第3章 圆的基本性质 单元预习-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第3章 圆的基本性质 一、选择题 1．（4分）已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP＝6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定 2．（4分）有下列四个命题：①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④三点确定一个圆．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（4分）如图，已知弦CD⊥直径AB于点E，连接OC，OD，CB，DB，下列结论一定正确的是（　　） A．∠CBD＝120° B．BC＝BD C．四边形OCBD是平行四边形 D．四边形OCBD是菱形 4．（4分）在半径为3cm的⊙O中，45°的圆周角所对的弧长为（　　） A． cm B．π cm C．π cm D．π cm 5．（4分）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（　　） A．35° B．40° C．60° D．70° 6．（4分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（　　） A．12 B．10 C．4 D．5 7．（4分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 8．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则sin∠APB的值为（　　） A． B． C． D．1 9．（4分）如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BH，垂足为H，有下列结论：①CH＝CP；②；③AP＝BH；④．其中一定成立的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（4分）如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝42°，则∠CAD的度数为（　　）度． A．56 B．78 C．84 D．112 二、填空题 11．（5分）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C＝1：2，则∠BAD＝　 　 °． 12．（5分）已知扇形的圆心角为240°，所对的弧长为8π，则此扇形的面积是 　 　 ． 13．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 　 　 ． 14．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为 　 　 ． 15．（5分）如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm，则油的深度（油面到水平地面的距离）为 　 　 dm． 16．（5分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 　 　 ． 三、解答题 17．（8分）如图在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C． （1）请完成如下操作： ①以点O为坐标原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，只借助直尺确定该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请在（1）的基础上，完成下列填空与计算： ①写出点的坐标：C 　 　 、D 　 　 ； ②⊙D的半径＝　 　 ；（结果保留根号） ③求扇形ADC的面积．（结果保留π） 18．（8分）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E． （1）求证：AE＝DE． （2）若100°，AB＝ED，求的度数． 19．（8分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸？”（注：1尺＝10寸） 20．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AM是BC边上的中线，△AMD的外接圆交AB于点E，交AC于点F．求证：BE＝CF． 21．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，请解答下列问题： （1）∠CAD的度数； （2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数； （3）若AD＝6，求图中阴影部分的面积． 22．（10分）如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y＝ax2+bx+4过A，B，C三点且AB＝6． （1）求⊙P的半径R的长； （2）若点E在y轴上，且△ACE是等腰三角形，试写出所有点E的坐标． 23．（14分）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AC＝8，，试求⊙O的半径； （3）若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状． 24．（14分）如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧ACB上的一个动点（点C不与A、B重合）． （1）如图1，CD⊥AB于D，交⊙O于点N，若CE平分∠ACB，交⊙O于点E，求证：∠ACO＝∠BCD． （2）如图2，设AB＝8，⊙O半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBE的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出四边形ACBE面积的取值范围． 第3章 圆的基本性质 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（4分）已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP＝6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定 【答案】A 【分析】正确找到点到圆心的距离，根据该距离和圆的半径之间的大小关系，进行判断． 点到圆心的距离＜圆的半径，则点在圆内； 点到圆心的距离＝圆的半径，则点在圆上； 点到圆心的距离＞圆的半径，则点在圆外． 【解答】解：∵当OP＝6厘米时，OA＝3cm＜5cm， ∴根据点到圆心的距离＜半径的性质，可知点A在⊙O内． 故选：A． 【点评】主要考查了用点到圆心的距离与半径之间的大小关系，来判断点与圆的位置关系． 2．（4分）有下列四个命题：①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④三点确定一个圆．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理的推论可对③进行判断；根据确定圆的条件可对④进行判断． 【解答】解：等弧所对的圆周角相等，所以①正确； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以③错误； 不共线的三点确定一个圆，所以④错误． 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和确定圆的条件． 3．（4分）如图，已知弦CD⊥直径AB于点E，连接OC，OD，CB，DB，下列结论一定正确的是（　　） A．∠CBD＝120° B．BC＝BD C．四边形OCBD是平行四边形 D．四边形OCBD是菱形 【答案】B 【分析】根据垂径定理得到EC＝ED，弧BC＝弧BD，再利用同圆中相等的弧所对的弦相等得到BC＝BD；由于OD≠BC，根据平行四边形的判定定理得四边形OCBD不是平行四边形，当然也不是菱形；也没条件计算出∠CBD＝120°． 【解答】解：∵弦CD⊥直径AB于点E， ∴EC＝ED，弧BC＝弧BD， ∴BC＝BD； ∵OC＝OD， ∴OD≠BC， ∴四边形OCBD不是平行四边形，也不是菱形；也不能计算出∠CBD＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平行四边形与菱形的判定． 4．（4分）在半径为3cm的⊙O中，45°的圆周角所对的弧长为（　　） A． cm B．π cm C．π cm D．π cm 【答案】B 【分析】首先根据圆周角定理求得弧所对的圆心角的度数，再进一步根据弧长的公式计算即可． 【解答】解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是90°， 根据弧长的公式lcm， 故选：B． 【点评】此题综合考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟记定理和弧长公式． 5．（4分）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（　　） A．35° B．40° C．60° D．70° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，根据圆周角定理求出∠ACD，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：连接CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DOE＝40°， ∴∠ACD∠DOE＝20°， ∴∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝70°， 故选：D． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，三角形内角和定理等知识点，能灵活运用圆周角定理进行推理是解此题的关键． 6．（4分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（　　） A．12 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】连接EF，如图先利用勾股定理计算出EF的长，然后根据圆周角定理得到圆的直径的长度． 【解答】解：连接EF，如图， ∵∠EOF＝90°， ∴EF10， ∵∠EOF＝90°， ∴EF为圆的直径， ∴这个圆的直径为10． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理． 7．（4分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】首先连接OE，由∠ACB＝90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数． 【解答】解：连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵∠ACE＝2×24°＝48°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝96°． ∴点E在量角器上对应的读数是：96°． 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 8．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则sin∠APB的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD＝CD，则ODOA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD＝30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB＝120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数即可解决问题； 【解答】解：如图作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB． ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD＝CD． ∴ODOCOA． ∴∠OAD＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝30°． ∴∠AOB＝120°． ∴∠APB∠AOB＝60°． ∴sin∠APB． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD＝30°是解题的关键． 9．（4分）如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BH，垂足为H，有下列结论：①CH＝CP；②；③AP＝BH；④．其中一定成立的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接BD．证△PCD≌△HCD（HL）得CH＝CP；再证明△ADP≌△BDH（AAS）得AD＝DB；AP＝BH，无法证明DH为圆的切线． 【解答】解：连接BD， ∵CD平分∠ACH，DP⊥AC，DH⊥BH， ∴DP＝DH， 在Rt△PCD和Rt△HCD中， ， ∴Rt△PCD≌Rt△HCD（HL）， ∴CH＝CP， 故①成立， 在△ADP和△BDH中， ， ∴△ADP≌△BDH（AAS）， ∴AD＝DB，AP＝BH， ∴， 故②③成立， 当且仅当AB＝BC时，， 故④不一定成立， 综上所述，一定成立的结论有3个， 故选：C． 【点评】此题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定，证明Rt△PCD≌Rt△HCD及△ADP≌△BDH是解题的关键． 10．（4分）如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝42°，则∠CAD的度数为（　　）度． A．56 B．78 C．84 D．112 【答案】C 【分析】首先以A为圆心，AB长为半径画弧，然后可确定B、C、D同在⊙A上，再根据∠CBD＝2∠BDC可得2，然后可得∠CAD＝2∠BAC＝84°． 【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画弧， ∵AB＝AC＝AD， ∴B、C、D同在⊙A上， ∵∠CBD＝2∠BDC， ∴2， ∴∠CAD＝2∠BAC＝84°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 二、填空题 11．（5分）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C＝1：2，则∠BAD＝　60　 °． 【答案】见试题解答内容 【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，根据圆的内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C＝180°，又由∠A：∠C＝1：2，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A：∠C＝1：2， ∴∠BAD＝180°60°． 故答案为：60． 【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握圆的内接四边形的性质是解此题的关键． 12．（5分）已知扇形的圆心角为240°，所对的弧长为8π，则此扇形的面积是 　24π　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的面积． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为240°，所对的弧长为8π， ∴l8π， 解得：r＝6， 则扇形面积为rl＝24π， 故答案为：24π． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 13．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可． 【解答】解：∵OD⊥BC， ∴BD＝CDBC＝3， ∵OBAB＝5， ∴OD4． 故答案为4． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握． 14．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为 　π　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠EAC＝30°，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE， ∵AB＝1，AO＝BO＝1， ∴AB＝AO＝BO， ∴三角形AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝∠OAB＝60°， 同理：△FAO是等边三角形，∠FAB＝2∠OAB＝120°， ∴∠EAC＝120°﹣90°＝30， ∵AD＝AB＝1， ∴AC， ∴点C运动的路线长π， 故答案为：π． 【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数． 15．（5分）如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm，则油的深度（油面到水平地面的距离）为 　2或8　 dm． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，利用勾股定理以及垂径定理，分两种情形分别计算的很粗答案即可． 【解答】解：如图，已知OA＝5dm，AB＝8dm，OC⊥AB于D，求CD的长， 理由如下：当油面位于AB的位置时 ∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4dm， 在直角三角形OAD中， 根据勾股定理可得OD＝3dm， 所以CD＝5﹣3＝2（dm）； 当油面位于A'B'的位置时，CD＝5+3＝8（dm）． 故答案为：2或8． 【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况． 16．（5分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，然后利用面积法出AG，从而得到AF的长． 【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图， ∵AB⊥CD， ∴AE＝BEAB＝3， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r， 在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5， ∴OE＝5﹣1＝4， ∵， ∴OB⊥AF，AG＝FG， ∵AG•OBOE•AB， ∴AG， ∴AF＝2AG． 故答案为． 【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 三、解答题 17．（8分）如图在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C． （1）请完成如下操作： ①以点O为坐标原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，只借助直尺确定该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请在（1）的基础上，完成下列填空与计算： ①写出点的坐标：C 　（6，2）　 、D 　2，0　 ； ②⊙D的半径＝　2　 ；（结果保留根号） ③求扇形ADC的面积．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①以点O为坐标原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系即可； ②根据图形提供的信息，只借助直尺确定该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD即可 （2）在（1）的基础上，①写出点C、D的坐标即可； ②根据勾股定理即可求⊙D的半径； ③根据扇形面积公式即可求扇形ADC的面积． 【解答】解（1）如图． （2）①C（6，2），D（2，0）， ②AD； ③∵C（6，2）， ∴F（6，0）， ∵C（6，2），D（2，0），A（0，4），F（6，0）， ∴DF＝4，CF＝2，OA＝4，OD＝2． ∵AO＝DF，∠AOD＝∠CFD，OD＝CF， ∴△AOD≌△DFC （SAS）， ∴∠OAD＝∠FDC， ∵∠OAD+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝90°， ∴∠FDC+∠ADO＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴扇形ADC的面积5π； 故答案为①（6，2）、（2，0） ②2． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、垂径定理、扇形面积的计算，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系． 18．（8分）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E． （1）求证：AE＝DE． （2）若100°，AB＝ED，求的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）50°． 【分析】（1）根据AC＝BD求出，求出，求出AB＝DC，根据圆周角定理得出∠B＝∠C，∠A＝∠D，再根据全等三角形的判定定理推出△ABE≌△DCE即可； （2）求出DE＝DC，求出∠DEC＝50°，根据三角形内角和定理求出∠D，求出的度数，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴， ∴（两边都减去）， ∴AB＝DC， 由圆周角定理得：∠B＝∠C，∠A＝∠D， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴AE＝DE； （2）解：由（1）知：AB＝DC， ∵AB＝ED， ∴DE＝DC， ∵100°， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴∠D＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝80°， ∴的度数是2×80°＝160°， ∵AB＝DC， ∴， ∴的度数是（360°﹣100°﹣160°）＝50°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 19．（8分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸？”（注：1尺＝10寸） 【答案】见试题解答内容 【分析】由勾股定理OA2＝OE2+AE2，代入数据即可求得． 【解答】解：∵AB⊥CD ∴AE＝BE ∵AB＝10 ∴AE＝5 在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2 ∴OA2＝（OA﹣1）2+52 ∴OA＝13 ∴CD＝2A0＝26 【点评】考查了学生对勾股定理的熟练应用． 20．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AM是BC边上的中线，△AMD的外接圆交AB于点E，交AC于点F．求证：BE＝CF． 【答案】见试题解答内容 【分析】过D作DG⊥AB于G，DN⊥AC于N，连接DE、MF，由角平分线性质得出DG＝DN，得出，证明△BDE∽△BAM，得出，BE•BA＝BM•BD，同理CF•CA＝CD•CM，由中线定义得出BM＝CM，得出，证出••，得出1，即可得出BE＝CF． 【解答】证明：过D作DG⊥AB于G，DN⊥AC于N，连接DE、MF，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴DG＝DN， ∴， ∵∠BAM＝∠BDE，∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAM， ∴， ∴BE•BA＝BM•BD， 同理：CF•CA＝CD•CM， ∵AM是BC边上的中线， ∴BM＝CM， ∴， ∴••， ∴1， ∴BE＝CF． 【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理以及三角形面积等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形相似是解题的关键． 21．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，请解答下列问题： （1）∠CAD的度数； （2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数； （3）若AD＝6，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可； （2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出即可； （3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可． 【解答】解：（1）∵弧AC＝弧AC， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝30°， 答：∠CAD的度数是30°． （2）∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝70°﹣30°＝40°， ∴∠BCD＝∠BAD＝40°， ∴∠AEC＝∠ADC+∠BCD＝100°， ∵∠AFC＝∠ABC﹣∠BCF＝60°﹣40°＝20°， 答：∠AEC＝100°，∠AFC＝20°． （3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q， ∵∠CAD＝30°，AO＝3， ∴OQOA， 由勾股定理得：AQ， 由垂径定理得：AC＝2AQ＝3， ∵∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴阴影部分的面积是S扇形OAC﹣S△AOC33π， 答：图中阴影部分的面积是3π． 【点评】本题综合考查了圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积，三角形的外接圆与外心，三角形的外角性质等知识点的应用，此题是一道综合性比较强的题目，题目比较典型，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力． 22．（10分）如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y＝ax2+bx+4过A，B，C三点且AB＝6． （1）求⊙P的半径R的长； （2）若点E在y轴上，且△ACE是等腰三角形，试写出所有点E的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在函数y＝ax2+bx+4中令x＝0，解得y＝4，则OC＝PD＝4，连接PA，在直角三角形PAD中，根据勾股定理就可以得到PA的长．即圆的半径； （2）根据等腰三角形的性质，把AC分别看作底和腰进行讨论． 【解答】解：（1）如图，连接AP， ∵四边形ODPC为矩形， ∴PD⊥AB， ∴AD＝BDAB＝3， 又∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点， ∴C（0，4）， 即OC＝4， ∴PD＝OC＝4， ∴由勾股定理得AP＝5， ∴⊙P的半径R的长为5； （2）由（1）得OA＝PC﹣AD＝5﹣3＝2，OC＝4，则AC2， 设E点坐标为（0，y），当△ACE是等腰三角形时，有三种情况， ①当AC＝CE时，则有|y﹣4|＝2，解得y＝4+2和y＝4﹣2，此时E点坐标为E1（0，4+2），E2（0，4﹣2）； ②当AC＝AE时，因为O为AE中点，所以OE＝OC＝4，此时E点坐标为E3（0，﹣4）； ③当CE＝AE时，则CE＝|y﹣4|，OE＝|y|，OA＝2，在Rt△OAE中由勾股定理可得：|y﹣4|2＝|y|2+22，解得y，此时E点坐标为（0，）； 综上可知E点的坐标为E1（0，4+2），E2（0，4﹣2），E3（0，﹣4）（0，）． 【点评】本题主要考查垂径定理及矩形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，熟练掌握垂径定理即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键． 23．（14分）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AC＝8，，试求⊙O的半径； （3）若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据OC∥AB，可以得到∠OCA＝∠CAB，在△OAC中，根据等角对等边，即可证明∠OAC＝∠OCA，即可证得AC平分∠DAB； （2）根据：2：1，即可求得∠CAD的度数，在直角△ACD中，利用三角函数即可求得直径AD，进而求得半径； （3）首先证明四边形是平行四边形，根据邻边相等，即可证得四边形是菱形． 【解答】（1）证明：∵OC∥AB， ∴∠BAC＝∠ACO， ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠CAO． ∴∠CAO＝∠BAC． 即：AC平分∠DAB．（2分） （2）解：AC＝8，弧AC与CD之比为2：1， ∴∠DAC＝30°， 又∵AD是圆的直径， ∴∠ACD＝90° ∴CD＝AC•tan∠DAC， ∵∠COD＝2∠DAC＝60°，OD＝OC， ∴△COD是等边三角形． ∴圆O的半径＝CD（2分） （3）解：∵点B为弧AC的中点， ∴， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC＝∠OCA． ∴OA∥BC．又OC∥AB， ∴四边形ABCO是平行四边形． ∵AO＝CO， ∴四边形ABCO为菱形．（3分） 【点评】本题主要考查了圆的有关计算，根据弧的关系可以得到圆周角之间的关系，并且考查了菱形的判定定理． 24．（14分）如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧ACB上的一个动点（点C不与A、B重合）． （1）如图1，CD⊥AB于D，交⊙O于点N，若CE平分∠ACB，交⊙O于点E，求证：∠ACO＝∠BCD． （2）如图2，设AB＝8，⊙O半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBE的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出四边形ACBE面积的取值范围． 【答案】（1）证明详见解答； （2）8＜S四边形AEBC≤40． 【分析】（1）作直径CF，根据同弧所对的圆周角相等得：∠F＝∠B，进而求得； （2）四边形AEBC的面积等于三角形ABE的面积加三角形ABC的面积，三角形ABE的面积是定值，所以只需求三角形ABC面积最大值和最小值即可． 【解答】解：（1）如图1， 作直径CF，连接AF， ∴∠ACF＝90°， ∴∠ACO＝90°﹣∠F， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴BCD＝90°﹣∠B， 对于： ∠F＝∠B， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）如图2， ∵CE平分∠ACB， ∴， ∴当C点在运动时， ∠ACE＝∠BCE， 连接OE， ∴OE⊥AB，设垂足是F， ∴AF＝FB＝4， ∴OF3， ∴EF＝OE﹣OF＝2， ∵S四边形AEBC＝S△ABE+S△ABC ＝8+4•CD， ∴当CD＝C′F＝8时， S四边形AEBC最大＝40． ∴8＜S四边形AEBC≤40． 【点评】本题考查了圆的有关定理，解决问题的关键是将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $