四川省绵阳第一中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题

绵阳一中2024-2025学年度高2022级高三下学期高考模拟考试数学试题 *高2022级数学组视同学们高考顺利！* 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若全集U={1,2,3,4,5,6,M={1,4,N={2,3,则集合{5,6等于() A.MUN B.MnN C.MUN D.MON 2.若复数z=2019+3+4划 3-4i 则z的虚部为() A月 B c.- D. 3.设向量d=(0,2),=(2,2),则() A.1= B.凤-万/ C.石与下的夹角为好 D.(a-b)la 4.设a=10g49,b=2-12,c= (岛)3，则下列大小关系正确的是() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 5.已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N:(x-1)2+(y-1)2= 1的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 6.在等比数列{an中，a2=2,a4=8,an>0,则数列log2an的前n项和为(). A.n(n+1) 2 B.n-1)2 C.n(n-1) D.+1)2 2 2 2 7.函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是() A.(-1,V11 B.(-1,2) C.(-1,2] D.(1,4 8.用1,2,3组成三位数，数字i最多用i次，其中i=1,2,3,则满足条件的三位数个数是() A.15个 B.18个 C.19个 D.27个 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知在某次数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,100),其中90分为及格线，120分为优秀 线，则该校学生成绩()参考数据：若~N(山，σ2)，则Pu-o<<u+σ)=0.6826，P(-2o<< u+2o)=0.9544,P(u-3o<<u+3o)=0.9974. A.期望为110 B.及格率超过95% C.标准差为100 D.不及格的人数和优秀的人数大致相等 10.己知函数f(=+lx,则 A.x=2是f(x)的极小值点 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.存在正整数k,使得f(x)>kx恒成立 D.对任意两个正实数x1,x2,且x1≠x2,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4 11.斜率为k的直线过抛物线y2=2px(P>O)焦点F,交抛物线于A,B两点，点P(xo,yo)为AB中点，作 OQ1AB,垂足为Q,则下列结论中正确的是(). A.kyo为定值 B.OA·OB为定值 C.点P的轨迹方程为y2=2pc-) D.点Q的轨迹是圆的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12函数)=x+x>-1)的最小值为一 13.函数y=1 oga kx-5)+b(a>0且a≠1)恒过定点(2,2)，则k+b= 14.在△ABC中，已知2b=3(bcosC+ccosB),点M,N在边AC,BC上，满足AM=AC,BN=BC,BM与 AN交于点P,则器的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x-1. (1)求函数f(x)的单调递增区间及在[0，]上的值域： (2)若0为锐角且f(0)=子求cos20的值. 16.(本小题15分) 俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加 某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数， 则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记ξ=1；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美 投掷”，出现“不完美投掷”，则记ξ=0：若；=1，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括 西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为品 (1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差： (2)求张老师当天穿西装的概率. 17.(本小题15分) 在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°，AB=1,AD= 2,AA1=2V2. D (1)求AC1的长度； (2)求二面角B-AA1-D的大小；(3)求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积. 18.(本小题17分) 如图，椭圆G:爷+片-1a>b>0的离心率为3区 x2 22 x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1 的长半轴长， (1)求C1的方程： (2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E ()证明：MD1ME; (记△MAB,△MDE的面积分别是S,S2问：是否存在直线，使得=？若存在，求出直线的方 S2 程；若不存在，请说明理由， M 19.(本小题17分) 己知函数f(x)=(x+1)ex-ax2(x>0) (1)若函数f(x)在(O,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围： (2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2: ()求实数a的取值范围： 四求证：+号>1（供中，为函数f的极小值点）. 绵阳一中2024-2025学年度高2022级高三下学期高考模拟考试数学试题答案 一。单选题。 1-4DBDC 5-8CCCC 二，多选题。 9.AB 10.ABD 11.ABD 三.填空题。 12.3 13.5 14.(,2) 四.解答题。 15.解：(1)f(x)=V3sin2x+2cos2x-1 =V3sin2x cos2x V3 =2(2sin2x+2os20） =2in(2x+2, 因为y=sinx在[-三+2km,+2km(keZ)上单调递增， 令-受+2km≤2x+g≤经+2km,keZ 可得：-+kπ≤x≤g+km,kEZ, 所以函数f()的单调递增区间为[-+km,名+kmk∈2刀. 因为0≤x≤所以n≤2x+后≤名， 所以f6)mn=2sim7g=-1,f6)max=2sin号=2， 所以当x∈[0，]，f(x)的值域为[-1,2]. (2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x+, 2sim(20+?=-号，sim(20+3=- ~日E(0,9,28+ge(g,7爱 又sim(20+2<0,20+ge(m,73, cs(29+3-1-(-29 ÷cos29=cos(28+2-8 π、π π、 =cos(20+名cos石+sin(20+石sin石 5 2 10 16.解：(1)将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件6×6=36种， 掷出的点数之和是3的倍数有： (1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2), (4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),12种： 则掷出的点数之和不是3的倍数有24种， 随机变量的取值为0,1， P《=0)=装=景P《=1)=品= 所以的分布列为： 0 1 -3 3 E()=0×+1×号子 D()=(1-)×+(0)x= (2)设A表示深色，则A表示穿浅色，B表示穿西装，则B表示穿休闲装， 根据题意，穿深色衣物的概率为P(4)=子，则穿浅色衣物的概率为P(A)=子 穿深色西装的概率为P(BA)=0.6=?穿浅色西装的概率为P(BA)=品， 则当天穿西装的概率为P(B)=P(BlA0P(A+P(B闪P(团=×+×品-= 所以张老师当天穿西装的概率为 17.解：(1)设AA=d,AB=b,AD=, 则AC=AA+AB+AD, 所以4C=a2++2+2a.6+26·+2a.2=3V3. (2)设平面BAA1的法向量为元=xa+y五+zc, 则8日08+。0 a.i=(xa+yb+z)·b=0 (x=1 令x=1,则y=0，则元=a-2c, z=-2 设平面AA1D的法向量为方，同理可得节=d-4 设二面角B-AA1-D的大小为8，则 a9品-停0周-0，所以g=90, 二面角B-AA1-D的大小为90°. (3)设平面ABCD的法向量为元=x1a+y1万+Z1c, 低石t5对：石=0即经上a0 元.=(x1a+y万+z1)·=0 (4x1+y1+4z1=0' (X1=-3 令21=2，则y1=4，则元=-3a+4+2c, Z1=2 故41到平面4BCD的距离为h=回列=3a+46+2=一 1-3a2+4a6+2a -3a+4b+2 ÷26 √9a2+166+42-24a币-12a:c+16b元 故v=5h=1×2×号×29=2V2 3 18解：(1)油题意可得：台=号2V5=a,a2=b21c2, 联立解得：a=2,b=1,c=V3, 故C的方程为：若+y2=1. (2)()由题得，直线的斜率存在，设为k,则直线的方程为：y=kx, 由二X1得x2-kx-1=0.改A1y),Bx2y2 于是x1+x2=k,x1·x2=-1,又点M的坐标为(0，-1)： 所以kMA·kMB=h+1.2+中=+12+=kx+kC1+x2)+1=二k2+k2+1=一1. X1 X2 X1X2 X1X2 1 故MA⊥MB,即MD⊥ME. (ii)设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为y=k1x-1, 此￥=或资，则喻标好- -1或任=为 又直线MB的斜率为左同理可得点B的坐标为（左，存-1）， 于是S-MA~MB到-V1+好×k×1+居×1-引- 氏。a+x2-a-0 8k1 解得t0 (x= 1+4k2 y=-1'或 y足1 1+4k2 则点D的坐标为(8跳， k7-1、 1+4k子'1+4k2 又自线ME的斜率为号 同理可得点E的坐标为G 于是S2=2IMD·lME= 32(1+k)Ik1l (1+4k2)(k2+4) 号4好+专+1刀)=员解得好=4，或好- 32 又由点A,B的坐标得，k= k k1+坛 所以k=士 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=±x. 19.解：(1)由f(x)=(x+1)ex-ax2,得f'(x)=(x+2)ex-2ax, 因为函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f'(x)=(x+2)ex-2ax≥0在(0，+∞)上恒成立， 所以a≤42在(0+o）上恒成立. 设g)=+2e(x>0),则g(x）=+2:2到e, 2x 2x2 令g(x)=0,得x=√3-1（负值舍去）， 当x变化时，g(x),g'(x)的变化情况如下： X (0,V3-1)N3-1(W3-1,+∞) g'(x) 0 g(x)单调递减 极小值单调递增 所以当x=√3-1时，g(x)取得极小值也是最小值， 即g(x)mn=g(W3-1）=2+y3ev-1 2 所以实数a的取值范围为(-o,2+v3)e5- 2 ] (2)(回令fx)=0,得g+De-a=0, 设h(x)=x+1e x2 -a(x>0),则函数f(x)有两个不同的零点x1,x2等价于h(x)在(0，+o)上有两个不 同的零点， h'(x)=(x2-2)ex x3 令h'(x)=0,得x=V2(负值舍去)， 当x变化时，h(x),h(x)的变化情况如下： (0,V2) V2 (V2,+o0) h'(x) 0 h(x)单调递减极小值单调递增 所以当x=√2时，h(x)取得极小值也是最小值， h(x)min =h(V2)=e -a 2 因为函数h(x)在(0，+∞)上有两个不同的零点， 所以2t+1)ev 2 -a<0,即a>2+1)e2 2 设p()=x>0),则p)=2 x3 令p'(x)=0,得x=2, 当x变化时，p(x),p(x)的变化情况如下： (0,2) 2 (2,+o∞) p'(x) 0 o(x) 单调递减极小值单调递增 所以当x=2时，p(x)取得极小值也是最小值， 即p(mn=p(2)=号， 所以p()≥号>1，即当x>0时，e*>x2, 所以nW>x+1-a,a-1>2+e5-1>2+x回-1=V2, 2 2 因为h(a-1)>a-1+1-a=0, 所以h(x)在(V2,a-1)上有且仅有一个零点： 当0<x<V2时，h)=+e-a>#-a>-a x2 x2 因为a>2+e三，所以0<<V2, 2 所以h月>-a=0, 所以h()在（日V2)上有且仅有一个零点， 所以h(x)在(0，+∞)上有两个不同的零点， 所以实数a的取值范围为2+1)e 2 -,十∞) (的先证明不等式：若x1,x2E(0,+∞)，1≠x2:则√x五<n2 x2-x1<X1+2 2 2受 X2-1 证明：不妨设x2>x1>0,即证 -<ln2< 2X1 设t=要>1， 2x1 g因=ld-片，h国=lt-2,则只需证g因)<0，且()>0. t+1 因为g0='<0.h回=%>0， 2tvt 所以g(t)在(1，+oo)上单调递减，h(t)在(1，+∞)上单调递增， 所以g(t)<g(1)=0,h(t)>h(1)=0,从而不等式得证. 时+片六>18化+时8 所以+1n ri 两边取对数得，2nx2-nx1)-n(x2+1)-ln(x1+1)]=x2-x1, 即202-x）_血62+)-nc+D=1. x2-2X1 (x2+1)-(x1+1) 因为2x2--nc2+1)-血+< 2 2 x2-x1 x2+1)-(x1+1)Vx1x2 (x1+1)+(x2+1)1 所以1+2 2 =<1+ t2+2<<好十云 因此，要证子+话>1，只需证x+2<2o 因为f(x)在(t,+o)上单调递增，0<x1<t0<x2,所以只需证f(x2)<f(2t-x1), 即证f(x1)<f(2t-x1): 即证f(t+x)<f(to-x)(其中xE(-to,0)