第6章 反比例函数 单元预习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第6章 反比例函数 一、选择题 1.(3分)下列函数中,y是x的反比例函数是( ) A.x(y﹣1)=1 B.y C.y D.y 2.(3分)如图,某反比例函数的图象过点M,则此反比例函数表达式为( ) A. B. C.y=﹣2x D. 3.(3分)已知反比例函数的图象如图所示,则一次函数y=﹣kx+b(b>0)的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 4.(3分)如图,第四象限的角平分线OM与反比例函数y(k≠0)的图象交于点A,已知OA,则该函数的解析式为( ) A.y B.y C.y D.y 5.(3分)如图,点A,B是反比例函数y(x>0)图象上的两点,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC.若点C(1,0),BD=2,三角形BCD的面积为3,则三角形AOC的面积是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.(3分)如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是直线y=kx﹣b上的两点,且当x1<x2时,y1<y2,那么函数y的图象大致是( ) A. B. C. D. 7.(3分)在平面直角坐标系中,如果直线y=k1x与双曲线有交点,那么k1和k2的关系是( ) A.k1<0,k2>0 B.k1>0,k2<0 C.k1、k2同号 D.k1、k2异号 8.(3分)如图,一次函数y1=x﹣1与反比例函数y2的图象交于点A(2,1),B(﹣1,﹣2),则使y1>y2的x的取值范围是( ) A.x>2 B.x>2 或﹣1<x<0 C.﹣1<x<2 D.x>2或x<﹣1 二、填空题 9.(3分)已知函数y=(k﹣2)x|k|﹣3(k为整数),当k为 时,y是x的反比例函数. 10.(3分)已知反比例函数y(x>0),请你补充一个条件 ,使y的值随着x值的增大而减小. 11.(3分)如图,l1是反比例函数在第一象限内的图象,且过点A(3,1),l2与l1关于x轴对称,那么图象l2的函数解析式为 (x>0). 12.(3分)若A(a﹣1,y1),B(a,y2),C(a+1,y3)都是反比例函数y的图象上的点,且﹣1<a<0,则y1,y2,y3,由小到大的顺序是 . 13.(3分)如图,已知矩形OABC的面积为50,它的对角线OB与双曲线y相交于点D,且OD:OB=3:5,则k= . 14.(3分)如图,在反比例函数y(x>0)的图象上,有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,则S1+S2+S3= . 三、解答题 15.(5分)反比例函数的图象经过点A(﹣2,3); (1)求这个函数的解析式; (2)请判断点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由. 16.(6分)某汽车油箱的容积为70升,小王把油箱注满油后准备驾驶汽车从县城到300千米外的省城接待客人,在接到客人后立即按原路返回,请回答下列问题: (1)油箱注满油后,汽车能够行驶的总路程y(单位:千米)与平均耗油量x(单位:升/千米)之间有怎样的函数关系? (2)如果小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城,在返程时由于下雨,小王降低了车速,此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍,如果小王一直以此速度行驶,油箱里的油是否够回到县城?如果不够用,至少还需加多少油? 17.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是BC上与B,C不重合的任意一点,设PA=x,点D到AP的距离为y,求y与x的函数表达式,并求出自变量x的取值范围,在平面直角坐标系中作出相应的函数图象. 18.(8分)如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点. (1)求此反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 19.(8分)如图,奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后,沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递.动点T(m,n)表示火炬位置,火炬从离北京路10米处的M点开始传递,到离北京路1000米的N点时传递活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口),OATB为少先队员鲜花方阵,方阵始终保持矩形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计). (1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围); (2)当鲜花方阵的周长为500米时,确定此时火炬的位置(用坐标表示). 20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A为y轴正半轴上一点,过点A作x轴的平行线,交函数的图象于B点,交函数的图象于C,过C作y轴的平行线交BO的延长线于D. (1)如果点A的坐标为(0,2),求线段AB与线段CA的长度之比; (2)如果点A的坐标为(0,a),求线段AB与线段CA的长度之比; (3)在(1)条件下,四边形AODC的面积为多少? 21.(8分)如图,已知直线与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4. (1)求k的值; (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求 AOC的面积; (3)另一条直线y=2x交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点P为顶点组成的四边形AQBP,求四边形AQBP的面积. 22.(9分)如图,已知双曲线y(k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试解答下列问题. (1)若点A的坐标为(4,2),则点B的坐标为 ;点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为 . (2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y(k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.说明四边形APBQ一定是平行四边形. 第6章 反比例函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1.(3分)下列函数中,y是x的反比例函数是( ) A.x(y﹣1)=1 B.y C.y D.y 【答案】D 【分析】此题应根据反比例函数的定义,解析式符合y(k≠0)的形式为反比例函数. 【解答】解:A,B,C都不符合反比例函数的定义,错误; D符合反比例函数的定义,正确. 故选:D. 【点评】本题考查了反比例函数的定义,注意在解析式的一般式(k≠0)中,特别注意不要忽略k≠0这个条件. 2.(3分)如图,某反比例函数的图象过点M,则此反比例函数表达式为( ) A. B. C.y=﹣2x D. 【答案】B 【分析】设反比例函数的表达式,把点M的坐标代入解析式,即可求得. 【解答】解:设反比例函数的表达式, ∵反比例函数的图象过点M(﹣2,1), ∴k=﹣2 1=﹣2, 所以反比例函数的表达式, 故选:B. 【点评】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式,解本题的关键是会用待定系数法求函数解析式. 3.(3分)已知反比例函数的图象如图所示,则一次函数y=﹣kx+b(b>0)的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得到k<0,则﹣k>0,而b>0,根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数图象经过第一、三象限,并且图象与y轴的交点在x轴上方,即图象过第一、二、三象限. 【解答】解:∵反比例函数图象在第二、四象限, ∴k<0, 对于一次函数y=﹣kx+b(b>0), ∴﹣k>0,b>0, ∴一次函数图象经过第一、三象限,并且图象与y轴的交点在x轴上方,即图象过第一、二、三象限. 故选:A. 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系:对于一次函数y=kx+b(k≠0)图象,当k>0,图象经过第一、三象限;当k<0,图象经过第二、四象限;当b>0,图象与y轴的交点在x轴上方;当b=0,图象过原点;当b<0,图象与y轴的交点在x轴下方. 4.(3分)如图,第四象限的角平分线OM与反比例函数y(k≠0)的图象交于点A,已知OA,则该函数的解析式为( ) A.y B.y C.y D.y 【答案】D 【分析】此题只需根据等腰直角三角形的性质,求得点A的坐标即可. 【解答】解:如图,作AB⊥坐标轴. 因为OA是第四象限的角平分线,所以Rt ABO是等腰直角三角形. 因为OA=3,所以AB=OB=3, 所以A(3,﹣3). 再进一步代入y(k≠0),得k=﹣9. 故选:D. 【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式,重点是由等腰三角形的性质确定比例系数k. 5.(3分)如图,点A,B是反比例函数y(x>0)图象上的两点,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC.若点C(1,0),BD=2,三角形BCD的面积为3,则三角形AOC的面积是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】根据三角形的面积可求出CD,进而求出点B的坐标,确定k的值,再根据三角形AOC的面积与k的关系求出结果即可. 【解答】解:连接OB, ∵C(1,0), ∴OC=1, ∵BD=2,三角形BCD的面积为3, ∴CD=3, ∴OD=1+3=4, ∴点B(4,2) ∴k=2 4=8, ∴S AOC|k|=4, 故选:C. 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,确定点的坐标和k的值,是正确解答的关键. 6.(3分)如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是直线y=kx﹣b上的两点,且当x1<x2时,y1<y2,那么函数y的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性判断出k的符号,再根据反比例函数的性质解答即可. 【解答】解:∵当x1<x2时,y1<y2, ∴k>0, ∴函数y的图象在一、三象限,四个图象中只有A符合. 故选:A. 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题. 7.(3分)在平面直角坐标系中,如果直线y=k1x与双曲线有交点,那么k1和k2的关系是( ) A.k1<0,k2>0 B.k1>0,k2<0 C.k1、k2同号 D.k1、k2异号 【答案】C 【分析】根据直线和双曲线的性质判断即可. 【解答】解:A、此时直线经过第二、四象限,而双曲线经过第一、三象限,即两图象没有交点,故本选项错误; B、此时直线经过第一、三象限,而双曲线经过第二、四象限,即两图象没有交点,故本选项错误; C、此时直线和双曲线都经过第二、四象限或直线和双曲线都经过第一、三象限,即两图象有交点,故本选项正确; D、此时直线经过第二、四象限,而双曲线经过第一、三象限或直线经过第一、三象限,而双曲线经过第二、四象限,即两图象没有交点,故本选项错误; 故选:C. 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点和函数的性质和图象的应用,主要考查学生的理解能力和辨析能力. 8.(3分)如图,一次函数y1=x﹣1与反比例函数y2的图象交于点A(2,1),B(﹣1,﹣2),则使y1>y2的x的取值范围是( ) A.x>2 B.x>2 或﹣1<x<0 C.﹣1<x<2 D.x>2或x<﹣1 【答案】B 【分析】当y1>y2时,一次函数的图象在反比例函数的图象上方;由图知:符合条件的函数图象有两段:①第一象限,x>2时,y1>y2;②第三象限,﹣1<x<0时,y1>y2. 【解答】解:从图象上可以得出: 在第一象限中,当x>2时,y1>y2成立; 在第三象限中,当﹣1<x<0时,y1>y2成立. 所以使y1>y2的x的取值范围是x>2或﹣1<x<0. 故选:B. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用数形结合是解题的关键. 二、填空题 9.(3分)已知函数y=(k﹣2)x|k|﹣3(k为整数),当k为 ﹣2 时,y是x的反比例函数. 【答案】﹣2. 【分析】根据y=kx﹣1(k≠0)是反比例函数,可得答案. 【解答】解:∵函数y=(k﹣2)x|k|﹣3(k为整数)是反比例函数, ∴|k|﹣3=﹣1,且k﹣2≠0, 解得k=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题主要考查反比例函数的定义,熟记定义和定义的条件是解本题的关键. 10.(3分)已知反比例函数y(x>0),请你补充一个条件 k=1(答案不唯一) ,使y的值随着x值的增大而减小. 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 【解答】解:由于x>0, 根据反比例函数的性质,y的值随着x值的增大而减小时,k>0, 可取k=1,k=2,k=3等. 【点评】定义:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数. 因为y是一个分式,所以自变量x的取值范围是x≠0.而y有时也被写成xy=k或y=kx﹣1. 性质:①当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限. ②当k>0时,在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大. k>0时,函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数. 定义域为x≠0;值域为y≠0. ③因为在y(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交. ④在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则S1=S2=|k|. ⑤反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=x,y=﹣x(即第一、三象限,第二、四象限角平分线),对称中心是坐标原点. 11.(3分)如图,l1是反比例函数在第一象限内的图象,且过点A(3,1),l2与l1关于x轴对称,那么图象l2的函数解析式为 (x>0). 【答案】见试题解答内容 【分析】把已知点的坐标代入可求出k值,即得到反比例函数的解析式. 【解答】解:y过点A(3,1),得它的解析式为y, 由反比例函数及轴对称的知识,l2的解析式应为y. 故答案为:y. 【点评】本题考查反比例函数及对称的知识,难度不大.还考查了用待定系数法求反比例函数的解析式.先设y,再把已知点的坐标代入可求出k值,即得到反比例函数的解析式. 12.(3分)若A(a﹣1,y1),B(a,y2),C(a+1,y3)都是反比例函数y的图象上的点,且﹣1<a<0,则y1,y2,y3,由小到大的顺序是 y3<y1<y2 . 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据a的范围判断出A、B、C三点都在第二象限的曲线上,再根据y随x的增大而减小可得答案. 【解答】解:∵﹣1<a<0, ∴﹣2<a﹣1<﹣1,﹣1<a<0,0<a+1<1, ∴A、B三点都在第二象限的曲线上,C点在第四象限的曲线上, ∵k=﹣1<0, ∴在每一象限范围内y随x的增大而增大, ∴y3<0<y1<y2. 故答案为:y3<y1<y2. 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,关键是掌握y随x的变化趋势. 13.(3分)如图,已知矩形OABC的面积为50,它的对角线OB与双曲线y相交于点D,且OD:OB=3:5,则k= ﹣18 . 【答案】见试题解答内容 【分析】作DE⊥OA,DF⊥OC.则矩形ABCO∽矩形EDFO,依据相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形EDFO的面积,然后依据反比例函数图象位于第二象限可求得k的值. 【解答】解:如图所示:作DE⊥OA,DF⊥OC.则矩形ABCO∽矩形EDFO. ∴矩形ABCO的面积:矩形EDFO的面积=25:9,即50:矩形EDFO的面积=25:9, ∴矩形EDFO的面积=18. ∵反比例函数图象位于第二象限, ∴k=﹣18. 故答案为:﹣18. 【点评】本题主要考查的是反比例函数系数k的几何意义,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键. 14.(3分)如图,在反比例函数y(x>0)的图象上,有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,则S1+S2+S3= . 【答案】见试题解答内容 【分析】根据反比例函数的几何意义,可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积,据此作答. 【解答】解:由题意,可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为:(1,2),(2,1),(3,),(4,). 解法一: ∵S1=1 (2﹣1)=1, S2=1 (1), S3=1 (), ∴S1+S2+S3=1. 解法二:∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积, ∴1 21. 故答案为:. 【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义. 三、解答题 15.(5分)反比例函数的图象经过点A(﹣2,3); (1)求这个函数的解析式; (2)请判断点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)把点A的坐标代入函数解析式,列出关于k的方程,通过解方程来求k的值; (2)把点B的坐标代入(1)中的函数解析式进行验证即可. 【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A(﹣2,3), ∴k=xy=(﹣2) 3=﹣6, ∴该函数解析式为:y; (2)点B(1,6)不在这个反比例函数的图象上,理由如下: 由(1)知,k=﹣6. ∵1 6=6≠﹣6,∴点B(1,6)不在这个反比例函数的图象上. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式.反比例函数图象上所有点的横纵坐标的乘积等于比例系数k. 16.(6分)某汽车油箱的容积为70升,小王把油箱注满油后准备驾驶汽车从县城到300千米外的省城接待客人,在接到客人后立即按原路返回,请回答下列问题: (1)油箱注满油后,汽车能够行驶的总路程y(单位:千米)与平均耗油量x(单位:升/千米)之间有怎样的函数关系? (2)如果小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城,在返程时由于下雨,小王降低了车速,此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍,如果小王一直以此速度行驶,油箱里的油是否够回到县城?如果不够用,至少还需加多少油? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据耗油量 行驶里程=70升列出函数关系式即可; (2)分别求得每千米好友0.1升的速度的耗油量和0.2升的耗油量,与70比较即可得到答案. 【解答】解:(1)∵耗油量 行驶里程=70升; ∴xy=70 ∴y(x>0); (2)不够用,理由如下: ∵0.1 300=30(升) 0.2 300=60(升), ∴30+60>70 故不够用 30+60﹣70=20(升) 答:不够用,到县城至少需要20升油. 【点评】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出反比例函数模型. 17.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是BC上与B,C不重合的任意一点,设PA=x,点D到AP的距离为y,求y与x的函数表达式,并求出自变量x的取值范围,在平面直角坐标系中作出相应的函数图象. 【答案】见试题解答内容 【分析】把已知的线段用含x、y的代数式表示出来,转化到两个三角形中,易证其相似,从而得出关系式. 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠B=90 , ∴∠DAE=∠APB, ∵DE⊥AP, ∴∠AED=90 , ∴∠B=∠AED=90 , ∴ ABP∽ DEA; ∴; ∴; ∴y(2<x). 【点评】此题主要利用了相似三角形的性质,利用性质建立已知和未知之间的联系是关键,根据图形转化到相应的部分中,运用相关知识解决. 18.(8分)如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点. (1)求此反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 【答案】(1)反比例函数的解析式为y;一次函数的解析式为y=﹣x﹣2; (2)﹣4<x<0或x>2. 【分析】(1)先把A(﹣4,2)代入y求出m=﹣8,从而确定反比例函数的解析式为y;再把B(n,﹣4)代入y求出n=2,确定B点坐标为(2,﹣4),然后利用待定系数法确定一次函数的解析式; (2)观察图象得到当﹣4<x<0或x>2 时,一次函数的图象都在反比例函数图象的下方,即一次函数的值小于反比例函数的值. 【解答】解:(1)把A(﹣4,2)代入y,得m=﹣4 2=﹣8, ∴反比例函数的解析式为y; 把B(n,﹣4)代入y,得﹣4n=﹣8,解得n=2, ∴B点坐标为(2,﹣4), 把A(﹣4,2)、B(2,﹣4)分别代入y=kx+b, 得,解方程组得, ∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2; (2)由图象可知,x的取值范围是﹣4<x<0或x>2. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式;求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组,方程组的解就是交点的坐标.也考查了待定系数法以及观察函数图象的能力. 19.(8分)如图,奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后,沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递.动点T(m,n)表示火炬位置,火炬从离北京路10米处的M点开始传递,到离北京路1000米的N点时传递活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口),OATB为少先队员鲜花方阵,方阵始终保持矩形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计). (1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围); (2)当鲜花方阵的周长为500米时,确定此时火炬的位置(用坐标表示). 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)首先根据题意,奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后,沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递,且方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米,将此数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式; (2)设鲜花方阵的长为m米,则宽为(250﹣m)米,由题意得m(250﹣m)=10000,进而求出即可. 【解答】解:(1)设反比例函数为y(k>0), 则k=xy=mn=S矩形OATB=10000, ∴y. (2)设鲜花方阵的长为m米,则宽为(250﹣m)米,由题意得 m(250﹣m)=10000, 250m﹣m2=10000, 即m2﹣250m+10000=0, 解得m=50或m=200,满足题意. ∴此时火炬的坐标为(50,200)或(200,50). 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式. 20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A为y轴正半轴上一点,过点A作x轴的平行线,交函数的图象于B点,交函数的图象于C,过C作y轴的平行线交BO的延长线于D. (1)如果点A的坐标为(0,2),求线段AB与线段CA的长度之比; (2)如果点A的坐标为(0,a),求线段AB与线段CA的长度之比; (3)在(1)条件下,四边形AODC的面积为多少? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据点A的纵坐标是2,可以确定点B和点C的纵坐标,再进一步根据反比例函数的解析式求得点B和点C的横坐标,再进一步求得它们的长度之比; (2)和(1)的方法类似,在求平行于x轴的线段的长度的时候,要让右边的点的横坐标减去左边的点的横坐标; (3)根据(2)中的长度比,结合平行线分线段成比例定理求得该梯形的下底的长,再根据梯形的面积公式进行计算. 【解答】解:(1)∵A(0,2),BC∥x轴, ∴B(﹣1,2),C(3,2), ∴AB=1,CA=3, ∴线段AB与线段CA的长度之比为; (2)∵B是函数y(x<0)的一点,C是函数y(x>0)的一点, ∴B(,a),C(,a), ∴AB,CA, ∴线段AB与线段CA的长度之比为; (3)∵, ∴, 又∵OA=a,CD∥y轴, ∴, ∴CD=4a, ∴四边形AODC的面积为(a+4a)15. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解决此题的关键是要能够根据两点的坐标求得两点之间的长度,根据平行线分线段成比例定理进行计算. 21.(8分)如图,已知直线与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4. (1)求k的值; (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求 AOC的面积; (3)另一条直线y=2x交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点P为顶点组成的四边形AQBP,求四边形AQBP的面积. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)把x=4代入yx可确定A点坐标,把A点坐标代入双曲线即可得到k的值; (2)过A作AF⊥x轴于F,过C作CD⊥x轴于E,先把y=8代入反比例函数的解析式确定C点坐标,然后利用S AOC=S梯形AFOEC﹣S COE﹣S OAF,和三角形与梯形的面积公式计算即可; (3)把y=2x与反比例函数的解析式组成方程组,解方程组确定P点坐标为(2,4),Q点坐标为(﹣2,﹣4),得到OP=OQ,易证得四边形AQBP为平行四边形;同(2)计算方法一样得S OAP,然后利用四边形AQBP的面积=4S OAP即可得到答案. 【解答】解:(1)把x=4代入yx,得y=2, ∴A点坐标为(4,2), 把A(4,2)代入y, ∴k=4 2=8; (2)如图过A作AF⊥x轴于F,过C作CE⊥y轴于E,CG⊥x轴与G, 反比例函数的解析式为y,∵y=8,则x=1, ∴C点坐标为(1,8), ∴S AOC=SAFOEC﹣S COE﹣S OAF, =8(2+8) 38 14 2, =15; (3)如图,过A作AE⊥x轴与E,过P作PD⊥x轴于D, 解方程组得或, ∴P点坐标为(2,4),Q点坐标为(﹣2,﹣4), ∴P与Q关于原点中心对称, ∴OP=OQ,同理可得OA=OB, ∴四边形AQBP为平行四边形, 同(2)计算方法一样得S OAP=S梯形PDEA(2+4) 2=6, ∴四边形AQBP的面积=4S OAP=24. 【点评】本题考查了点在反比例函数图象上,则点的横纵坐标满足其解析式.也考查了两函数图象交点的求法以及三角形与梯形的面积公式. 22.(9分)如图,已知双曲线y(k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试解答下列问题. (1)若点A的坐标为(4,2),则点B的坐标为 (﹣4,﹣2) ;点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为 (﹣m,) . (2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y(k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.说明四边形APBQ一定是平行四边形. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由反比例函数关于原点成中心对称,得到A与B关于原点对称,由A坐标确定出B坐标即可;把x=m代入反比例解析式表示出y,进而表示出A坐标,根据对称性求出B坐标即可; (2)由对称性得到A与B关于原点对称,P与Q关于原点对称,进而得到OA=OB,OP=OQ,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证. 【解答】解:(1)由对称性得:A与B关于原点对称, ∵点A的坐标为(4,2), ∴点B的坐标为(﹣4,﹣2); ∵点A的横坐标为m, ∴把x=m代入得:y,即A(m,), 则点B坐标为(﹣m,); 故答案为:(﹣4,﹣2);(﹣m,); (2)由对称性得到A与B关于原点对称,P与Q关于原点对称, 则OA=OB,OP=OQ, 则四边形APBQ一定是平行四边形. 【点评】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:中心对称的性质,反比例函数的性质,平行四边形的判定,熟练掌握中心对称的性质是解本题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $