精品解析：陕西省西安市西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年度第一学期收心考试 九年级数学试题 （时间：100分钟 总分：120分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列不等式变形正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3. 近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积，进而求得黑色部分的面积，则总面积与黑色部分面积的差即为白色部分面积． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的， ∴黑色阴影区域的面积是， ∴二维码中白色部分的面积为； 故选：C． 4. 如图，将绕点逆时针旋转角（）得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键．首先根据题意解得，再由旋转的性质可得，，易得为等腰三角形，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 即旋转角的度数为． 故选：B． 5. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长． 【详解】解： AD=，AB=2，CD=3， ∵AB∥DC， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴设AO=2x，则OD=3x， ∵AO+OD=AD， ∴2x+3x=5． 解得：x=1， ∴AO=2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 7. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题． 【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3， 移项、合并，解得：x=， ∵分式方程的解为非负数， ∴≥0且≠1， 解得：m≤5且m≠3， ∵m为正整数 ∴m=1，2，4，5，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 8. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是________． 【答案】， 【解析】 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值． 【详解】∵x=0是关于x的一元二次方程的一个根， ∴a2+a−1=0， 解得 即a的值是， 故答案为， 【点睛】考查一元二次方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解. 10. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长． 【详解】如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13，AF=5, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 11. 如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 12. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 _______________． 【答案】+1 【解析】 【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边中线定理可得OE＝AE＝AB＝1，利用勾股定理求出DE，根据三角形任意两边之和大于第三边可知当OD过点E时，点D到点O的距离最大． 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE， ∵∠MON＝90°，AB＝2 ∴OE＝AE＝AB＝1， ∵BC＝1，四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝1， ∴DE＝， 根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE， ∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1． 故答案为： +1． 【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系，勾股定理的应用，确定OD过点E时，点D到点O的距离最大． 三、解答题（共12小题，满分81分） 13. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法和确定不等式组解集的方法是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）先分别求出不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 解得； （2）， 解不等式①得； 解不等式②得； 所以不等式的解集为：． 14. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 15. 如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作平分交于点E，连接，点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 根据作图可知：， ∵，， ∴， ∴． 16. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 17. 如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】解：条件是， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 18. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的倍，若用元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？ 【答案】篮球的进价为每个元，排球的进价为每个元 【解析】 【分析】设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元，由等量关系，元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元， 根据题意得， 解得（元）， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：篮球的进价为每个元，排球的进价为每个元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． 19. 央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇．小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． （1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______； （2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种， ∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为． 20. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ． ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、负整数指数幂、三角形的三边关系． （1）直接利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方的非负性求出x、y的值即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方的非负性求得a、b的值，根据三角形的三边关系可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即 ∴当时，的周长取最大值，最大值为． 22. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图： ， ，由平行四边形的性质得：和互相平分 ∴，， 解得，， ； 当为平行四边形的对角线时，如下图： 同理可得，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标为或． 23. 【问题提出】如图（1），是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转与重合，若，则___________（直接写出答案） 【问题探究】如图（2），点是等边内一点，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点顺时针方向旋转至处，连接，根据所学习的数学知识便可以求出的度数．请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】如图（3），为等腰直角三角形，，是内部一点，当取得最小值时，请求出的面积． 【答案】问题提出：；问题探究：；问题解决： 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题； 问题提出：依题意得，旋转中心为点，旋转角，对应点、到旋转中心的距离相等，即，可证为等腰直角三角形，由勾股定理求； 问题探究：由旋转可知：，先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，把问题转化为； 问题解决：如图③中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点．由旋转的性质可知，，，，，推出，可得，解直角三角形，求出，当的取得最小值时，．．共线，过点作于点．求出，的值，可得结论． 【详解】解：问题提出：根据旋转的性质可知，，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理，得， 故答案为：； 问题探究：如图， 由旋转可知：， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：； 问题解决：如图（3）中，将△绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质可知，，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，，，共线， 过点作于点． ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期收心考试 九年级数学试题 （时间：100分钟 总分：120分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列不等式变形正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点逆时针旋转角（）得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 8. 分解因式：___________． 9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是________． 10. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____． 11. 如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 12. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 _______________． 三、解答题（共12小题，满分81分） 13. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 14. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 15. 如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 16. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 17. 如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 18. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的倍，若用元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？ 19. 央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇．小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． （1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______； （2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率． 20. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 21. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ． ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 22. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 23. 【问题提出】如图（1），是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转与重合，若，则___________（直接写出答案） 【问题探究】如图（2），点是等边内一点，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点顺时针方向旋转至处，连接，根据所学习的数学知识便可以求出的度数．请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】如图（3），为等腰直角三角形，，是内部一点，当取得最小值时，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $