精品解析： 安徽省合肥五十中西校2023-2024学年八年级 上学期培优选拔数学试卷

2023-2024学年安徽省合肥五十中西校八年级（上） 培优选拔数学试卷 一、选择题（每题5分，共25分） 1. 一次函数，若，则，下列各点可能在一次函数的图象上的是( ) A. B. C. D. 2. 当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（ ） A. B. C 且 D. 且 3. 如图，函数（是常数，且）的图像分别交轴，轴于点，，线段上两点，（点在点的右侧），作轴，轴，且垂足分别为，，若，则的面积与的面积的大小关系是（ ） A. B. C D. 无法确定 4. 设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ） A. b>0，b2-ac≤0 B. b＜0，b2-ac≤0 C. b>0，b2-ac≥0 D. b＜0，b2-ac≥0 二、填空题（6-14题每题6分，15题9分，16题12分，共75分） 6. 当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m，）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是__________． 7. 如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为_________． 8. 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为______． 9. 已知直线l1经过点P(1+m，1﹣2m)，直线l2：y＝kx+k（k≠0），若无论m取何值，直线l1和l2的交点Q都在第一象限，则k的取值范围是_____ 10. 如图，是凸四边形，则的取值范围是_______． 11. 如图，中，，，两条角平分线、相交于点，则图中全等等腰三角形有_______． 12. 如图，在中，，平分交于点D，，，则________． 13. 如图，已知，，，，，，，，…，则点的坐标是______． 14. 在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 _______________．​ 15. 已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住满． （1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 _______间，双人客房 _____间； （2）若要求租住房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 _________元． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点． （1）若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，则点的坐标为______； （2）若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年安徽省合肥五十中西校八年级（上） 培优选拔数学试卷 一、选择题（每题5分，共25分） 1. 一次函数，若，则，下列各点可能在一次函数的图象上的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果． 【详解】解：由于时，则， 所以满足条件的点在x轴上方，直线的左侧， 所以可得一次函数的图象大致为： 点在直线的上方，点在直线的下方，点在直线的下方， 可能在一次函数图象上的是． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键． 2. 当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意得到当时，一次函数最大值满足，然后根据和分情况讨论分别求出最大值即可． 【详解】解：∵当时，一次函数满足， ∴当时，一次函数最大值满足， 当时，一次函数随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值 解得：， 故此时：； 当时，一次函数随的增大而增大， 当，有最大值， 解得； 故此时：， 综上所述，且． 故选：C． 3. 如图，函数（是常数，且）的图像分别交轴，轴于点，，线段上两点，（点在点的右侧），作轴，轴，且垂足分别为，，若，则的面积与的面积的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和整式的乘法的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题需要先设，，然后得到， 再根据一次函数和整式乘法的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题可得，， ∵点，在函数的图像上， ∴设，，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D． 【详解】解：A．当，，时，，故A错误； B．当，，时，，故B错误； C．整理可得，故C错误； D．整理可得，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 5. 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ） A. b>0，b2-ac≤0 B. b＜0，b2-ac≤0 C. b>0，b2-ac≥0 D. b＜0，b2-ac≥0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0． 【详解】解：∵a-2b+c=0， ∴a+c=2b， ∴a+2b+c=4b＜0， ∴b＜0， ∴a2+2ac+c2=4b2，即， ∴b2-ac=， 故选D． 【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 二、填空题（6-14题每题6分，15题9分，16题12分，共75分） 6. 当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m，）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是__________． 【答案】（4，3） 【解析】 【分析】将点A代入y=-x+b中求b值，然后设B（x，y）,根据完美点的定义列方程组求解即可． 【详解】解：将点A（1，6）代入y=-x+b， 得b=7， 则直线解析式为：y=-x+7， 设点B坐标为（x，y）， ∵点B满足直线y=-x+7， ∴B（x，-x+7）， ∵点B是“完美点”， ∴      ① ∵m+n=mn，m，n正实数， ∴② 将②代入①得： 解得x=4， ∴点B坐标为（4，3）， 故答案为：（4，3）． 【点睛】题目考查了完美点的新定义及待定系数法计算求解，题目设计新颖，既考查学生理解能力，又考查学生计算能力． 7. 如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为_________． 【答案】﹣05＜x＜2 【解析】 【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0）， ∵（kx+b）（mx+n）＞0， ∴两个正数或两个负数的积为正数， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣0.5＜x＜2， 故答案为：﹣0.5＜x＜2． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 8. 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义先列不等式：2x-1≥-x+3和2x-1≤-x+3，确定其y=min{2x-1，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值． 【详解】解：由题意得： ，解得： 当2x-1≥-x+3时，x≥， ∴当x≥时，y=min{2x-1，-x+3}=-x+3， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 当2x-1≤-x+3时，x≤， ∴当x≤时，y=min{2x-1，-x+3}=2x-1， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 综上所述，y=min{2x-1，-x+3}的最大值是当x=所对应的y的值， 如图所示，当x=时，y=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题． 9. 已知直线l1经过点P(1+m，1﹣2m)，直线l2：y＝kx+k（k≠0），若无论m取何值，直线l1和l2的交点Q都在第一象限，则k的取值范围是_____ 【答案】0＜k＜3 【解析】 【分析】令x=1+m，y=1﹣2m，可求l1直线解析式为y=﹣2x+3，联立方程可求Q（，），再由题意，Q在第一象限即可求解． 【详解】令x=1+m，y=1﹣2m， ∴y=﹣2x+3， l1的直线解析式为y=﹣2x+3， 则﹣2x+3=kx+k时，x=， ∴Q（，）， ∵Q在第一象限， ∴＞0，＞0， ∴0＜k＜3； 故答案为0＜k＜3． 【点睛】此题主要考查一次函数的性质，熟练掌握，即可解题. 10. 如图，是凸四边形，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，从三边关系出发，三角形中的任一边大于两边的差而小于两边之和．连接，在中得到关系式，再在中得到关系式从而解得． 【详解】解：如图，连接 在中，， ∴， 即； 中，， ∴，即． ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，两条角平分线、相交于点，则图中全等等腰三角形有_______． 【答案】3对 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 由在中，，角平分线与相交于点，利用等边对等角与角平分线的性质，求得图中各角的度数，然后利用等角对等边的知识，即可判定都是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∵的角平分线与相交于点， ， ， ， ， ， ∴等腰三角形有：共 8 个，其中，． 故答案为：3对． 12. 如图，在中，，平分交于点D，，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作与点E， 由三角形面积公式解出，再根据角平分线的性质定理即可得出 【详解】解：过点D作与点E，如下图： 由得，而， 解 解得， ∵平分，，， ∴ 故答案为∶1． 13. 如图，已知，，，，，，，，…，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， ∴是第 675 组的第一个坐标， 故． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 _______________．​ 【答案】或 【解析】 【分析】由在直线上存在点，使得点是正方形的“和谐点”，可知在直线上，求得直线经过点和时的的值，即可求得的取值范围． 【详解】解：直线向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到， 把代入得，解得， 把代入得，解得， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，能够理解题意是解题的关键． 15. 已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住满． （1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 _______间，双人客房 _____间； （2）若要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 _________元． 【答案】 ①. 12 ②. 7 ③. 5100 【解析】 【分析】本题考查一次函数及二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组及用代数式表示出住宿费用是解题的关键． （1）设租住了三人客房间，双人客房间，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设租住了三人客房间，那么租住了双人客房间，将住宿费用用代数式表示出来，并注明的取值范围．判断住宿费用随的增减情况，进而确定当为何值时住宿费用最少，求出最小值，并检验此时双人间的数量是否为整数． 【详解】解：（1）设租住了三人客房间，双人客房间． 根据题意，得，解得， 故答案为：12，7． （2）设租住了三人客房间，那么租住了双人客房间． 则住宿费用为偶数，且， 随的增大而减小， 当时，最小，． 此时，租住双人客房的间数为（间． 故答案为：5100． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点． （1）若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，则点的坐标为______； （2）若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键． （1）先利用已知函数求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，利用两条直线的解析式表示出两点的坐标，进而得出线段的长，列出方程即可解答； （2）分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形、四边形为平行四边形，三种情形解答，先求得经过点的解析式，再联立，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，， ， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵轴， ∴的横坐标相同． 设，则． ∵为线段上一个动点， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． （2）解：如下图，当四边形为平行四边形时， 令，则， ， ， ∴直线的解析式为：． 在中，令，则， ， ， ∴直线的解析式为：． ， 解得：． ． 如下图，当四边形为平行四边形时， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线解析式为， 当时，， ． 当四边形为平行四边形时，如下图， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为：， 当时，， ． 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或， 故答案为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $