海南省海口市海南中学2025-2026学年高三上学期第0次月考数学试题

海南中学2026届高三年级第0次月考数学试题卷 时间: 120分钟 满分: 150分 命题： 审核： 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第I卷(选择题) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 则A∪B= ( ) 2. 已知 则|z|= ( ) A. 2 B. 3.已知椭圆 的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上任意一点.若 则椭圆C的离心率为(). A. B. C. D. 4. 设 a 则a, b, c的大小关系是( ) . A. b<c<a B. c<a<b C. b<a<c D. a<b<c 5. 已知数列{an}中, 则 A. 5 B. C. D. 6.若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为() D.8πcm³ 7.已知单位向量，的夹角为 则与 的夹角为() A. B. C. D 8.现有5个正整数，若这组数据的和为10，方差为0.4，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为() A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分. 9.公比为q的等比数列{an}的前n项和为 Sn，若 则( ) B. q=4 10. 在△ABC中, 则( ) B. △ABC的面积为8 C.△ABC的外接圆直径是 D.△ABC内切圆半径是 11.已知双曲线 的左右焦点分别是F₁，F₂，左，右顶点分别为A₁，A₂，以F₁F₂为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点(M为第一象限的交点)，O为坐标原点，则() C的离心率为 D. 四边形MF₂NF₁的面积为2bc 第Ⅱ卷 (非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知函数 则曲线在处的切线方程为 13.将函数f的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则∅的值可以为 (写出一个满足条件的φ的值即可) 14.一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为 ；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步.某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek 的人称为“非AI达人”.以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 (1)补全2×2列联表，根据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望. 附： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本小题15分) 某地区有20000名学生参加数学联赛(满分为100分)，随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)根据频率分布直方图，求样本的75%分位数(四舍五入精确到整数)； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ²)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.试估计成绩不低于90分的学生人数. 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²),则, 17. (本小题15分) 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y(库仑)与使用时间t(小时)的散点图，其中t为正整数. (1)利用散点图, 判断与 哪个更适宜作为回归模型?(给出判断即可，不必说明理由) (2)在(1) 的条件下, (i)求出剩余电量y与使用时间t的回归方程(精确到0.01)； (ii)当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考数据：记 参考公式： 18.(本小题17分) 系统中每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记Pₖ表示“系统中共有个元件时，系统正常工作的概率”. (1)若 , 求P₄; (2)若 系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为X，求X的均值； (3)若 证明： 19.(本小题17分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在圆 外，且对C₁上任意一点M ，点M 到直线l：x=-3的距离比点M 到点C₂的距离小l. (1)求曲线C₁的方程； (2)若直线l上一动点N，过点N 作圆C₂的两条切线，切点分别为S，T，求四边形NSC₂T面积的最小值； (3)设 为直线l上一动点，过点N作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点E，F和G，H.探究：点E，F，G，H的纵坐标之积是否为定值?若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $海南中学2026届高三年级第0次月考数学详解答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.A2.D.3.C. 4.()5=35>31>0>0g,0.5,所以c<a<b.故选：B 5,因为4=子4=女，所以=1-，所以马=1-号所以a-合言所以 a a,=1-】=5,,所以数列{4，}是周期为3的数列，所以a=4=4故选：D 4 a 6.题设，所得圆锥的底面周长为×2x4r=4红cm,易知圆锥的底面半径为2cm,母线长为4cm,所以 圆锥的高为，-7=2m·故圈锥简的体积为X2x4=4xm故透：B 1-1×1X 7.【详解】则cos8=a:(a- 5 lalla-bi 2， 因为8e0利，所以0=云即a与a-3的 1+1-2×1×1× 夹角为产放选：A 8.【详解】由题意可知+名+巧+戈+名=10，设平均数为x,方差为g子，则元=碧=2，则 5 52=-2y+-2+3-2+x-2驴+，-2]=04，即 (:-2)2+(x2-2)2+(:-2)2+(x-2)2+(x-2)2=2,整理得：+x3++x+=22, 显然最大的数不可能为5，若最大的数为4，剩余的四个数均为1，此时42+12+2+2+12=20，不合要求： 若最大的数为4，剩余的四个数分别为1,1,1,2，此时42+12+2+12+22=23，不合要求： 故该组数据中最大的数不可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2，则这5个数只可能是3,2,2,2， 1,其众数为2，所以从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为。故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得6分，有远错的得0分，部分选对的都分得分， 9.【详解】由已知等比数列{a}的公比为9，且a1+a2=5,a~a3÷-iS, 则/%+ag=5 a-092-15’解得%1 9{9=车所以6，=4,5=仁4=85，故选：AB 1-4 10.【详解】由二倍角公式，可得cosC=1-2sin2C=3 25 因为Ce(0,小，所以snC=号由余弦定理有oC=BCC_10+44'-号， 2BC.CA 40 高三数学第1页（共6页） 解得AB=45,故A正确：三角形的面积S=号BC.CAsin C=xI0×2x4=8,故B正确； 2 VABC的外接圆直径是AB 4W5×x三5V,故C错误：设内切圆半径为，结合B选项，三有 S=(4B+BC+C4)r=X0+2+45)r=8,解得，=3-5，故D正确，故选：ABD 2 11.置详解】对于A,由题意可作图如下： 在△AON与△A,OM中，因为OA=OA2,OM=ON,∠AON=∠A,OM, 所以△4ON兰△A,OM,则AN=A,iM,∠ANO=∠A,MO,即AN/1AM, 所以四边形ANAM为平行四边形，所以AM/14N,故A正确： 对于B,以FF2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, x2+y2=c2 联立 b ,解得M(a,b),又A（a,O),则MA2上AA,故B正确； 由a∠M04,=6,∠04=60，则=3，所以离心率 ,62 a 故C错误； 对于D,由题意可作图如下：因为M(a,b),M4,⊥A42,所以M42=b, 由图可知四边形M,NR的面积S=2S。M5=2××M4,×瓦=2c,故D正确，故选：ABD. 第误卷非选择题共2分》 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共5分把答案填在答题卡的相应位置 12.3x-y-1=0 13.{详解】f=s2x~列的图象向右平移5个单位长度，得到g冈=sn2x胥. 得到的函数图象关于y轴对称，则：一背-=x+,化e, 解得：9=-：-e刀，当k=1时，9名故答案为：君（答案不唯-） 6 6 14.《详解！记A,表示第i次取到黑球，i=1,2,3,4, 6)=P444+网P叫4=号 n(瓦4,44）=2×3x5x7，n44席4，=2×3×4×5，r{4=2×7×9x11, P44网=P电4网+P6有4网)-44，国4 n(A)】 (4) 高三数学第2页（共6页） 2×3×5×7+2x3×4×5=5 2×7X9×112x×7×9×1121 故答案为：号品 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 5.(本小题13分) 【详解】(1)2×2列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设以，：“N达人与性别无关，7-60x24x2-18x6-20=2857<6635=p 42×18×30×30 根据小概率值α=0.010的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 因此认为H。成立，因此认为“AI达人”与性别无关。 (2)在A达人"中按性别分层抽样抽取7人，其中男A1达人抽取24x7=4人，女“AI达人抽取3人， 42 X的新有可能斑做为0,12则Px-0叭是-号Ax=0=答-号PX=2)号-号 所以，X的分布列如下： X 0 2 2-7 47 1 7 X的数学期望E(X)=0x号+1x号+2×F7 2 4 16 16.(本小题15分) 【详解】(1)由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： x=10(40x0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)=62, 所以样本平均数的估计值为62. (2)由频率分布直方图知，前3组的频率和为0.1+0.2+0.3=0.6，第4组的频率为0.24， 所以样本的75%分位数为65+0.75,0.6×10=71.25=71. 0.24 (3)由(1)知，样本平均数的估计值H=62,则4+2o≈62+2×14=90， 高三数学第3页（共6页） 因此PX≥90)=PX≥u+20)=0-0.9545)=0.0275, 所以成绩不低于90分的学生人数约为20000×0.02275=455. 17.(本小题15分) 【详解】(1)y=me更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y(库仑)与使用时间1（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢，y=at+b呈线性变化，不适宜作为回归模型，故y=me“更适宜作为回归模型； (2)(i)y=me两边取对数得ny=t+nm, 24-97Z-425-9x45x15的 9 9 -12 由于z=1n》, 三-0.20， 2- 285-9x45） 60 9 nm=z-求-7=-15-(-0.20x5≈1.17， 9 即m≈e17,故y=e17e020=e17-02， (i)会报警提示，理由如下： y=e-4m中，令1=12得y=e-02=e13=,1=0.29<03, 3.42 故会报警提示， 18.(本小题17分) 【详解】(1)因为k=4,p=21 所以月=ci--pr+cn0-p=c[+c-名 2）记正布工作的元件个数为Y,则y-B3引 2 所以E(Y)==3x写=2， 又因为X=y-(3-Y)=2Y-3, 所以E(X)=E(2Y-3)=2E(Y)-3=1. (3)令g=1-p<2' 1 则Bm1=C2pmg”·p2+Cgmp"gm（1-92)+(Bm1-C2m1pqm）， 所以P2m+=P2m1-C2m-p"gm+Cm1pmq", 高三数学第4页（共6页） 所以Bm1-Bm1=C2m-p”g(p-q）>0, 所以Bm1>月m· 注解： Bm1=Cmpg,p2+Cga1pgm-(1-g2）+(Cpmgm-2+C2t3pm2g-3++C2mp2m-） =C2mpm-gmp2+Cm-pgm(1-g2）+(Bm1-Cgm-pgm）. 递推解法：乃m1=Bm+Cp"g"p,Bm=乃m-1-Cmp”g"-g,消去乃m提公因式即可。 19.(本小题17分) 【详解】(1)方法一： 由题意，M到直线1：x=-3的距离比点M到点C2的距离小1， ∴.C上任意一点M到直线x=-4的距离等于点M到点C,的距离， 因此，曲线C的是以(4,0)为焦点，直线x=-4为准线的抛物线， 故曲线C的方程为y2=16x. 方法二：由题意，设点M的坐标为(x,y), 由题意得x+3到=V(x-4+y2-1,易知点C位于直线1：x=-3的右侧， .x+3>0,.√x-4)2+y2=x+4,化简得y2=16x,曲线C的方程为y2=16x. (2)由题意得，C,的圆心为(4,0)，半径r=√万， 又：四边形NSC,T的面积=NS·SC2=√WC-SC·SC,=V7x√WC-7, ,当NC2的值最小时，四边形NSC,T的面积最小，又NC2的最小值为：3+4=7， .四边形NSC,T面积的最小值S=√万×√49-7=7√6， (3)由题意及(1)(2)证明如下， 高三数学第5页（共6页） 当点N在直线：x=-3上运动时，设点N的坐标为(-3，y).又y≠±万， ,过点N且与圆C,相切得直线的斜率k存在且不为0， 每条切线都与C,有两个交点，则切线方程为y-=k(x+3), 即kc-y+%+3k=0, 所以+%+3测=万，整理得422+14k+好-7=0.@ Vk2+1 设过点N所作的两条切线NS,WT的斜率分别为k,k2, 则k,飞2是方程①的两个实数根， “k+k=-140=-五.@ 423 联立 [x-y+%+3=0得k2-16y+16(0%+3k)=0.® y2=16x, 设点E,F,G,H的纵坐标分别为，y2,乃3，y4,则乃1，y2是方程③的两个实数根， 片为= 16(%+3k .④ H 同理可得，3y4= 16(+3k).⑤ k, 联立②，④，⑤三式，得 yy2y3y 2560+3%)06+3%).256[8+3(+6)%+9%k]_256[6-6+9%k]-2304, kk2 kk2 kak2 .当N在直线1：x=-3上运动时，点E,F,G,H的纵坐标之积为定值2304. 高三数学第6页（共6页）