云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第一次联考数学试题

机密★启用前 【考试时间：8月27日 14: 30——16: 30】 昆明市第一中学2026届高三年级第一次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 样本数据4, 8, 12, 16, 20 的第80百分位数为 A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，1)，则 A. 1+2i B. 2+i C.1-2i D. 2-i 3.已知集合,则A 的子集的个数有 A.2 B. 3 C.4 D.8 4.若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为 A. B. 2 5.向量a，b，c在正方形网格(每个正方形的边长均为1)中的位置如图所示，若向量a+λb与c共线，则λ等于 A. 1 B. 2 C.-1 D. - 2 6.已知函数 在区间 上单调递减，则ω的取值范围是 ) 7. 已知点A(0,2)和直线l: y=0, 圆 圆上到点A 的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为 A.(0,1) B.(1, +∞) C.(0, +∞) D.[1, +∞) 8. 若 则 C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若l∥m, l⊂α, m⊂β, 则α∥β B. 若m⊥l, m⊥α, l⊥β, 则α⊥β C.若α⊥β,α∩β=m, l⊥m, l∥α, 则l⊥β D. 若m∥α, m∥β, α∩β=l, 则m∥l 10. 设△ABC中角A, B, C所对应的边分别为,且 则以下说法中正确的有 A.△ABC为钝角三角形 B.若a确定，则 的面积确定 11.设抛物线C: 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A、B两点，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，则下列选项中正确的是 A.以 DE 为直径的圆经过点 F B.∠ADF=∠BEF C.|AB|的长度可以为6 D.|AD|·|BE|≥16 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数 在x=-1处有极小值，则 13. 记 Sn为数列 的前n项和，若 则 14. 函数)满足: 若, 四、解答题: 本题共5小题, 其中第15题13分, 第16、17题15分, 第18、19题17分, 共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 (1)依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； (2)从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望. 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 16.(15分) 已知等差数列 的公差为d，且 (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列 的前n项和 17. (15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 平面ABCD,PA=PC=3,E, F, G分别是PA, PC, PD上的点, 且AE=CF=1. (1)证明: (2)已知B, E, G, F四点共面, 求DG的长. 18. (17分) 已知函数 (1)若函数在x=1处的切线方程为y=b,求实数; (2)若函数存在两个极值点 ①求a的取值范围； ②证明： 19. (17分) 已知椭圆C 的四个顶点中有三个顶点可以构成等边三角形，其面积为直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，设直线OE，l，OF的斜率分别为 (其中 记 的面积为S，以OE，OF 为直径的圆的面积为 (1)求曲线C的标准方程； (2)若 恰好构成等比数列. ①证明 为定值； ②求 的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $昆明市第一中学2026届高三年级第一次联考 数学参考答亲 命题、审题组教师 杨昆华梁云虹刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄 一、选择题 题号 1 2 3 5 6 1 P 答案 D C D B C A B C 1.解析：计算位置：5×80%=4，因为4为整数，所以第80百分位数为16+20 18,选D. 2 2.解析：由题意z-2+1,则-1-2i,选C. 3.解析：由题意，A={0,1,2},则A的子集的个数有8个，选D. 4.解析：已知2a+2b=12,2b=22a,所以a=2,b=4,则c=√a2+b2=2√5，选B 5.解析：建立如图所示平面直角坐标系，则a=(,),b=(0,-1),c=(自，2)， a+5=（,1-):由于向量a+5与c共线，则入=-1，选C. 6解折：函数=eocm+引水e>0作区间-写引 上单调递减， [0+工≥2km 2 -8k 所以 46 @ ，k∈Z,解得： 3 ，k∈Z om+亚≤元+2km 361 2*6 因为0>0，当长=0时，可得0<@≤号 故选A. 7.解析：设圆上点Px,),则有Vx2+0y-2)2=以，化简得x2=4y-4,因为x2≥0，所以y≥1，代 入圆方程得y2+4y-(4+r3)=0,解得y=-2±√8+2，其中-2-V8+r2<0舍去，得y=-2+V8+r2 ,要满足y≥1即r≥1，当r>1时满足条件，对应点有两个，当r=1或r<1时仅有一个点或无解，选B. 8.解斩：由题意，设)=en,则f=e-子，因为)=e-上在0+m)止单调递增， 且f"(宁)=E-2<0,∫"0)=c-1>0,所以存在0∈0，，使f)=0, 所以f(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,)上单调递增， 所以f(x)在(O,1)上不是单调函数，无法判断f(x)与f(x2)的大小，故选项A,B错误： 设g-三g国=e-,当xe)fg=e业-)0， 2 x2 1 所以8在O)止单调遗减，又0<<，<1，所以gx)>g),即空>当 x x2 所以x2c>xc.故选C. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD BCD AD 9.解析：对于A、若l∥m,lca,mcB,则a∥B或相交，A错误： 对于B、若m⊥l,m⊥a,则11/a或Ica,又1⊥B,则a⊥B,B正确： 对于C、若a⊥B,a∩B=m,1.Lm,l∥a则1⊥B,C正确： 对于D、若m∥a,m∥B,a∩B=I,由线面平行的性质可知m∥l,D正确，选BCD. 10.解析：由正弦定理得：a:b:c=sinA:sinB:sinC=27:5:32,可设a=2W7k,b=5k,c=3W2k ,所以指A技大，且cos4=+c-口.±6k】-行】_巨，0，所以4为.所以△ 2bc 2×5k×3W2k 4 ABC为锐角三角形，故A错误：若a确定，由正弦定理b,c也确定，△ABC的面积确定，故B正确： ,所以cos2A=-?故C正确：同理可求cosB= 4 4 8 sin B=5 8 .mC=}可得24= ，cosC=5, 16，sin2c=3W 4,sin2n-5 8 所以sin2A:sin2B:sin2C=4:5:6,故D选项正确.故选：BCD. 1l.解析：设过点F的直线AB的倾斜角为0（斜率k=an0),以及 D(-2,人E(-2,y2人A(x,以B(x2,y2),直线AB的直线方程为y=k(x-2). 对于A,FD=(-4,),FE=(-4,2,F元.FE=16+2=16+k2x2-2(x+x2)+4]=16-16=0,所以 ∠DFE=90°，A正确 对于B,设D(-2小E(-2,2人A(x,),因为F(2,0),DA=(:1+2,0)DF=(4,-y),所以可得 DA.DE 4 4 coS∠ADF= ,同理得cos∠BEF= ,因为x≠x2≠y,所以得到 D:D丽6+好 V16+好 ∠ADF≠∠BEF,B错误 对于C,由联立直线方程与抛物线方程得k2x2-(4似2+8)x+4k2=0,由韦达定理得x+5,=4+8 2, 2 x西=4以及弦长公式ABk-x+k2二8N生+太，得到8=产日'所以A阿的长度不可 k2 能为6，C错误 对于D,由抛物线定义得，AD=x+2,BE=x2+2,代入韦达定理得 40Ba=4+24++4=16+总≥16（号当k0时甲0=90取D正确，选AD. 三、填空题 12.解析：f(x)=x(x+a)2=x3+2ar2+a2x, 所以f'(x)=3r2+4ax+a2=(x+a3.r+a) 因为函数∫(x)=x(x+a)子在x=-1处有极小值， 所以f'(-l)=0,即(1+aX3+a)=0,解得a=3或a=1, a=1时，f'(x)=(+13x+1), 当xe(o,-I)时.f'(x)>0,f(x)在(o,-l)上单调递增， 当xe-l》时，了)<0，f)在（上单调递减。 所以函数f(x)在x=-1处取得极大值，不符合题意，舍去： 经检验a=3时，函数(x)=x(x+a)2在x=-1处有极小值，符合避意. 故答案为：3 13.解析：Sn为数列{a,}的前n项和，a,=1,an1=2Sn+1,① 当n=1时，a2=2a,+1=3, 当n…2时，an=2Sn+1,②， 由①-②可得：a1-a,=2Sn-2S1=2a,所以a1=3an,an=3.3-2=3-(n≥2)，当n=1时也 成立，所以an=3"-(n∈N).a,=243. 14.解析：由题意知f(x+2)=f(x+I)-f(x), 所以f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 所以f(x+3)=f(x+1)-f(x)-f(x+I)=-f(x), 3 3 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),则函数f(x)是周期为6的周期函数， 又f1)=2,f11)=3,所以f1)=f(-1)=3,则f(2)=-f(-1)=-3, 所以f(2025)=f(3)=f(2)-f0)=-5. 四、解答题 15.解：(1)零假设H。：该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别无关。 100×(35×5-45×15)2 X=35+15)×45+5)x35+45)x15+5) =6.25, 因为6.25<6.635=1o,所以依据小概率值a=0.010的独立性检验，不能推断该校首次参加英语 四级考试的学生能否合格是否与性别有关， …6分 (2)由题意X的可能取值为0,1,2. P(X-0)-CCi-3 PD-Cuch-3. 35 P(X-2)-CC_17 C035 所以X的分布列为 0 3 3 17 35 7 35 则X的数学期望 EX)=0x3+1×2+2x号 3 177 …13分 35 7 3551 16.解：(1)由己知d>0,a<a4,aa4=7,a+a4=a2+a=8,解得a=l,a4=7,d=2, an=1+2(n-1)=2n-1,故an=2n-1:…7分 (2)6,=2= 2 11 ana+1(2n-1)(2n+1)2n-12n+1 则s--G传》( +1-,）=1-1=2n 2n+12n+1 故Sm二2n+1 2n …15分 17.解：(I)连接BD,AC,因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC, 又因为PD⊥平面AB(D,所以PD⊥AC: 因为BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB, 又因为BGC平面PDB,所以BG⊥AC.…6分 系2)以D为原点，DA,DCDP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直 角坐标 因为PA=PC=3,AD=2,所以PD=√5，又因为AE=CF=1,可知E, 4 F分别是PA和PC上的三分点，所以得：B22,0,E,0,5 ,F04 33 ),设G0,0,h), 3 3 于是BF=(-2, .匠-（层25.c-(22 25 3'3 设平面BEF的法向量n=(x,y,z), 2. -2x--y+ 由 BF.n=0得： 3 320 BE.n=0 3-2y+ 5 32=0 设：=5，所以a=.因为8Gc*iE, 所以BG.n0,即-2-二+V5h=0,解得h三)，即DG=V5 …15分 44 2 18.解：(1)因为'(x)-lnx+1+ar,f(x)在x=1处的切线斜率为0， 所以r0=1+a=0,即a=-1:此时切点坐标为-之，所以b= 2 ，…4分 (2)（i)因为f'(x)=lnx+ax+1, 当a≥0时，f'(x)在(0，+o)单调递增，f'(x)=0只有一解，显然不符合题意： 当a<0时，)=+a,f倒>0台0<x<-石了W<0台>-日 即∫)在@，一上单调递增，在（←切）上单调递减，因为函数f)存在两个极值点， 所以f()=0需有两解，所以"(-)=l(-)>0为必要条件，即-1<a<0为必要条件， 当-1<a<0时，x→0时，f'(x)→-o;x→+o时，f'(x)→-0， f分别在@启及（日+刘）各有-零点，综上：1a<0: …10分 (i)因为'(x)-0白x=x1或x=x2(x2>x),f"(x)>0台x1<x<x2而f'(0)=1+a>0, 所以0<x<1,而f"'(x)=lnx+1+ax,=0台ax,=-lh-1 所以)-m+分r)=[+-n-.0<< 令g(x)=xlnx-x,(0<x<I),所以g'(x)=lnx<0,所以g(x)在(0，I)上单调递减， 所以g创>80=-1，所以)> …17分 5 19.解：(1)由题意知，椭圆四个项顶点有三个顶点可以构成等边三角形，则等边三角形边长为2b, 2b=a2+b2 a2=3 5=号26v励=56=1 故有〔 2 C: ，所以C3+护=1 …4分 (2)(1)由题意知，设直线I的方程为y=c+≠0)，E(G)F(:), 联立得2+3驴}→+3)+6+3(-少0 y=+ 5+x=6 1+3k 3(2-1) 今{x,=1+3k2 △=12(3k2-2+1)>0 k=点，k-业 又因 本，由k点成等比数列，所以 k2%=业=+0，+_5+知飞+)+ x x2 3 3-) -6k +k k2=1+32 "1+3k2 +2 3(-1) -6k kt 12=0 所以 1+3k2 ,化简得 （1+3k2 所 k=V3 6=2= 3,所以 3为定值. …10分 5-=mk-品 (ii) j到 8+=6+++)到+1-+1)-+号+2 =G+了-4 -(c+广-25)小员为定值，所以 6 6 2 2√3元 36-3P0 216-3)+3r 二≥π S 3 2 当组收当6--1=时9号不便立，所以8告空网· …7分 7