-×4×4=9； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的综合和利用． 21. 为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． （1）求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元： （2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型B型足球共50个，其中购买A型足球大于20个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 【答案】（1）60元，100元 （2）购买40个A型足球，10个B型足球，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答． （1）设购买一个A型足球需要x元，则购买一个B型足球需要y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买m个A型足球，其中，则购买个B型足球，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A型足球需要x元，则购买一个B型足球需要y元，根据题意得： ，解得：， 答：购买一个A型足球需要60元，购买一个B型足球需要100元； 【小问2详解】 解：设购买m个A型足球，其中，则购买个B型足球， 当时， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w 取得最小值，最小值为； 当时， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w 取得最小值，最小值为， ∵， ∴购买40个A型足球，10个B型足球需要费用最小，最小费用为3160元． 22. 如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． （1）若，则 ； （2）如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． （3）在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理及外角性质等知识，熟记平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理及外角性质求解即可； （3）根据平行线的性质分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分三种情况讨论， ①如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∴， ③如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $