函数的对称性和周期性知识点大总结-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的对称性 ！！！如果遇到等式，想到直线对称，忘记公式就画个一元二次函数分析； 如果遇到相加为零，想到点对称，忘记公式就画个关于点对称函数分析；公式 不用死记硬背，但要学会分析！！！ 1函数刊的图像关于直线对称 a)若fa+刘=f(a-d,则f八d的图像关于直线 -atxta-x-a 2 对称； (2)若f)=fa-刘，则f的图像关于直线 =xta-x_ 2 2对称， 3)若fa+刈=fa-),则fx的图像关于直线 =q+x+b-x_a 2 2对称。 个 1X=0 X=_0 XQ地 fia-x刈： 千- Fo+x) 0-X 帖公式 帖公试 帖公t () (3) 2.函数x)的图像关于点对称 (1)若fa+=-fa-刊，则（对称中心的横坐 x-a+xta-x-a 2 纵坐 标a+a+因的国像关于点口，0叭对豫 2 x-xta-x_a (2)若f)=-fa-,则f对称中心的横坐标=2一2，f四的图 0 像关于点2)对称 (3)若(+刈=-fb-刈，则f(四对称中心的横坐标 =a+x+b-x_a+b 2 2 a+b,0 f(x的图像关于点 对称； 4若fa-+f(6+=c,则f(x)对称中心的横坐标 =a+x+b-x_a+b 2 2 y=f(a-x)+f(b+x)_c (a+b c 纵坐标 2 八到的刷像关于点22对称。 个 fa+x 十b- a-x atx 0-X Q+x () (2) (3) 〔4) 3奇偶函数的对称性 1)若f(x+a是偶函数，则函数f八图像的对称轴为x=a: ①证：“fx+a)是偶函数，f-x+a)=f八x+a f关于点a,0对称。 2画图理解： 个 y=fxta) f) (2)若x+a是奇函数，则函数f图像的对称中心为a,0)。 ①证：“f(x+a是奇函数f-x+a=-f川x+a叫 fx关于点a,0)对称 ②画图理解： 个9 00) la.o)>X 函数的周期性 ！！！公式不用死记硬背，忘记就用最典型的周期函数si血x最小周期分 析！！I (1)若f(x+a=fx+b(a≠b),则f的周期为T=a-。 证明：“fx+a=fx+b)∴fx-a+a)=fx-a+b) f(x)=f(x+b-a):.T=b-a=a-b (2)若fx+a=-f(x+)(a≠b,则fd的周期为T=2-b。 证明：“fx+a=-f(x+b)）fx-b+a)=-f(x-b+b) 即/(x+a-b)=-f(x) '.f[x+2(a-b)]=-f(x+a-b)=-[-f(x)]=f(x):.T=2la-b (3)若x+a=-f(,则f(的周期为T=2a。 证明：“fx+a=-f刘，f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x) .f(x+2a=fx,T=2a。 ④若其中时0则的写期为了 1 1 证明： x+a丙f川x+a+a=7x+0网 fx+2a=f(x).T=2a。 1 (5)若 八x+网-了网，其中f10.则小的周期为I=20: +ax+a+a/心 证明： f(x+a) :.f(x+2a)=f(x):.T=2a (6)若fr+a+f(x+b)=Ca≠0，则T=2la-。 证明“fx+a)+fx+b)=C,fx-b+a+f(x-b+)=C 即f(x+a-b+f(d=C,f(x+a-b)=-f(x刘+C :.f[x+2(a-b)]=-f(x+a-b)+C f[x+2(a-b)]=-[-f(x)+C]+C=f(x):.T=2a-b