第4章 图形的相似 单元预习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第4章 图形的相似 一、选择题 1．（3分）下列四条线段中，成比例的一组是（　　） A．a＝1，b＝3，c＝6，d＝9 B．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 C．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 D．a＝6，b＝8，c＝10，d＝12 2．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 3．（3分）如图．已知l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝4，DF＝14，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（3分）如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（3分）已知在△ABC中，DE∥BC，若，则S△ADE：S梯形DBCE等于（　　） A．1：3 B．1：9 C．1：8 D．1：4 6．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　） A．9：4 B．3：2 C．16：9 D．4：3 7．（3分）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB2＝BC•BD B．AB2＝AC•BD C．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AD•CD 8．（3分）如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（　　） A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3 二、填空题 9．（3分）若3x＝7y，则　 　 ，　 　 ，　 　 ． 10．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD．要使△ACD与△ABC相似，应添加的条件是　 　 ．（只需写出一个条件即可） 11．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为 　 　 ． 12．（3分）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是　 　 ． 13．（3分）如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA＝3：1，BC＝8，则AF＝　 　 ． 14．（3分）矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则AB＝　 　 ． 三、解答题 15．（8分）如图AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝6 求证：AB•DO＝CD•BO． 16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且DECD． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积． 17．（10分）如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证明你的结论． 18．（10分）如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？ 19．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F． 求证：FD2＝FB•FC． 20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 第4章 图形的相似 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（3分）下列四条线段中，成比例的一组是（　　） A．a＝1，b＝3，c＝6，d＝9 B．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 C．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 D．a＝6，b＝8，c＝10，d＝12 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【解答】解：A、1×9≠3×6，所以A选项不符合题意； B、1×8＝2×4，所以B选项符合题意； C、2×8≠4×6，所以C选项不符合题意； D、6×12≠8×10，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【解答】解：∵①中的三角形的三边分别是：2，，， ②中的三角形的三边分别是：3，，， ③中的三角形的三边分别是：2，2，2， ④中的三角形的三边分别是：3，，4， ∵①与③中的三角形的三边的比为：1：， ∴①与③相似． 故选：C． 【点评】此题主要考查相似三角形的判定方法，熟记定理的内容是解题的关键． 3．（3分）如图．已知l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝4，DF＝14，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝4，DF＝14， ∴， 即， 解得：EF＝8， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 4．（3分）如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE．所以图中共有3对相似三角形． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE． ∴图中共有3对相似三角形． 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏． 5．（3分）已知在△ABC中，DE∥BC，若，则S△ADE：S梯形DBCE等于（　　） A．1：3 B．1：9 C．1：8 D．1：4 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC＝（）2， ∵， ∴， ∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝1：9， ∴S△ADE：S四边形BCED＝1：8， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 6．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　） A．9：4 B．3：2 C．16：9 D．4：3 【答案】C 【分析】设BF＝x，则CF＝3﹣x，B'F＝x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【解答】解：设BF＝x，则CF＝3﹣x，B'F＝x， 又点B′为CD的中点， ∴B′C＝1， 在Rt△B′CF中，B'F2＝B′C2+CF2，即x2＝1+（3﹣x）2， 解得：x，即可得CF＝3， ∵∠DB′G+∠DGB'＝90°，∠DB′G+∠CB′F＝90°， ∴∠DGB′＝∠CB′F， ∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′， 根据面积比等于相似比的平方可得：△FCB′与△B′DG的面积之比为：（）2＝16：9． 故选：C． 【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是求出FC的长度，然后利用面积比等于相似比的平方进行求解，难度一般． 7．（3分）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB2＝BC•BD B．AB2＝AC•BD C．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AD•CD 【答案】A 【分析】可根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角． 【解答】解：∵△ABC∽△DBA， ∴； ∴AB2＝BC•BD，AB•AD＝BD•AC； 故选：A． 【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键． 8．（3分）如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（　　） A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3 【答案】A 【分析】三角形的面积高×底，所以相似三角形的面积之比等于边之比的平方，由DE⊥AC，EF⊥AB，FC⊥BC得出△DEF与△ABC的角对应相等，即：△DEF∽△CAB，求出两个三角形的边之比即可，又知△ABC是正三角形，所以∠B＝∠C＝∠A＝60°，利用余弦和正弦定理求出两个三角形的边之比． 【解答】解：∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴∠C+∠EDC＝90°，∠FDE+∠EDC＝90°， ∴∠C＝∠FDE， 同理可得：∠B＝∠DFE，∠A＝DEF， ∴△DEF∽△CAB， ∴△DEF与△ABC的面积之比＝（）2， 又∵△ABC为正三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，△EFD是等边三角形， ∴EF＝DE＝DF， 又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴△AEF≌△CDE≌△BFD， ∴BF＝AE＝CD，AF＝BD＝EC， 在Rt△DEC中， DE＝DC×sin∠CDC，EC＝cos∠C×DCDC， 又∵DC+BD＝BC＝ACDC， ∴， ∴△DEF与△ABC的面积之比等于：（）21：3． 故选：A． 【点评】本题主要考查如何求三角形的面积之比，若能证出两个三角形是相似三角形，此时三角形的面积之比等于对应边之比的平方，只要求出对应边比即可． 二、填空题 9．（3分）若3x＝7y，则　　 ，　　 ，　　 ． 【答案】，，． 【分析】先根据内项之积等于外项之积得到，再根据分比性质计算的值，然后根据合分比性质计算的值． 【解答】解：∵3x＝7y， ∴， ∴，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD．要使△ACD与△ABC相似，应添加的条件是　∠ADC＝∠ACB　 ．（只需写出一个条件即可） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案． 【解答】解；由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可， 所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD， 故答案为：∠ADC＝∠ACB． 【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型，大部分学生能正确做出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣． 11．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为 　（，）　 ． 【答案】（，）． 【分析】先根据正方形的性质得到正方形OABC与正方形ODEF的相似比为1：，再表示出B点，然后根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B点的横纵坐标都乘以得到点A的坐标． 【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF的面积之比为1：2， ∴正方形OABC与正方形ODEF的相似比为1：， ∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心， ∵点A的坐标为（1，0）， ∴B（1，1）， ∴E（，）． 故答案为：（，）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 12．（3分）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图设A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1），作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，在Rt△A′BD中，利用勾股定理即可求出A′B，也就求出了从A点到B点经过的路线长． 【解答】解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C， 作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D， 故光线从点A到点B所经过的路程A′B5． 【点评】构造直角三角形是解决本题关键，属于中等难度题目． 13．（3分）如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA＝3：1，BC＝8，则AF＝　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知可推出△AFG∽△CEG，△ADF∽△BDE，根据相似三角形的相似比不难求得AF的长． 【解答】解：∵AF∥BC，点D是AB边的中点， ∴∠F＝∠E，∠ADF＝∠EDB，AD＝BD， ∴△ADF≌△BDE ∴AF＝BE 设AF＝BE＝x． ∵AF∥EC ∴△AGF∽△CGE ∴ 即 ∴BEEC，BC＝8EC， ∴EC＝12， ∴BE＝4， ∴AF＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了三角形的判定与性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；若平行于三角形一边的直线与另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 14．（3分）矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则AB＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】可设BE＝x，CE＝y，由题意可得△ABE≌ECF，并且△ECF∽△FDG，从而得出关于x、y的两个方程，可求解． 【解答】解：∵小正方形的面积为1， ∴小正方形的边长也为1 设BE＝x，CE＝y， ∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90° ∴∠AEB＝∠EFC 又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4 ∴△ABE≌ECF（AAS） ∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x ∴由勾股定理可得x2+y2＝42 而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90° ∴△ECF∽△FDG ∴ ∴FDECy， ∵AB＝CD ∴y＝xy ∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中 于是可得x，y， ∴AB， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的相似与全等的应用，从AB＝CD进行突破，寻求x、y的关系，从而得到问题的解决． 三、解答题 15．（8分）如图AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝6 求证：AB•DO＝CD•BO． 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知条件，易得AO：CO＝BO：DO，又∠AOB＝∠COD，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可得△AOB∽△COD，再由相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【解答】证明：∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝6， ∴AO：CO＝BO：DO＝1：2， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD＝BO：DO， ∴AB•DO＝CD•BO． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，比较简单．通过观察已知数据，得出AO：CO＝BO：DO是解题的关键． 16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且DECD． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）24． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠A＝∠C，得到∠ABF＝∠CEB，根据三角形相似的判定定理证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，∠A＝∠C， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB， ∵DECD， ∴，， ∵CD∥AB， ∴△DFE∽△AFB， ∴（）2， ∵S△DEF＝1， ∴S△ABF＝9， ∵△ABF∽△CEB， ∴（）2， ∴S△CEB＝16， ∴S平行四边形ABCD＝S△ABF+S△CEB﹣S△DEF＝9+16﹣1＝24． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 17．（10分）如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【分析】反复利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似这一定理可证明这两三角形三边对应成比例即可证得结论． 【解答】解：△A′B′C′∽△ABC． 证明：由已知，∠AOC＝∠A′OC′ ∴△AOC∽△A′OC′， ∴，同理． ∴． ∴△A′B′C′∽△ABC． 【点评】考查了相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似． 18．（10分）如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题中P点的位置不同时，角的对应关系也不同，所以应分情况讨论： （1）当∠A与∠DPC对应相等时； （2）当∠A与∠D对应相等时；然后根据各自的对应线段成比例求出BP的长． 【解答】解：（1）当△ABP∽△PCD时，，，得BP＝2或BP＝12； （2）当△ABP∽△DCP时，，，BP＝5.6． 综合以上可知，当BP的值为2，12或5.6时，两三角形相似． 【点评】考查相似三角形的判定定理，注意对应角相等，对应边成比例． 19．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F． 求证：FD2＝FB•FC． 【答案】见试题解答内容 【分析】证明△FDC∽△FBD，即可解决问题 【解答】证明：∵E是Rt△ACD斜边AC的中点， ∴DE＝AE ∴∠A＝∠ADE ∵∠ADE＝∠BDF， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠FDC＝∠BDF+∠BDC，∠FBD＝∠ACB+∠A（外角定理），∠BDC＝∠ACB＝90°， ∴∠FDC＝∠FBD， ∵∠F＝∠F， ∴△FDC∽△FBD， ∴， 即FD2＝FB•FC． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由AB＝AC，根据等边对等角，可得∠B＝∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM＝∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM； （2）首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE＝EM与AM＝EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案； （3）首先设BE＝x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CMx（x﹣3）2，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF＝∠B， 又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； （2）能． ∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF ∴AE≠AM； 当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1， 当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA， ∵∠C＝∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE， ∴BE＝6； ∴BE＝1或． （3）设BE＝x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴， 即：， ∴CMx（x﹣3）2， ∴AM＝5﹣CM（x﹣3）2， ∴当x＝3时，AM最短为． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $