精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷

2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图是由七个相同的小正方体搭成的一个几何体，从上方看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 2. 钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ） A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105 3. 对下面问题的调查，适合用普查方式的是(　　) A. 班级同学中哪个月出生的人数最多 B. 某批次冷饮的质量是否合格 C. 京剧在全校同学中受欢迎的程度 D. 大邑县人口的平均寿命 4. 下面运算中正确的是（ ） A. m2•m3＝m6 B. m2+m2＝2m4 C. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. （﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6 5. 如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（　　） A. 北偏东，北偏西 B. 北偏东，北偏西 C. 北偏东，北偏西 D. 北偏东，北偏西 6. 下列语句，正确的是（ ） A. 在所有连接两点的线中，线段最短 B. 线段就是点A与点B之间的距离 C. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D. 正整数与负整数统称为整数 7. 若（3﹣m）x|m|﹣2﹣1=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A. ±3 B. ﹣3 C. 3 D. ±2 8. 如图，已知点C把线段AB从左至右依次分成1：2两部分，点D是AB的中点，若DC=2，则线段AB的长是（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 如图，将长方形纸条的一部分ODCG沿OG折叠刀OD1C1G，若∠D1OG=55°，则∠AOD1等于（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 70° 10. 下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有个小圆，第②个图形有个小圆，第③个图形有个小圆，，按此规律排列，则第个图形中小圆的个数为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11. _______相反数是它本身． 12. 当______时，代数式中不含项． 13. 当时刻为下午时，钟表上的时针与分针间的夹角是_______度． 14. 过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是_____． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15. 计算： （1） （2） 16. 求解下列方程： （1） （2） 17. 按要求解答： （1）化简： （2）化简求值：当时，求代数式的值． 18. 为了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年达到“优”和“良”的总天数． 19. 如图，直线，相交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 20. 如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点． （1）若，则的长为______； （2）若，求的长； （3）动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21. 若代数式x2﹣4x﹣5的值为0，则7＋12x﹣3x2的值等于 __________． 22. 若，，则_____． 23. 若，则化简的结果是___________． 24. 对于正整数n，阶乘符号表示从n到1的整数的乘积（例如：），则满足方程的N的值为 _______． 25. 已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则______． 五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26. 我市某个批发市场出售两种商品并开展优惠促销活动，其中商品标价为每件80元、商品标价为每件100元，活动方式如下两种： 活动一：商品每件9折，商品每件7折； 活动二：所购商品累计少于100件没有优惠，达到或超过100件全部七五折，两个活动不能同时参加． （1）某客户购买商品30件，商品100件，选择哪种活动便宜？能便宜多少钱？ （2）某客户购买商品件（为正整数），购买商品件数比商品件数的2倍多16件； ①商品购进了________件（用含的代数式表示） ②该客户选择哪一种活动方式更合算？请说明理由． 27. 小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 28. 如图1，OA⊥OB，∠COD＝60°． （1）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数； （2）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数； （3）如图2，射线OB与OC重合，若射线OB以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，同时射线OC以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OB与OA重合时停止运动．设旋转的时间为t秒，请直接写出图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图是由七个相同的小正方体搭成的一个几何体，从上方看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从上方看到的平面图形是． 2. 钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ） A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法是把一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤a﹤10，n表示整数，且n为整数位数减1． 【详解】4400000=4.4×106． 故选C． 【点睛】此题考查用科学记数法表示一个数的方法，要求学生掌握科学记数法的表示方法． 3. 对下面问题的调查，适合用普查方式的是(　　) A. 班级同学中哪个月出生的人数最多 B. 某批次冷饮的质量是否合格 C. 京剧在全校同学中受欢迎的程度 D. 大邑县人口的平均寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，掌握普查和抽样调查的特点是解题的关键．普查适用于范围小、要求准确度高或无破坏性的情况，而抽样调查适用于范围大、有破坏性或无法全面调查的情况，据此判断即可求解． 【详解】解：A、要了解班级同学中哪个月出生的人数最多，范围小，要求准确度高，适合采用普查方式； B、要了解某批次冷饮的质量是否合格，数量大，范围广，且具有破坏性，适合采用抽查方式； C、要了解京剧在全校同学中受欢迎的程度，数量大，范围广，适合采用抽查方式； D、要了解大邑县人口的平均寿命，数量大，范围广，适合采用抽查方式； 故选：A． 4. 下面运算中正确的是（ ） A. m2•m3＝m6 B. m2+m2＝2m4 C. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. （﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方以及单项式乘以单项式原则一一进行判断即可． 【详解】A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.，故此选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查整式的乘法运算以及合并同类项，掌握整式相关的法则是解题的关键． 5. 如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（　　） A. 北偏东，北偏西 B. 北偏东，北偏西 C. 北偏东，北偏西 D. 北偏东，北偏西 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向，根据方向角的定义即可判断． 【详解】解：处观测到的处的方向角是：北偏东， 处观测到的处的方向角是：北偏西． 故选：B． 6. 下列语句，正确的是（ ） A. 在所有连接两点的线中，线段最短 B. 线段就是点A与点B之间的距离 C. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D. 正整数与负整数统称为整数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，线段的性质，绝对值的性质以及整数的概念．依据平面内两直线的位置关系，线段的性质，绝对值的性质以及整数的概念进行判断即可． 【详解】解：A、在所有连接两点的线中，线段最短，说法正确，本选项符合题意； B、线段的长度是点A与点B的距离，原说法错误，本选项不符合题意； C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，原说法错误，本选项不符合题意； D、正整数、0与负整数统称为整数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 7. 若（3﹣m）x|m|﹣2﹣1=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A. ±3 B. ﹣3 C. 3 D. ±2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程和不等式，即可求m的值． 【详解】解：∵（3-m）x|m|-2-1=0是关于x的一元一次方程， ， ∴m=-3 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，利用一元一次方程的定义解决问题是本题的关键． 8. 如图，已知点C把线段AB从左至右依次分成1：2两部分，点D是AB的中点，若DC=2，则线段AB的长是（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到AC= AB，由点D是线段AB的中点，得到AD=AB，根据线段的和差，可得关于AB的方程，根据解方程，可得到结论 【详解】由题意，得 AC=AB，AD=AB． 由线段的和差，得 CD=AD﹣AC， 即AB﹣AB=2， 解得AB=12， 故选C． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是准确识图． 9. 如图，将长方形纸条的一部分ODCG沿OG折叠刀OD1C1G，若∠D1OG=55°，则∠AOD1等于（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠得出∠D1OG=∠DOG=55°，求出∠AOD1，即可求出答案． 【详解】∵将长方形纸条的一部分ODCG沿OG折叠到OD1C1G，∠D1OG=55°， ∴∠D1OG=∠DOG=55°， ∴∠AOD1=180°﹣55°﹣55°=70°， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，能根据折叠得出∠D1OG=∠DOG=55°是解此题的关键． 10. 下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有个小圆，第②个图形有个小圆，第③个图形有个小圆，，按此规律排列，则第个图形中小圆的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知：第①个图形有5个小圆，第②个图形有5+4=9个小圆，第③个图形有5+4+4=13个小圆，…，由此得出第n个图形中小圆的个数为5+4（n-1）=4n+1，由此进一步代入求得答案即可． 【详解】∵第①个图形有5个小圆， 第②个图形有5+4=9个小圆， 第③个图形有5+4+4=13个小圆， …， ∴第n个图形中小圆的个数为5+4（n-1）=4n+1， ∴第10个图形中小圆的个数为4×10+1=41， 故选C． 【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是关键. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11. _______相反数是它本身． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【详解】解：∵一个数的相反数是它本身， ∴这个数是0． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 12. 当______时，代数式中不含项． 【答案】## 【解析】 【分析】不含有项，说明合并同类项后项的系数为0，据此即可解答，此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：∵，代数式中不含项． ∴， 解得． 故答案为：． 13. 当时刻为下午时，钟表上的时针与分针间的夹角是_______度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案． 【详解】下午时时针与分针相距份， 每份之间相距， 下午时，钟表上的时针与分针间的夹角是， 故答案为：75． 14. 过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形． 边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，然后即可求解． 【详解】解：，即， 故答案为：6； 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）25 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解题的关键． （1）根据乘法分配律的逆运算即可得答案； （2）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算，从而可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 求解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为一，然后即可求解； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为一，然后即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 17. 按要求解答： （1）化简： （2）化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】（1） （2）；1 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减及化简求值和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先去括号，然后按照整式的加减进行运算，然后即可求解； （2）先去括号，然后按照整式的加减进行化简得到，然后把代入即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 把代入，即． 18. 为了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年达到“优”和“良”的总天数． 【答案】（1）60天 （2） 补全的条形统计图，如图： （3）天 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握利用样本估计总体是解决问题的关键． （1）根据扇形图中空气为优所占比例为，条形图中空气为优的天数为12天，即可得出被抽取的总天数； （2）根据（1）求得的被抽取的总天数减去除轻微污染的其它的天数即可求出轻微污染的天数，即可补充条形统计图；直接利用扇形图中空气为优所占比例为乘以即可得出答案； （3）利用样本中优和良的天数所占比例乘以365即可求得达到优和良的总天数． 【小问1详解】 解：∵扇形统计图中空气质量情况为“优”占的比例为，条形统计图中空气质量情况为“优”的有12天， ∴被抽取的总天数为（天）； 【小问2详解】 解：条形统计图中空气质量情况为“轻微污染”的有： （天）， 扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：我市这一年（365天）达到“优”和“良”的总天数为： （天）． 19. 如图，直线，相交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键． （1）根据补角，余角的关系，可得，根据角平分线的定义，可得答案； （2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得，再根据余角的定义，可得答案． 【小问1详解】 解：∵与是邻补角， ∴． ∵与互为余角， ∴． ∵与是邻补角， ∴． ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：， 设，． ∵与是邻补角， ∴， 即， 解得． ∵与互为余角， ∴． 20. 如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点． （1）若，则的长为______； （2）若，求的长； （3）动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）的长为12； （2）的长为12； （3）当或时，之间的距离为6； 【解析】 【分析】（1）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （2）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （3）由，则或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； 【小问3详解】 解：， 如图， ， 如图， ∴， 或， 解得：或， ∴当或时，之间的距离为6； 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21. 若代数式x2﹣4x﹣5的值为0，则7＋12x﹣3x2的值等于 __________． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据题意将代数式进行适当变形，进而利用整体代入解答即可． 【详解】解：x2﹣4x﹣5的值为0，可得， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求代数式的值，注意将代数式适当变形，利用整体代入解答是解题的关键． 22. 若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运用和同底数幂的乘法的逆用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键. 本题先根据幂的乘方的逆运用得到，然后根据同底数幂的乘法的逆运用的知识，即可求解. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴. 故答案为： 23. 若，则化简的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后去绝对值合并同类项化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查绝对值的化简及合并同类项，结合已知条件化简绝对值是解题关键． 24. 对于正整数n，阶乘符号表示从n到1的整数的乘积（例如：），则满足方程的N的值为 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据阶乘符号表示从n到1的整数的乘积，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号表示从n到1的整数的乘积，进行计算是解题的关键． 25. 已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26. 我市某个批发市场出售两种商品并开展优惠促销活动，其中商品标价为每件80元、商品标价为每件100元，活动方式如下两种： 活动一：商品每件9折，商品每件7折； 活动二：所购商品累计少于100件没有优惠，达到或超过100件全部七五折，两个活动不能同时参加． （1）某客户购买商品30件，商品100件，选择哪种活动便宜？能便宜多少钱？ （2）某客户购买商品件（为正整数），购买商品件数比商品件数的2倍多16件； ①商品购进了________件（用含的代数式表示） ②该客户选择哪一种活动方式更合算？请说明理由． 【答案】（1）活动一便宜，便宜140元；（2）①；②当总件不足100，即x＜28时，只能选择方案一的优惠方式；当总件数达到或超过100时，商品少于40件时，活动一更合算；商品大于40件时，活动二更合算；商品40件时，活动一、二一样合算 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可解答； （2）①根据题意列出代数式；②根据①的结论，令x+2x+16=100．解得：x=28，再分类讨论即可． 【详解】解：（1）活动一：30×0.9×80+100×0.7×100=9160（元）； 活动二：（30×80+100×100）×0.75=9300（元）． 9300-9160=140， 选择活动一更便宜，能便宜140元； （2）①根据题意得，2x+16； 故答案为：（2x+16）； ②由题意令x+2x+16=100． 解得：x=28． Ⅰ．当总件不足100，即x＜28时，只能选择方案一的优惠方式： Ⅱ．当总件数达到或超过100时， 活动一需付款：80×0.9x+100×0.7（2x+16）=（212x+1120）元． 活动二需付款：80×0.75x+100×0.75（2x+16）=（210x+1200）元． ∵212x+1120=210x+1200，解得：x=40， ∴商品少于40件时，活动一更合算；商品大于40件时，活动二更合算；商品40件时，活动一、二一样合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解． 27. 小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16 【解析】 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】解：（1）一元一次方程的解是， 方程的解是，，故不是“友好方程”， 方程的解是或，当时，，故是“友好方程”， 故答案是：②； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是， 若，，则，解得， 若，，则，解得， 综上，a的值是95或97； （3），解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵分母m不能为0， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 28. 如图1，OA⊥OB，∠COD＝60°． （1）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数； （2）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数； （3）如图2，射线OB与OC重合，若射线OB以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，同时射线OC以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OB与OA重合时停止运动．设旋转的时间为t秒，请直接写出图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值． 【答案】（1）∠AOD的度数是105° （2）∠BOC的度数是30° （3）图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值为1或或． 【解析】 【分析】（1）根据角的和差表示出∠BOC=60°-∠BOD=60°-（∠AOD-90°）=150°-∠AOD，由已知条件可得方程，解方程即可得∠AOD的度数； （2）根据角平分线的定义得∠AOC=∠COD=60°，∠AOD的度数，根据角的和差可得∠BOD的度数，即可求得∠BOC的度数； （3）根据题意求出OB与OA重合时，OC与OD也重合，此时停止运动，然后分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵∠COD＝60°， ∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣∠BOD， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣90°， ∴∠BOC＝60°﹣∠BOD＝60°﹣（∠AOD﹣90°）＝150°﹣∠AOD， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴150°﹣∠AOD＝∠AOD， 解得：∠AOD＝105°， 故∠AOD的度数是105°； 【小问2详解】 解：∵OC平分∠AOD，∠COD＝60°， ∴∠AOC＝∠COD＝60°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝60°+60°＝120°， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°， ∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣30°＝30°， 故∠BOC的度数是30°； 【小问3详解】 解：根据题意，可得： ∠AOD＝90°+60°＝150°， ∠AOB＝90°﹣15°t， ∠AOC＝90°+10°t， 当OB与OA重合时，∠AOB＝0°， 即0°＝90°﹣15°t，解得：t＝6， 此时，∠AOC＝90°+10°t＝90°+10°×6＝150°＝∠AOD，即OC与OD重合， ∴当OB与OA重合时，OC与OD也重合，此时停止运动， ∴分三种情况讨论： ①当OB平分∠AOD时： ∵∠AOB＝∠AOD＝×150°＝75°， ∴90°﹣15°t＝75°， 解得：t＝1； ②当OC平分∠BOD时： ∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝（90°+10°t）﹣（90°﹣15°t）＝25°t， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝150°﹣（90°+10°t）＝60°﹣10°t， 解得：t＝； ③当OB平分∠AOC时： 由②知，∠BOC＝25°t， ∵∠AOB＝∠BOC， ∴90°﹣15°t＝25°t， 解得：t＝． 综上，图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值为1或或． 【点睛】此题主要考查角的计算，角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $