第2章 一元二次方程 单元预习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第2章 一元二次方程 一、选择题 1.(3分)下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ) A.5(x﹣1)=3(x﹣2)2 B.x2+5=0 C.(m﹣1)x2﹣4x+2m=0 D.x2﹣5=(x2+3)2 2.(3分)如果代数式3x2﹣6的值为21,那么x的值是( ) A.3 B. 3 C.﹣3 D. 3.(3分)若关于x的方程(m+1)x|2m|+2mx﹣3=0是一元二次方程,则m的取值是( ) A.任意实数 B.1或﹣1 C.1 D.﹣1 4.(3分)已知关于x的方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x﹣4a=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( ) A.5或﹣2 B.5 C.﹣2 D.0 5.(3分)方程3x(x﹣5)﹣4(5﹣x)=0的根是( ) A.x=5 B.x C.x1=5,x2 D.x 6.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0一个根为3,则另一个根为( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣6 7.(3分)某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值为175亿元,问2、3月份平均每月的增长率是多少?设平均每月的增长率为x,根据题意得方程为( ) A.50(1+x)2=175 B.50+50(1+x)2=175 C.50(1+x)+50(1+x)2=175 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=175 8.(3分)如图,由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD,则长方形ABCD的周长为( ) A.5m B.5.2m C.6m D.6.2m 二、填空题 9.(3分)将方程(3﹣2x)(x+2)=5化为一般形式为 . 10.(3分)已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 . 11.(3分)写出方程(x﹣1)2=9的解 . 12.(3分)把方程2x2+4x﹣1=0化成(x+a)2=b的形式为 . 13.(3分)等腰三角形的底和腰是方程(x﹣3)(x﹣6)=0的两根,则这个等腰三角形的周长是 . 14.(3分)如图,在一幅长80cm,宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,则金色纸边的宽为 cm. 三、解答题 15.(10分)解方程: (1)3x2﹣9=0; (2)3x2﹣7x+4=0. 16.(5分)解方程:(2x﹣1)2=x2+4x+4. 17.(5分)已知关于x的方程2x2﹣(m+2)x+5﹣m=0的一个根为1,求它的另一个根及m的值. 18.(6分)在长为8cm、宽为5cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长. 19.(7分)“吸烟有害健康!”国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策,现在知道某品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年销售110万条.若国家征收附加税,税率为x%(即每销售100元,征附加税x元),则每年的销售量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税为168万元,问税率应确定为多少? 20.(8分)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于13cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由. 21.(8分)新冠疫情结束后,旅游市场全面复苏.“清新闽东北、健康武夷山”区域旅游吸引了大量中外游客前来参观,如果游客过多,对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响,但也要保证一定的门票收入,因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数,在该方法实施过程中发现:每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在这种情况下,如果要保证每周3000万元的门票收入,那么每周应限定旅游人数是多少人?门票价格应是多少元? 22.(9分)某种新产品进价是120元,在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系: 每件销售价格/元 130 135 140 … 日销售量/件 70 65 60 … (1)请你观察上面表格中数据的变化规律,回答:当每件产品每涨价1元时,日销售量是怎样变化的? (2)在不改变上述关系的情况下,请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时,每日盈利可达到1600元. 第2章 一元二次方程 参考答案与试题解析 一、选择题 1.(3分)下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ) A.5(x﹣1)=3(x﹣2)2 B.x2+5=0 C.(m﹣1)x2﹣4x+2m=0 D.x2﹣5=(x2+3)2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 【解答】解:A.是一元二次方程,故本选项符合题意; B.是分式方程,故本选项不合题意; C.当m﹣1=0时,(m﹣1)x2﹣4x+2m=0不是一元二次方程,故本选项不符合题意; D.方程整理,得6x+16=0,是一元一次方程,故本选项不符合题意. 故选:A. 【点评】本题考查了一元二次方程的定义,能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键. 2.(3分)如果代数式3x2﹣6的值为21,那么x的值是( ) A.3 B. 3 C.﹣3 D. 【答案】B 【分析】根据题意列出方程,整理后利用平方根定义开方即可求出x的值. 【解答】解:根据题意得:3x2﹣6=21,即x2=9, 解得:x= 3, 故选:B. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握平方根定义是解本题的关键. 3.(3分)若关于x的方程(m+1)x|2m|+2mx﹣3=0是一元二次方程,则m的取值是( ) A.任意实数 B.1或﹣1 C.1 D.﹣1 【答案】C 【分析】由一元二次方程的定义可知,需要同时满足三个条件:①是整式方程;②含有一个未知数;③未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0,就可得出|2m|=2,m+1≠0,就可得出答案. 【解答】解:根据一元二次方程的定义可知m+1≠0,|2m|=2, ∴m=1, 故选:C. 【点评】本题考查一元二次方程的定义,能根据一元二次方程的定义解决相关问题. 4.(3分)已知关于x的方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x﹣4a=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( ) A.5或﹣2 B.5 C.﹣2 D.0 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系,可求出x1+x2,再由题意方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x﹣4a=0两个根是互为相反数,即可得x1+x2=0,即可求a的值. 【解答】解:根据题意得x1+x2, 又∵x1+x2=0, ∴a2﹣3a﹣10=0, ∴a=5或a=﹣2, ∵当a=﹣2时,4x2+8=0无实根, ∴a的值为5. 故选:B. 【点评】此题考查了根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当方程有解,即b2﹣4ac≥0时,设方程的解分别为x1,x2,则有x1+x2,x1x2. 5.(3分)方程3x(x﹣5)﹣4(5﹣x)=0的根是( ) A.x=5 B.x C.x1=5,x2 D.x 【答案】C 【分析】方程变形后,利用因式分解法求出解即可. 【解答】解:方程变形得:3x(x﹣5)+4(x﹣5)=0, 分解因式得:(x﹣5)(3x+4)=0, 所以x﹣5=0或3x+4=0, 解得:x1=5,x2. 故选:C. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 6.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0一个根为3,则另一个根为( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣6 【答案】B 【分析】设方程的另一根为x,利用根与系数的关系可得到关于x的方程,可求得答案. 【解答】解: 设方程的另一根为x, ∵方程x2+mx﹣3=0一个根为3, ∴3x=﹣3,解得x=﹣1,即方程的另一根为﹣1, 故选:B. 【点评】本题主要考查根与系数的关系,掌握两根之积等于是解题的关键. 7.(3分)某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值为175亿元,问2、3月份平均每月的增长率是多少?设平均每月的增长率为x,根据题意得方程为( ) A.50(1+x)2=175 B.50+50(1+x)2=175 C.50(1+x)+50(1+x)2=175 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=175 【答案】D 【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量 (1+增长率),本题可先用x表示出二月份的产值,再根据题意表示出三月份的产值,然后将三个月的产值相加,即可列出方程. 【解答】解:二月份的产值为:50(1+x), 三月份的产值为:50(1+x)(1+x)=50(1+x)2, 故第一季度总产值为:50+50(1+x)+50(1+x)2=175. 故选:D. 【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程,解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值,再根据题意列出方程即可. 8.(3分)如图,由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD,则长方形ABCD的周长为( ) A.5m B.5.2m C.6m D.6.2m 【答案】B 【分析】每块长方形地砖的宽为x m,则长为4x m,利用矩形的面积等于10块小矩形的面积列出方程求解即可. 【解答】解:设每块长方形地砖的宽为x m,则长为4x m, 根据题意,得4x2=1.6, 解得x= 0.2, 2 (4x+x+2 4x)=26 x=5.2(m). 即:矩形ABCD的周长为5.2m. 故选:B. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是弄清题意,找到等量关系并列出一元二次方程求解. 二、填空题 9.(3分)将方程(3﹣2x)(x+2)=5化为一般形式为 2x2+x﹣1=0 . 【答案】2x2+x﹣1=0. 【分析】利用多项式乘以多项式计算法则把左边展开,然后再合并同类项即可. 【解答】解:(3﹣2x)(x+2)=5, 3x+6﹣2x2﹣4x﹣5=0, ﹣2x2﹣x+1=0, 2x2+x﹣1=0, 故答案为:2x2+x﹣1=0. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式. 10.(3分)已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a>﹣4且a≠0 . 【答案】a>﹣4且a≠0. 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且 =(﹣4)2﹣4a (﹣1)>0,然后求出a的范围后对各选项进行判断. 【解答】解:根据题意得a≠0且 =(﹣4)2﹣4a (﹣1)>0, 解得a>﹣4且a≠0, 故答案为:a>﹣4且a≠0. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2﹣4ac有如下关系:当 >0时,方程有两个不相等的实数根;当 =0时,方程有两个相等的实数根;当 <0时,方程无实数根. 11.(3分)写出方程(x﹣1)2=9的解 x1=4,x2=﹣2 . 【答案】见试题解答内容 【分析】解一元二次方程,转化为求9的平方根. 【解答】解:开方得,x﹣1= 3, ∴x=4或﹣2, 即x1=4,x2=﹣2. 【点评】(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”. (2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点. 12.(3分)把方程2x2+4x﹣1=0化成(x+a)2=b的形式为 . 【答案】见试题解答内容 【分析】移项,系数化成1,最后配方即可. 【解答】解:2x2+4x﹣1=0, 2x2+4x=1, x2+2x+11, (x+1)2, 故答案为:(x+1)2. 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能正确配方. 13.(3分)等腰三角形的底和腰是方程(x﹣3)(x﹣6)=0的两根,则这个等腰三角形的周长是 15 . 【答案】见试题解答内容 【分析】利用因式分解法解一元二次方程求出x的值,再分两种情况讨论求解,然后利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能够组成三角形. 【解答】解:(x﹣3)(x﹣6)=0, x﹣3=0,x﹣6=0, 解得x1=3,x2=6, 当3为腰长时,三角形的三边分别为3,3,6, ∵3+3=6, ∴不能组成三角形, 当3是底边时,三角形的三边分别为3,6,6, 能够组成三角形, 周长=3+6+6=15, 综上所述,这个等腰三角形的周长是15. 故答案为:15. 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程,等腰三角形的性质,难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形. 14.(3分)如图,在一幅长80cm,宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,则金色纸边的宽为 5 cm. 【答案】5. 【分析】设金色纸边的宽为x cm,则矩形挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,根据整个挂图的面积是5400cm2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出金色纸边的宽. 【解答】解:设金色纸边的宽为x cm,则矩形挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm, 依题意得:(80+2x)(50+2x)=5400, 整理得:x2+65x﹣350=0, 解得:x1=5,x2=﹣70(舍去). 故答案为:5. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 三、解答题 15.(10分)解方程: (1)3x2﹣9=0; (2)3x2﹣7x+4=0. 【答案】(1)x1,x2; (2)x1,x2=1. 【分析】(1)利用直接开平方法求解即可; (2)先计算判别式的值,然后根据求根公式解方程. 【解答】解:(1)3x2﹣9=0, x2=3, ∴x1,x2; (2)∵a=3,b=﹣7,c=4, ∴ =(﹣7)2﹣4 3 4=1, ∴x, ∴x1,x2=1. 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 16.(5分)解方程:(2x﹣1)2=x2+4x+4. 【答案】x1=3,x2. 【分析】利用直接开平方法求解即可. 【解答】解:(2x﹣1)2=x2+4x+4, (2x﹣1)2=(x+2)2, ∴2x﹣1=x+2或2x﹣1=﹣x﹣2, ∴x1=3,x2. 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 17.(5分)已知关于x的方程2x2﹣(m+2)x+5﹣m=0的一个根为1,求它的另一个根及m的值. 【答案】另一个根为,m. 【分析】将x=1代入方程,即可求出m的值,再根据根与系数的关系即可求出另一个根. 【解答】解:根据题意,得2﹣(m+2)+5﹣m=0, 解得m, 设另一个根为x, 则x•1, 解得x, ∴另一个根为, ∴它的另一个根为,m. 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 18.(6分)在长为8cm、宽为5cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长. 【答案】见试题解答内容 【分析】设截去小正方形的边长为xcm,根据正方形的面积公式及截去4个正方形的面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论. 【解答】解:设截去小正方形的边长为xcm, 根据题意得:4x2=8 5 (1﹣80%), 解得:x1,x2(不合题意,舍去). 答:截去小正方形的边长为cm. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 19.(7分)“吸烟有害健康!”国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策,现在知道某品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年销售110万条.若国家征收附加税,税率为x%(即每销售100元,征附加税x元),则每年的销售量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税为168万元,问税率应确定为多少? 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以求得相应的税率. 【解答】解:设要使每年对此项经营所收取附加税为168万元,税率应确定为x%, 70 (110﹣10x) x%=168, 解得,x1=3,x2=8, 答:要使每年对此项经营所收取附加税为168万元,税率应确定为3%或8%. 【点评】本题考查一元二次方程的应用,解答此类问题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,列出相应的方程,注意最后作答时的x的要带上百分号. 20.(8分)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于13cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)这段铁丝被分成两段后,围成正方形.其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(5﹣x),根据“两个正方形的面积之和等于12cm2”作为相等关系列方程,解方程即可求解; (2)设两个正方形的面积和为y,可得二次函数y=x2+(5﹣x)2=2(x)2,利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5,所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2. 【解答】解:(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(5﹣x)cm, 依题意列方程得x2+(5﹣x)2=13, 整理得:x2﹣5x+6=0, (x﹣2)(x﹣3)=0, 解方程得x1=2,x2=3, 2 4=8cm,20﹣8=12cm; 或3 4=12cm,20﹣12=8cm. 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是8cm、12cm; (2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.理由: 设两个正方形的面积和为y,则 y=x2+(5﹣x)2=2(x)2, ∵a=2>0, ∴当x时,y的最小值=12.5>12, ∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2; (另解:由(1)可知x2+(5﹣x)2=12, 化简后得2x2﹣10x+13=0, ∵ =(﹣10)2﹣4 2 13=﹣4<0, ∴方程无实数解; 所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2. 【点评】此题考查了一元二次方程的应用,等量关系是:两个正方形的面积之和=17或12.读懂题意,找到等量关系准确地列出方程是解题的关键. 21.(8分)新冠疫情结束后,旅游市场全面复苏.“清新闽东北、健康武夷山”区域旅游吸引了大量中外游客前来参观,如果游客过多,对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响,但也要保证一定的门票收入,因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数,在该方法实施过程中发现:每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在这种情况下,如果要保证每周3000万元的门票收入,那么每周应限定旅游人数是多少人?门票价格应是多少元? 【答案】每周应限定参观人数是10万人,门票价格应是300元/人. 【分析】可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式,然后根据参观人数 票价=40000元,来求出自变量的值. 【解答】解:设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b, 把(150,25)(200,20)代入y=kx+b中得, 解得, ∴y=﹣0.1x+40, 根据确保每周4万元的门票收入,得xy=3000, 即x(﹣0.1x+40)=3000, x2﹣400x+30000=0, 解得x1=100,x2=300, 把x1=100,x2=300分别代入y=﹣0.1x+40中, 得y1=30,y2=10, 因为控制参观人数,所以取x=300,y=10, 答:每周应限定参观人数是10万人,门票价格应是300元/人. 【点评】此题考查了一次函数的应用级一元二次方程的应用、一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义. 22.(9分)某种新产品进价是120元,在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系: 每件销售价格/元 130 135 140 … 日销售量/件 70 65 60 … (1)请你观察上面表格中数据的变化规律,回答:当每件产品每涨价1元时,日销售量是怎样变化的? (2)在不改变上述关系的情况下,请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时,每日盈利可达到1600元. 【答案】(1)设每件产品定价为x元(x>120),则产品的日销量为(200﹣x)元; (2)160元. 【分析】(1)由每件的销售价格与日销售量之和为定值,可得出当每件产品每涨价1元时,日销售量减少1件; (2)设每件产品定价为x元(x>120),则产品的日销量为(200﹣x)元,利用商场每天销售该产品的利润=每件的销售利润 日销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论. 【解答】解:(1)∵130+70=200,135+65=200,140+60=200, ∴每件的售价与产品的日销量之和为200, ∴当每件产品每涨价1元时,日销售量减少1件. (2)设每件产品定价为x元(x>120),则产品的日销量为(200﹣x)元, 依题意得:(x﹣120)(200﹣x)=1600, 整理得:x2﹣320x+25600=0, 解得:x1=x2=160. 答:每件产品定价为160元时,每日盈利可达到1600元. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及函数的表示方法,解题的关键是:(1)观察给定数据,找出每件的销售价格与日销售量之和为定值;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $