第1章一元二次方程学霸养成系列-7大题型汇总与跟踪训练（填空题篇）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年数学苏科版九年级上册第1章一元二次方程学霸养成系列-7大题型汇总与跟踪训练（填空题篇） 7大题型归纳总结 题型1：一元二次方程的定义与一般形式 题型2：一元二次方程的解 题型3：解一元二次方程 题型4：配方法的应用 题型5：一元二次方程的根与系数的关系 题型6：增长率问题 题型7：与图形有关的问题 7大题型跟踪训练 题型1：一元二次方程的定义与一般形式 1．（2025•青岛模拟）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 2．（2024秋•扬州期末）已知（k﹣2）x|k|+2x﹣3＝0是一元二次方程，则实数k＝　 　 ． 3．（2024秋•道县期末）关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数为　 　 ． 4．（2024秋•喀什地区期末）将方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是 　 　 ，其中二次项系数是 　 　 ，一次项系数是 　 　 ，常数项是 　 　 ． 题型2：一元二次方程的解 5．（2024秋•石门县期末）关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，则m的值为 　 　 ． 6．（2024秋•韶关期末）若关于x的一元二次方程kx2+6x+2＝0的一个根为x＝1，则k的值为　 　 ． 7．（2025•镇江二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根，则m＝　 　 ． 8．（2025•南山区校级三模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的解，则代数式2024+4a﹣2b的值是　 　 ． 题型3：解一元二次方程 9．（2025春•通州区期末）方程x2﹣9＝0的解为：　 　 ． 10．（2025•连城县模拟）若一元二次方程x2﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值为　 　 ． 11．（2024秋•麻章区期末）把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　 　 ． 12．（2025•盐城一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　 ． 题型4：配方法的应用 13．（2025•鄞州区校级模拟）若实数x，y，z满足条件，则xy﹣z的值是　 　 ． 14．（2024秋•宝应县期末）△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　 　 三角形． 15．（2025•南海区二模）若x、a为实数，M＝x2+a2，N＝2ax﹣1，则M、N的大小关系为　 　 ． 16．（2025•道里区三模）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AB＝4，BE＝1，点F为正方形ABCD所在平面内一点，连接FE，FD，FE＝BE，DF的最大值为α，DF的最小值为b，则a2+2ab+b2的值为　 　 ． 题型5：一元二次方程的根与系数的关系 17．（2025•宿松县模拟）已知a和b是方程x2+4x﹣4＝0的两个根，则a2+5a﹣b（a﹣1）的值为　 　 ． 18．（2025•重庆模拟）若m，n为一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为　 　 ． 19．（2025•合江县模拟）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　 ． 20．（2025•兴宁市一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　 　 ． 题型6：增长率问题 21．（2024秋•沙坪坝区校级月考）为加速芯片产业发展，某公司近两年对芯片的研发投入逐年递增．该公司2022年研发投入6000万元，2024年研发投入8640万元，该公司这两年研发投入的年平均增长率是　 　 ． 22．（2024秋•姜堰区期中）某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从8月份的5万辆增长到10月份的7.2万辆，则这两个月汽车销售量的月平均增长率为 　 　 ． 23．（2024秋•即墨区期中）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为412万元，2023年数字阅读市场规模为523万元．设该市年平均增长率为x，根据题意可列方程 　 　 ． 24．（2024秋•洛龙区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里•月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里•月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 　 　 ． 题型7：与图形有关的问题 25．（2024•渭城区一模）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 　 　 米． 26．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为525cm2，设剪去的小正方形的边长为x cm，则可列方程为 　 　 ． 27．（2024秋•城关区月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长40米、宽26米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为864平方米，则小道的宽为　 　 米． 28．（2024秋•娄星区校级月考）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，正方形空地原来的边长为 　 　 m． 2025-2026学年数学苏科版九年级上册第1章一元二次方程学霸养成系列-7大题型汇总与跟踪训练（填空题篇） 参考答案与试题解析 1．（2025•青岛模拟）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　0　 ． 【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝0． 故答案为：0． 2．（2024秋•扬州期末）已知（k﹣2）x|k|+2x﹣3＝0是一元二次方程，则实数k＝　﹣2　 ． 【解答】解：由条件可知|k|＝2且k﹣2≠0， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 3．（2024秋•道县期末）关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数为　3　 ． 【解答】解：由题意得 关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数为3， 故答案为：3． 4．（2024秋•喀什地区期末）将方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是 　3x2﹣8x﹣10＝0　 ，其中二次项系数是 　3　 ，一次项系数是 　﹣8　 ，常数项是 　﹣10　 ． 【解答】解：方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是3x2﹣8x﹣10＝0，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣8，常数项是﹣10， 故答案为：3x2﹣8x﹣10＝0；3；﹣8；﹣10． 5．（2024秋•石门县期末）关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，则m的值为 　10　 ． 【解答】解：把x代入方程3x2+mx﹣8＝0，得 3×（）2m﹣8＝0， 解得m＝10． 故答案为：10． 6．（2024秋•韶关期末）若关于x的一元二次方程kx2+6x+2＝0的一个根为x＝1，则k的值为　﹣8　 ． 【解答】解：由条件可知k×12+6×1+2＝0，解得：k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 7．（2025•镇江二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根，则m＝　﹣4　 ． 【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根， ∴12+m×1+3＝0， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 8．（2025•南山区校级三模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的解，则代数式2024+4a﹣2b的值是　2026　 ． 【解答】解：由条件可知4a﹣2b﹣2＝0， ∴4a﹣2b＝2， ∴2024+4a﹣2b＝2024+2＝2026， 故答案为：2026． 9．（2025春•通州区期末）方程x2﹣9＝0的解为：　x＝±3　 ． 【解答】解：x2﹣9＝0， x2＝9， x＝±3， 故答案为：x＝±3． 10．（2025•连城县模拟）若一元二次方程x2﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值为　﹣3　 ． 【解答】解：x2﹣3＝0， ∴x＝±， ∴x1，x2， ∴x1•x2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 11．（2024秋•麻章区期末）把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　11　 ． 【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝11， （x﹣2）2＝11， ∴m＝11． 故答案为：11． 12．（2025•盐城一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　3x2+5x+1＝0　 ． 【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 13．（2025•鄞州区校级模拟）若实数x，y，z满足条件，则xy﹣z的值是　14　 ． 【解答】解：由条件可得： ， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴x＝4，y＝5，z＝6， ∴xy﹣z＝20﹣6＝14． 故答案为：14． 14．（2024秋•宝应县期末）△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　等腰　 三角形． 【解答】解：∵b+c＝8 ∴b＝8﹣c， ∴bc＝（8﹣c）c＝﹣c2+8c， ∴bc＝a2﹣12a+52＝﹣c2+8c， 即a2﹣12a+36+16+c2﹣8c＝0， 整理得：（a﹣6）2+（c﹣4）2＝0， ∵（a﹣6）2≥0，（c﹣4）2≥0， ∴a﹣6＝0，即a＝6；c﹣4＝0，即c＝4， ∴b＝8﹣4＝4， 则△ABC为等腰三角形． 故答案为：等腰． 15．（2025•南海区二模）若x、a为实数，M＝x2+a2，N＝2ax﹣1，则M、N的大小关系为　M＞N　 ． 【解答】解：由题意，∵M＝x2+a2，N＝2ax﹣1， ∴M﹣N＝x2+a2﹣（2ax﹣1） ＝x2+a2﹣2ax+1 ＝（x﹣a）2+1． 又∵对于任意实数x，a都有（x﹣a）2≥0， ∴M﹣N＝（x﹣a）2+1≥1＞0． ∴M＞N． 故答案为：M＞N． 16．（2025•道里区三模）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AB＝4，BE＝1，点F为正方形ABCD所在平面内一点，连接FE，FD，FE＝BE，DF的最大值为α，DF的最小值为b，则a2+2ab+b2的值为　100　 ． 【解答】解：由题意，如图，当DF所在直线过E时，可得DF的最大值与最小值． ∵AB＝AD＝4，BE＝1， ∴AE＝AB﹣BE＝3． ∴DE5． ∴DF的最小值为4，最大值为6． ∴a＝4，b＝6． ∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（4+6）2＝100． 故答案为：100． 17．（2025•宿松县模拟）已知a和b是方程x2+4x﹣4＝0的两个根，则a2+5a﹣b（a﹣1）的值为　4　 ． 【解答】解：由条件可知a2+4a﹣4＝0，ab＝﹣4，a+b＝﹣4， ∴a2+4a＝4， ∴a2+5a﹣b（a﹣1） ＝a2+5a﹣ab+b ＝a2+4a﹣ab+（a+b） ＝4﹣（﹣4）+（﹣4） ＝4． 故答案为：4． 18．（2025•重庆模拟）若m，n为一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为　﹣3　 ． 【解答】解：由条件可知m+n＝3，mn＝﹣1， ∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣1﹣2×3+4＝﹣3． 故答案为：﹣3． 19．（2025•合江县模拟）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　﹣2　 ． 【解答】解：根据题意知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1， 将其代入关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0，得12﹣3×1﹣k＝0． 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 20．（2025•兴宁市一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　14　 ． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 21．（2024秋•沙坪坝区校级月考）为加速芯片产业发展，某公司近两年对芯片的研发投入逐年递增．该公司2022年研发投入6000万元，2024年研发投入8640万元，该公司这两年研发投入的年平均增长率是　20%　 ． 【解答】解：设年平均增长率为x， 由题意得：6000（1+x）2＝8640， 解得x＝0.2或x＝﹣2.2（舍）， ∴增长率为20%， 所以该公司这两年研发投入的年平均增长率为20%． 故答案为：20%． 22．（2024秋•姜堰区期中）某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从8月份的5万辆增长到10月份的7.2万辆，则这两个月汽车销售量的月平均增长率为 　20%　 ． 【解答】解：设从8月份到10月份的月平均增长率为x， 根据题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 故答案为：20%． 23．（2024秋•即墨区期中）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为412万元，2023年数字阅读市场规模为523万元．设该市年平均增长率为x，根据题意可列方程 　412（1+x）2＝523　 ． 【解答】解：根据题意得：412（1+x）2＝523． 故答案为：412（1+x）2＝523． 24．（2024秋•洛龙区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里•月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里•月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 　5.2（1﹣x）2＝3.6　 ． 【解答】解：根据题意，得5.2（1﹣x）2＝3.6， 故答案为：5.2（1﹣x）2＝3.6． 25．（2024•渭城区一模）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 　1　 米． 【解答】解：设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（60﹣2x）（17﹣2x）＝870， 整理得：2x2﹣77x+75＝0， 解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去）， ∴通道宽为1米． 故答案为：1． 26．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为525cm2，设剪去的小正方形的边长为x cm，则可列方程为 　（45﹣2x）（25﹣2x）＝525　 ． 【解答】解：设剪去的小正方形的边长为x cm， 依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝525， 故答案为：（45﹣2x）（25﹣2x）＝525． 27．（2024秋•城关区月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长40米、宽26米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为864平方米，则小道的宽为　2　 米． 【解答】解：设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米的矩形， 由题意，得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864， 解得：x1＝2，x2＝44（不合题意）， 答：小道的宽为2米． 故答案为：2． 28．（2024秋•娄星区校级月考）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，正方形空地原来的边长为 　10　 m． 【解答】解：设原正方形空地的边长为x m， 根据题意得：（x﹣3）（x﹣2）＝56， 整理，得：x2﹣5x﹣50＝0， 解得：x1＝﹣5（不合题意，舍去），x2＝10． 答：原正方形空地的边长为10m． 故答案为：10． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $