第二章实数单元测试（培优卷）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第二章实数单元测试（培优卷） 一．选择题（共10小题） 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若△ABC三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（　　） A． B． C． D． 4．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为23＝8，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而43＝64，53＝125，由此能确定的十位上的数是4． （提示：63＝216，73＝343，83＝512，93＝729） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（　　） A．15 B．16 C．17 D．19 5．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，矩形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则矩形内阴影部分的面积是（　　） A．2 B． C． D． 8．已知，，则m2+2mn+n2的值为（　　） A． B．12 C．10 D．6 9．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　　） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 二．填空题（共5小题） 11．的平方根是　 　 ． 12．如图，数轴上标注了四段，若，则表示a的点落在段 　 　 （填序号）． 13．若的值是有理数，则a的最小偶数值是　 　 ． 14．若|a|，则的相反数是　 　 ． 15．若a、b均为整数，当x1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．已知：，求代数式（x+2）（y+2）的值． 17．如图，把两个面积均为37cm2的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． （1）大正方形纸片的边长为 　 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的3倍，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 18．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a2，a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　 ； （2）计算：⋯　 　 ； （3）若a，求3a2﹣12a﹣1的值． 19．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与 　 　 是关于1的平衡数；与 　 　 是关于1的平衡数； 【实践探究】 （2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值； 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　 ； （2）求|m+1|+|m﹣1|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根． 21．已知4是3a﹣2的算术平方根，2﹣15a﹣b的立方根为﹣5． （1）求a和b的值； （2）求2b﹣a﹣4的平方根． 22．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 第二章实数单元测试（培优卷）答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A B C B B A 1．解：A、两者不是同类二次根式，不能合并，该选项运算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，该选项运算错误，不符合题意； C、，该选项运算正确，符合题意； D、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 2．解：由题意，∵△ABC三边长分别为，2，， ∴（）2+（2）2＝（）2． ∴△ABC是直角边为，2的直角三角形． ∴△ABC的面积22． 故选：A． 3．解：，所以A选项不符合题意； ，所以是符合“面”的描述的数，B选项符合题意； ，所以C选项不符合题意； ，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4．解：∵根据题意可知为两位数，且个位上的数是9， 根据提示：73＝343，83＝512， 可知，十位上的数是7， ∴可以断定79， ∴的每位数上的数字之和为16． 故选：B． 5．解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵2025÷4＝506...1， ∴2025所对应的点是A． 故答案为：A． 6．解：11， 故选：B． 7．解：由题意，∵矩形内相邻两个正方形的面积分别为2和4， ∴两正方形的边长分别为，2． ∴矩形的长为（2），宽为2． ∴矩形的面积为2（2）． ∴矩形内阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个正方形的面积的和＝2（2）﹣2﹣4 ＝4+22﹣4 ＝22． 故选：C． 8．解：∵，， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（2）2＝12． 故选：B． 9．解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则 ①ab+ac＞0，故原结论正确； ②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误； ③1﹣1+1＝1，故原结论错误； ④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误； ⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确． 故正确结论有2个． 故选：B． 10．解：依题意得： ， 解得x＝0， ∵， ∴， ∴y＝﹣z ∴把x＝0，y＝﹣z代入x3+y3+z3﹣3xyz得：原式＝（﹣z）3+z3＝0 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．解：的平方根＝9的平方根＝3或﹣3． 故答案为：3或﹣3． 12．解：∵， ∴， ∴表示a的点落在段④． 故答案为：④． 13．解：由条件可知a＝12，此时是有理数， 故答案为：12． 14．解：∵|a|， ∴a2＝6， ∴2， ﹣2的相反数是2． 故本题的答案是2． 15．解：当x1时，代数式x2+ax+b的值为0， ∴（1）2+a（1）+b＝0， 6﹣2a﹣a+b＝0， ∵a、b均为整数， ∴6﹣a+b＝0，﹣2a＝0， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴ab＝2﹣4， ∴则ab的算术平方根为：， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16．解：x，y， ∴（x+2）（y+2） ＝xy+2（x+y）+4 24 ＝42 17．解：（1）由题意得：大正方形的面积为37×2＝74cm2， ∴大正方形纸片的边长为， 故答案为：； （2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 由条件可设长方形纸片的长和宽分别是3x cm，x cm， ∴3x•x＝27， ∴x2＝9， ∵x＞0， ∴x＝3， ∴长方形纸片的长是9cm， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 18．解：（1）1． 故答案为：； （2）原式...... 1...... 1 ＝10﹣1 ＝9． 故答案为：9； （3）∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2． 19．解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5（﹣3）＝2， ∴4与﹣2是关于1的平衡数，5与﹣3是关于1的平衡数； 故答案为：﹣2，﹣3； （2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数， ∴， 解得； （3）不是， ∵（m）×（1）＝mm3， 又∵（m）×（1）＝﹣5+3， ∴mm3＝﹣5+3， ∴mm＝﹣2+2， 即 m（1）＝﹣2（1）， ∴m＝﹣2， ∴（m）+（5）＝（﹣2）+（5）＝3， ∴（﹣2）与（5）不是关于1的平衡数． 20．解：（1）m2＝2； （2）∵m＝2，则m+1＞0，m﹣1＜0， ∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2； 答：|m+1|+|m﹣1|的值为2． （3）∵|2c+d|与互为相反数， ∴|2c+d|0， ∴|2c+d|＝0，且0， 解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4， ①当c＝﹣2，d＝4时， 所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根． ②当c＝2，d＝﹣4时， ∴2c﹣3d＝16， ∴2c﹣3d的平方根为±4， 答：2c﹣3d的平方根为±4． 21．解：（1）∵4是3a﹣2的算术平方根， ∴3a﹣2＝16， ∴a＝6， ∵2﹣15a﹣b的立方根为﹣5， ∴2﹣15a﹣b＝﹣125， ∴2﹣15×6﹣b＝﹣125， ∴b＝37． （2）2b﹣a﹣4＝2×37﹣6﹣4＝64， 64的平方根为±8， ∴2b﹣a﹣4的平方根为±8． 22．解：（1）m＝6，n＝5． ∵1+5＝6，1×5＝5， ∴（）2+（）2＝6，， ∴1． （2）∵． ∴m＝13，n＝40， ∵5+8＝13，5×8＝40， ∴（）2+（）2＝13，， ∴2． （3）BC． ∵， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（）2+（）2＝16，， ∴BC22． 第10页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $