精品解析：江西省赣州市赣州经济技术开发区2020-—2021学年九年级上学期期末考试数学试题上学期期末考试数学试题

2020-2021学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ） A. “在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件 B. 掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品 D. 彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖 3. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A. m≥ B. m＜ C. m＝ D. m＜﹣ 4. 如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( ) A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 6. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　 A. B. C. D. 二、填空题 （本大题共6小题， 每小题3分， 共18分） 7. 二次函数函数值最小是____． 8. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程为 _____． 9. 设、 是一元二次方程的两个根， 则____． 10. 如图， 已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，则圆锥的侧面积为____． 11. 如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象， C2是函数y=-x2的图象，C3是函数y=x的图象，则阴影部分的面积是_______． 12. 如图，在直角坐标系中有两点、，如果点在轴上（与不重合），当点的坐标为______时，使得由点、、组成的三角形与相似． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 14. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1； （2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长． 16. 在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作弦，使； （2）在图2中以为边作一个45°的圆周角． 17. 如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于x轴，且，点A的坐标为． （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 19. 如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽，最高点离水面，以水平线为轴，的中点为原点建立直角坐标系（如图②）． （1）求抛物线的解析式； （2）桥边有一浮在水面部分高，最宽处为的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由． 20. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点 重合， 三角板的一边交 于点， 另一边交 的延长线于点，易知 （1）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形 的对角线 上， 其他条件不变， 与 是否仍然相等？若相等，请给予证明： 若不相等． 请说明理由： （2）如图3，将（1）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变， 若、，求的值． 五、（本大题共2小题， 每小题9分，共18分） 21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长． 22. 如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． （1）如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． （2）如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． （3）若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 六、（本大题共12分） 23. 在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标． （1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标； （2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示： ①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ； ②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式； ③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B：是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误； C：是中心对称图形，不是轴对称图形，故C错误； D：是中心对称图形，也是轴对称图形，故D正确． 故选：D． 2. 下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ） A. “在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件 B. 掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品 D. 彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率的意义以及概率求法和利用样本估计总体等知识分别分析得出答案． 【详解】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项错误； B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为，故此选项错误； C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，正确； D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故原说法错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率的意义以及概率求法、利用样本估计总体等知识，正确理解相关性质是解题关键． 3. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A. m≥ B. m＜ C. m＝ D. m＜﹣ 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选B. 4. 如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( ) A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果． 【详解】解：连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△CAB， 而S△OAB=|k|=， ∴S△CAB=， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 5. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（ ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 6. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线与x轴交于点A、B， ∴=0， ∴x1=5，x2=9， ， 抛物线向左平移4个单位长度后的解析式， 当直线过B点，有2个交点， ， ， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， ， 相切， ， ， 如图， 若直线与、共有3个不同的交点， --， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键. 二、填空题 （本大题共6小题， 每小题3分， 共18分） 7. 二次函数函数值最小是____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求解．本题考查二次函数图象性质，掌握二次函数图象性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数图象是开口向上的抛物线， ∴当时，其取到最小值6． 故答案为：6． 8. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程． 【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为， 即方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率． 9. 设、 是一元二次方程的两个根， 则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得：，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图， 已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，则圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆锥的侧面积，先利用三角函数计算出，再利用勾股定理计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，在中， ∵， ∴，即圆锥的底面圆的半径为， ∴，即圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：． 11. 如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象， C2是函数y=-x2的图象，C3是函数y=x的图象，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和圆的性质可以知道，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，C3是函数y=x的图象，得出阴影部分面积即可． 【详解】解：抛物线y=x2与抛物线y=-x2的图形关于x轴对称，直线y=x与x轴的正半轴的夹角为60°， 根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为150°，半径为2， 所以：S阴影= 故答案为． 12. 如图，在直角坐标系中有两点、，如果点在轴上（与不重合），当点的坐标为______时，使得由点、、组成的三角形与相似． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质； 根据题意可知，若点、、组成的三角形与相似，则有或，分情况利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵、， ∴，，， ∵点在轴上， ∴， ∵点、、组成的三角形与相似， ∴或， 当时，有， ∴， ∴，即， 当时，有， ∴， ∴， ∴或， 综上，当点的坐标为或或时，由点、、组成的三角形与相似， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】(1)x1=−3,x2=(2) 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可. 【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3) 3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0 (x＋3) (3x-2) ＝0 3x-2＝0或 x＋3＝0 ∴x1＝，x2＝－3； (2)2x2－4x－3＝0 a=2，b=-4，c=-3， △=16+24=40＞0， ， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1； （2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长． 【答案】 （1）如图： ； （2）π． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据旋转的性质，可得答案； （2）根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得答案． 解：（1）略 （2）如图2： ， 图2 OB==2， 点B旋转到点B1所经过的路径长=π． 考点：作图-旋转变换． 16. 在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作弦，使； （2）在图2中以为边作一个45°的圆周角． 【答案】（1）如图1，线段为所求弦； （2）如图2，为所作． 【解析】 【分析】（1）分别延长、交半圆于、，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可得到，则可判断； （2）在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于，然后证明，从而根据圆周角定理可判断． 【详解】解：（1）如图1：分别延长、交半圆于、，线段为所求弦． 理由如下：∵AB=AC, ∴∠B=∠C， 又∵， ∴∠F=∠C， ∴∠C=∠F， ∴EF∥BC， （2）如图2，（以下画法供参考）：在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于， 则为所作． 理由如下：∵EF∥BC， ∴， ∴∠EBC=∠FCB， ∴MC=MB， 又∵AB=AC， ∴MA垂直平分BC， ∴D为的中点， ∵为半圆， ∴∠CBD=45°. 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理． 17. 如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长. 【答案】4 【解析】 【详解】【分析】由已知条件先求得CD=BC=4，然后再证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例结合CE+AE=AC=6即可求得AE的长. 【详解】∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵CD∥AB， ∴∠ABD=∠D， ∴∠CBD=∠D， ∴CD=BC=4， 又∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴= ， ∵CE+AE=AC=6， ∴AE=4. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于x轴，且，点A的坐标为． （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 【答案】（1）． （2）矩形的平移距离为3，反比例函数的解析式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质及坐标与图形的变化−平移，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据矩形的对边平行且相等的性质即可得到B、C、D三点的坐标． （2）从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上，设平移距离为a，得到，代入中，得到关于a、k的方程组从而求得a、k的值，从而得到矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴． ∵平行于x轴，点A的坐标为， ∴ 【小问2详解】 猜想矩形的A、C两顶点恰好同时落在反比例函数的图象上．如图，矩形向下平移后得到矩形，设平移距离为a，则． ∵点，点在的图象上， ∴，解得． ∴矩形的平移距离为3，反比例函数的解析式为． 19. 如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽，最高点离水面，以水平线为轴，的中点为原点建立直角坐标系（如图②）． （1）求抛物线的解析式； （2）桥边有一浮在水面部分高，最宽处为的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能开到桥下 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，代入（0,8）即可求解； （2）求出当x=9时，y的值，判断其是否大于4即可． 【详解】（1）∵AB=24，OC=8 ∴A（-12,0），B（12,0），C（0,8） 设抛物线解析式为 代入C点坐标，得，解得 ∴抛物线解析式为； （2）当x=9时，得 ∵3.5<4 ∴不能开到桥下． 【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，重点是根据题目所给的坐标系求出函数解析式． 20. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点 重合， 三角板的一边交 于点， 另一边交 的延长线于点，易知 （1）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形 的对角线 上， 其他条件不变， 与 是否仍然相等？若相等，请给予证明： 若不相等． 请说明理由： （2）如图3，将（1）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变， 若、，求的值． 【答案】（1） 解：， 证明如下： 如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则，， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质． （1）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证； （2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，可得，，则可证得，，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则， ，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 五、（本大题共2小题， 每小题9分，共18分） 21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长． 【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）连接OD交BC于H，证出OD∥AE，得出OD⊥EF，即可得出结论； （2）证四边形CEDH是矩形，得HD＝CE＝2，由三角形中位线定理得OH＝AC＝3，则OB＝OD＝OH＋HD＝5，得AB＝2OB＝10，由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠HCE＝90°， 又∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， 由（1）得：OD⊥EF， ∴∠HDE＝90°， ∴四边形CEDH是矩形， ∴HD＝CE＝2， ∴∠CHD＝90°， ∴∠OHB＝90°， ∴OD⊥BC， ∴OH平分BC， ∴OH是△ABC的中位线， ∴OH＝AC＝3， ∴OB＝OD＝OH+HD＝5， ∴AB＝2OB＝10， ∴CB＝＝＝8． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；解题的关键是掌握切线的判定与性质和圆周角定理． 22. 如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． （1）如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． （2）如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． （3）若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 【答案】（1），； （2） 解：（1）中结论仍成立，证明如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定及性质，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ， 综上，的度数为，线段与 的数量关系为； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是等边三角形， ， 当旋转时，B、C、D三点共线且最大，，此时； 当旋转时，B、C、D三点共线且最小，，此时； ∴长的取值范围为． 六、（本大题共12分） 23. 在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标． （1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标； （2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示： ①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ； ②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式； ③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值． 【答案】（1）（，2）；（2）①y=﹣ax2+bx．②b=2a2．③ 或． 【解析】 【分析】（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论； （2）①由抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，可将y换成﹣y，将x换成﹣x，整理后即可得出结论；②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为：x=，由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=，变形后即可得出结论；③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值． 【详解】（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得 ， 解得： ． ∴抛物线L的解析式为， ∴它的特征点为（，2）． （2）①∵抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称， ∴抛物线L2的解析式为﹣y=a（﹣x）2+b（﹣x）， 即y=﹣ax2+bx．故答案为y=﹣ax2+bx． ②∵抛物线L2的对称轴为直线：x= ． ∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a=， ∴a与b的关系式为b=2a2． ③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N， ∴在抛物线L1：y=ax2+bx中， 令y=0，即ax2+bx=0， 解得：x1=，x2=0（舍去）， 即点M（，0）； 在抛物线L2：y=﹣ax2+bx中， 令y=0，即﹣ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去）， 即点N（，0）． ∵b=2a2， ∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）． ∴MN=2a﹣（﹣2a）=4a，MC= ，NC=． 因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时， 有以下三种可能： （1）MC=MN，此时有：=4a， 即9a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=， ∵a＜0， ∴a=； （2）NC=MN，此时有：=4a， 即a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=， ∵a＜0， ∴a=； （3）MC=NC，此时有：=， 即9a2=a2，解得：a=0， 又∵a＜0， ∴此情况不存在． 综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为或． 【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.等腰三角形的性质；4.解一元高次方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $