四川省绵阳第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

绵阳一中高2023级2025-2026学年度上 高三年级数学入学考试题 测试时间：120分钟满分：150分 第I卷（选择题） 一.单选题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合M={-2,1,2,3},N={-2,2},下列结论成立的是() A.M∈N B.M∩N=a C.MUN-M D.CuN={1} 2.已知复数z满是：22=+6（为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z的虚部为 () A.2i B.3 c D.i 3.设a=(-1,3),b=(1,1),c=a+kb,若b1c,则a与的夹角余弦值为(). A晋 B c号 号 4.已知m,n为两条不同的直线，心，B为两个不同的平面，对于下列命题正确的是() A.m ca,n ca,m//B,n//B=a//B B.a/B,mca→m/B: C.n//m,nca→m//a D.m/a,nca→m//n. 5.直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-3)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范 围是() A.[6,12] B.[6V2,12V2 C.[12,20] D.[122,20V2] 6已知等差数列a的公差为2，前n项和为s,且5,5,54成等比数列令，一a 则数列bn}的前 50项和T50=() A B.o C.1o 7.已知a,b∈R,直线y=ax+b+2与函数f()=tax的图像在x=-平处相切，设g()=ex+bx2+a, 若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立，则实数m() A.有最小值-e B.有最小值e C.有最大值e D.有最大值e+1 8设a=c0s50eos127+os40rsin127b=号(sn56-cos56,c=m3器则a,b,c的大小 关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 二、多选题：本大题共3小题，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分。 9.下列不等式成立的是() A.log23 <log25 B.<自 C.20.3>l0g32D.log23>1og34 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD为矩形，且BC=2AB=2PA=4,则() A.平面PAD⊥平面PCD B.点C到平面PBD的距离为号 C二面角P-BD-A的正切值为号 D.若平面PAB与平面PCD的交线为直线l,则l/CD 1.已知双曲线c经过点（停，1小，且与椭圆：受+y2-1有公共的焦点，5，点M为椭圆r的上顶点，点P 为C上一动点，则() A.双曲线C的离心率为v2 B.sinMOP C.当P为C与r的交点时，cosR,PF,=青 D.IPM的最小值为1 第IⅡ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为一· 13.填空直线l:mx-y+1=0截圆x2+y2+4x-6y+4=0的弦为MN,当|MW取最小值时m的值为 14.己知数列{an}满足a1=1,a2=4,且an+2=(2+cosnπ)(an-3)+9,n∈N*,设数列{an}的前n项和 为Sn,则S2m-1=_一（用n表示）. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.(本小题13分) 已知函数f(x)=2V3 sinxcosx+2cos2x-1. (四求f(x)的最小正周期： 四若fco)=号x∈[匠，引，求cos(2x+)的值. 16.(本小题15分) 己知曲线)y=f()=x3-ax2+bx+1在点(0，fo)处的切线的斜率为3，且当x=3时，函数f(x)取得 极值。 (1)求函数的极值； (2)若存在x∈[0,3]，使得不等式f(x)-m≤0成立，求m的取值范围. 17.(本小题15分) 如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且LAPB=∠APC=∠BPC=,PA=3,PB=PC=2,M是 PD的中点. M A B C (1)若BD=mPA+nPB+pPC,求m+n+p的值； (2)求线段BM的长， 18.(本小题17分) 已知M,N为椭圆C,:爷+y2=1a>1)和双曲线C,:器-y2=1的公共顶点，e,e,分别为C,和C,的 x2 离心率。 (1)若，0：-里 ()求C,的渐近线方程； (过点G(4,0)的直线l交C,的右支于A,B两点，MA,MB与直线x=1交于A,B,两点，记A,B,A,'B, 坐标分别为cy),(x2y,),xy),(xy),求证：1+1=1+L 1y23+4 (2)从C,上的动点P(xy)(x。≠±a)引C,的两条切线，经过两个切点的直线与C,的两条渐近线围成三角形 的面积为S,试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，说明理由 19.(本小题17分) 定义：若无穷数列{an满足{an+1-an是公比为q的等比数列，则称数列an}为“M(q)数列”.设数列{bn} 中b1=1,b3=7. (1)若b2=4,且数列bn}是“M(q)数列”，求数列b的通项公式： (2)设数列地n的前n项和为Sm,且b+1=2Sn一n+元，请判断数列{bn是否为“M(q)数列”，并说明理 由： (③)若数列地，提“M2)数列”，是否存在正整数，n使得<血<4040？若存在，清求出所有满足条 bn20191 件的正整数m,n;若不存在，请说明理由. 2025-2026学年度绵阳一中高三上学期入学考试数学参考答案 一、单选题。（共8题，40分） 1-4 CCBB 5-8 ADDD 二.多选题。（共18分) 9.ACD 10.ACD 11.ACD 三.填空题。（共15分） 12.16 13.1 14.3n2-2n+2×3n-1-2 四.解答题。（共77分） 15.(13分)①由题意可得： f(x)=v3(2sinxcosx)+(2cos2x-1) =3sin2x+cos2x=2sin(2x+), 所以f(x)的最小正周期为π： (四由四可知f(xo)=2sin(2x+君， 又f)= 所以sin(2x+?=手 由oe,得2x+名e[,, 从而cos(2xo+3=-1-sm2(2x0+3=-号 16.(15分)解：(1)由题得：f'(x)=x2-2ax+b, 结合题意可得0)=b=3 f'(3)=-6a+b+9=0' 解得6子 经检验符合题意， 故fx)=3x3-2x2+3x+1, f'(x)=x2-4x+3. 令f'(x)>0,解得x>3或x<1, 令f'(x)<0,解得1<x<3, 故f(x)在(-∞，1)，(3，+0)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 所以f)的极大值为f(1)=子： f(x)的极小值为f(3)=1: (2)由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 又因为f(0)=1,f(3)=1,所以f(x)min=1, 所以要使不等式f(x)-m≤0能成立，则f(x)min≤m. 所以m>≥1， 故m取值范围是[1，+o). 17.(15分)解：(1)BD=BA+BC=(PA-PB)+PC-PB)=PA-2PB+PC, .m+n+p=0: 丽=丽-阴=丽-P丽 -C+而-E-C+丽-P丽-历 1 =PC+PA-P丽， 成-c+网- +所+2元网丽元-丽丽+丽 1 π3 π3 π =44+9+2×2×3×cos3-2×2×2×c0s写-2×3×2×0s3+9 19 9 =4-3-2+9 ÷25 Γ4 六BM= 18.(17分)解：(1)h题意得e,=三，e2=2,所以e,2== a a2 4 解得a2=4,又a>1,所以a=2. (@故双曲线C,的渐近线方程为y=±x: H(LY) G4.0) B B(xzy2) = (i)证明：设直线AB的方程为x=ty+4, -y2-1,消元得：2-4奶2+8购+12=0. (x=ty+4, 则x2 4>0且t≠±2， -8t （M+y2=4 所以3 12 yy2=24 -3 又直线AA的方程为y=2c+2), 所以=同理=器 所以+是-+2马=+，9 y3 y2 3y1 y2 262-号+202-号+2+为=号t-=-号 3y1y2 y1y2 y1 y2 +片+ (2)设两个切点为P1(x5,ys),P2(x6,y6),由题意知PP1,PP2斜率存在， 直线PP1方程为l1:y=k1(x-x5)+y5, (x2 联立2+y2=1, 由4=0得k,=斋所以：器+y=1, (y=k1(x-x5)+y5, 同理直线PP,方程为2：答+y%y=1, ·6过P点可每学+%= 60+y6y0= 可得直线P,P2的方程为0+yoy=1, a 不妨设直线PP,与双曲线两渐近线y=±x交于两点P,'(一2，a), xo+ayo'xo+ayo B 则围成三角形的面积 1,a2 -a a a2 a3 s=7x0+a0x0-ay00+y。0=ay0 = -x6-a2y6 因P在双曲线G上，号-a2好=a2,则s-票-a为定值. 19.（17分)解：(1)数列bn}中b1=1,b3=7,b2=4, b2-b1=4-1=3,b3-b2=7-4=3, 数列0是Mg)数列”，六g-2=1 bn+1-bn}是公比为q的等比数列， bn+1-bn=3X1n-1=3, 数列b}是以1为首项、3为公差的等差数列， bn=1+(n-1)×3=3n-2, 即数列{bn}的通项公式为bn=3n-2. (2)数列bn}是“M(q)数列”，理由如下： bn+1=2Sn-2n+1①， 当n≥2时，bn=2Sn-1-20n-1)+②， ①-②得：b+1-bn=2b-子即bn+1-3bn=-③， bn+2-3b+1=-2④， ③-④得bn+2-bn+1=3(bn+1-bn),n≥2， 由b3-3b2=-2bg=7可得b2= b2-b-号-1-景bg-b2-?bg-b=362-b), 则bn+2-bn+1=3(bn+1-bn)对任意n为正整数均成立， “bn+1-bn是以为首项、3为公比的等比数列， 即数列bn}是“M(q)数列”. (3)由数列{bn}是“M(2)数列”，可得{bn+1-bn}是公比为2的等比数列， bn+1-bn=2n-1(b2-b1),则b3-b2=2(b2-b1), 由b1=1,b3=7,可得b2=3, “bn+1-bn=2n-1×2=2n, bn-b1=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =2+22++2n-1 2×(1-2”-） 1-2 =2n-2, 则bn=2n-1, 若正整数m、n满足89<会<9则0g<<89 由2m-1>0,2n-1>0,则2m-1>2m-1,即m>n, 若mn+2,之片=4+品>4 3 2n_1 2-1 不满足88<岩<8 2019 若m=n+1,则039<2”+11<4040 2019 2-1 <2019 则03g .4040 2019 ,<2019 2, 即0g<21< 1 .2 则2021<2n<2020,解得正整数n=10,m=11, 2 因此，存在满足条件的m,n,m=11,n=10.