精品解析：山东省德州市禹城市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

山东省德州市禹城市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是(　 　) A. B. C. D. 3. 下列关于反比例函数,结论正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象在二，四象限内 C. 在每个象限内，随的增大而减小 D. 当时，则 4. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（　　） A. 110° B. 70° C. 140° D. 55° 5. 在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（　　） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 6. 如图，点是的内心，，则 ( ) A. B. C. D. 7. 将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的高，，则的外接圆直径长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 9. 如图，在△ABC中，，以C为旋转中心，旋转一定角度后成，此时恰好落在斜边AB的中点上，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是 A. B. C. D. 11. 如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　） A. B. C. D. 12. 关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 某商店 1 月份盈利 2400 元，3月份的盈利达到3456元，且从1月到3月每月盈利的平均增 长率都相同，则每月盈利的平均增长率为_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则EF的长度是______． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 __________________cm． 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 17. 如图，双曲线经过斜边上的点A，且满足，与交于点D，，则反比例函数解析式为____________________． 18. 已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP． （1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是_____． （2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是_____． 三、解答题（78分） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移5个单位长度得到，请画出； （2）画出关于原点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； （4）以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 21. 电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜． （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象，交于A、B两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求长． 24. 课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 25. 如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点C坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上是否存在一点D，使以B，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求点D坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省德州市禹城市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合一元二次方程的定义找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 2. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是(　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形， 所以这五种图形中随机抽取一种图形， 则抽到的图形属于中心对称图形的概率=． 故选C 3. 下列关于反比例函数,结论正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象在二，四象限内 C. 在每个象限内，随的增大而减小 D. 当时，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵， ∴A错误， ∵k=-8＜0，即：函数的图象在二，四象限内， ∴B正确， ∵k=-8＜0，即：在每个象限内，随的增大而增大， ∴C错误， ∵当时，则或， ∴D错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握比例系数k的意义与增减性，是解题的关键． 4. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（　　） A. 110° B. 70° C. 140° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】连接OB、OA，如图， ∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P， ∵∠C＝55°， ∴∠AOB＝2∠C＝110°， ∴∠P＝180°﹣110°＝70°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练灵活运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形． 5. 在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（　　） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 将其向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到二次函数． 故选：D． 6. 如图，点是的内心，，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，求出，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， 点是的内心， ，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心的应用，解题的关键是求出的度数，题目比较典型，难度适中． 7. 将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过设的长度，利用三角板的角度关系求出相关线段长度，再证明与相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出面积比．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：设． ∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 在中，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：C． 8. 如图，是的高，，则的外接圆直径长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，根据圆周角定理得到，由此证得，根据对应边成比例，列式计算求出的长 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴ ∴， 故选：B． 9. 如图，在△ABC中，，以C为旋转中心，旋转一定角度后成，此时恰好落在斜边AB的中点上，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和直角三角形斜边中线的性质得到，，即可得解； 【详解】∵△ABC以C为旋转中心，旋转一定角度后成， ∴， 又∵恰好落在斜边AB的中点上， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的性质，等边三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键． 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0， 则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y＝的图象在二四象限， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题． 11. 如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、勾股定理及弧长公式是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：， 故选：D． 12. 关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】可得函数的对称轴为直线，由此即可判断说法①；由绝对值函数的性质可知，函数的最小值为，无最大值，由此即可判断说法②；先将函数化成顶点式，进而可得函数的顶点为，于是可得函数的图象与直线有3个交点，由此即可判断说法③；由“点，，在该函数图象上”可得，，，进而可得，由此即可判断说法④；综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】解：函数的对称轴为直线， 函数图象的对称轴为直线，故说法①错误； 函数的最小值为，无最大值，故说法②错误； ， 函数的顶点为， 函数的图象与直线有3个交点，故说法③正确； 点，，在该函数图象上， ， ， ， ，故说法④错误； 综上，正确的说法有：③，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 某商店 1 月份盈利 2400 元，3月份的盈利达到3456元，且从1月到3月每月盈利的平均增 长率都相同，则每月盈利的平均增长率为_____． 【答案】20%． 【解析】 【分析】设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得： 2400（1+x）2＝3456 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去） 答：每月盈利的平均增长率为20%． 故答案为：20%． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,属于增长率的问题,一般公式为原来的量×(1±x) ² =后来的量,其中增长用＋,减少用－． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则EF的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形的性质得CD=AB=3，BC=AD=5，∠B=∠D=∠C=90°，则根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设DE=EF=x，CE=3-x，然后利用勾股定理得到12+(3-x)2=x2，再解方程求出x即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠B=∠D=∠C=90°， ∵△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF= ， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设DE=EF=x，CE=3-x，， 在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2， ∴12+(3-x)2=x2， 解得x=， 即EF的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 __________________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为， 故答案为． 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 17. 如图，双曲线经过斜边上的点A，且满足，与交于点D，，则反比例函数解析式为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过A作轴，垂足为E，由题意易得，然后可得，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：过A作轴，垂足为E，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A，D分别在双曲线上， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 18. 已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP． （1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是_____． （2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是_____． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解； （2）由“SAS”可证△PAB△AD，可得D＝PB＝1，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆上，则当在对角线BD上时，B最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出B的长． 【详解】解：（1）∵点P在⊙B上移动， ∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值， 最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3， 故答案为：3． （2）如图，连接BP， 由旋转得：AP＝A，∠PA＝90°， ∴∠PAB＋∠BA＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BA＋∠DA＝90°， ∴∠PAB＝∠DA， 在△AD和△PAB中， ∴△AD△PAB（SAS）， ∴D＝PB＝1， ∴点P在以点D为圆心，D为半径的圆上， ∴当在对角线BD上时，B最小， 在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4， ∴BD＝＝＝， ∴B＝BD﹣D＝﹣1， 即B长度的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出线段的最小值1． 三、解答题（78分） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）先移项，然后根据公式法求解即可； （2）先提公因式，然后再移项，最后根据因式分解法求解即可 【小问1详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 所以． 20. 如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移5个单位长度得到，请画出； （2）画出关于原点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； （4）以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 【答案】（1） 如图所示： （2）如图所示； （3）旋转中心的坐标为； （4）如图所示． 【解析】 【分析】（1）先得出点A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点，然后问题可求解； （2）由（1）及中心对称图形的性质可进行作图； （3）由旋转的性质直接进行求解即可； （4）根据位似图形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，相交于点P，如图所示， 由旋转的性质可知：点P即为旋转中心，即， ∵， ∴根据中点坐标公式可得，即； ∴旋转中心的坐标为； 【小问4详解】 略 21. 电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜． （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由． 【答案】 （1）列表得： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 则共有36种等可能的结果； （2）不公平，理由如下： 由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果， ∴P（明明获胜）＝＝，P（磊磊获胜）＝＝， ∵≠， ∴不公平． 【解析】 【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果； （2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象，交于A、B两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题． （1）根据在反比例函数（）的图象上求出，，将点代入一次函数求解析式即可； （2）求出，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 ∵在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴，， 即点， 代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线与x轴交于点D，令，得， 即． ∴． 【小问3详解】 由图可得，时，或． 23. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求长． 【答案】（1） 解：相切．理由如下： 连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，弧长公式. （1）连接，只需证明即可； （2）由（1）中的结论可得，可求得的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的长． 24. 课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm． 【解析】 【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值. 【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm） ∵PN∥BC, ∴=，△APN∽△ABC ∴= ∴= ∴=解得 y= ∴2y= ∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm (2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．. 由（1）知= ∴= ∴ y= 则S=xy=== ∵ ∴ S有最大值 ∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y==60 ． ∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm． 考点：三角形相似的应用 25. 如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点C坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上是否存在一点D，使以B，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求点D坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点D坐标为或 （3）存在，P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的解析式，相似三角形的判定，两点间的距离，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． (1)设抛物线的解析式为，将代入，求出a的值，即可解答； (2) 分类讨论：①当时，，②当时，，逐个求解即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设， 分类讨论：①当为斜边时，②当为斜边时， ③当为斜边时，逐个求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线与x轴交于点和点，可设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴ ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 在y轴上存在一点D，使以B，C，D为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图： 设， ∵ ∴，，， ∴， ①当时，， ∴ ∴， 解得， ∴， ②当时，， ∴ 解得， ∴， ∴点D坐标为或； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ∴， ①当为斜边时， ， 解得， ∴； ②当为斜边时， ， 解得， ∴， ③当为斜边时， 解得m=或， ∴P或． 综上所述，P的坐标为或或)或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $