精品解析： 浙江省宁波市余姚市姚江中学“中和杯”2023-2024学年八年级上学期竞赛数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市姚江中学“中和杯” 八年级（上）竞赛数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 1，2，3 B. 1，3，5 C. 2，3，4 D. 2，6，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可． 【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意； B、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意； C、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意； D、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键． 3. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不合题意； B、， ， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是能熟记不等式的性质的内容． 4. 某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品．需买本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本元．钢笔每支元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（ ） A. 支 B. 支 C. 支 D. 支 【答案】C 【解析】 【分析】设该同学买了x支钢笔，根据题意列出不等式求解即可； 【详解】设该同学买了x支钢笔，根据题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， 该同学至少买10支钢笔才能打折； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 5. 如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的条件，可以得到，，然后即可判断各个选项中添加的条件是否能使得，从而可以解答本题． 本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答． 【详解】解：， ， ， 又， 添加条件，不能判断，故选项A不符合题意； 添加条件，不能判断，故选项B不符合题意； 添加条件，可以得到，不能判断，故选项C不符合题意； 添加条件，可以得到，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程（米）和经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 从小聪家到超市的路程是1300米 B. 小聪从家到超市的平均速度为100米/分 C. 小聪在超市购物用时45分钟 D. 小聪从超市返回家中的平均速度为100米/分 【答案】D 【解析】 【分析】仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，从而进行判断． 【详解】解：A、观察图象发现：从小聪家到超市的路程是1800米，故该选项错误； B、小聪去超市共用了10分钟，行程1800米，速度为1800÷10＝180米/分，故该选项错误； C、小聪在超市逗留了45−10＝35分钟，故该选项错误； D、（1800−1300）÷（50−45）＝500÷5＝100，所以小聪从超市返回的速度为100米/分，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，能够仔细读图并从中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大． 7. 要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于题中出现了一次函数和不等式，可以考虑用一次函数和不等式的相关知识解决问题； 根据题意，不等式的解集即为直线在上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断，即可选出正确答案，此题便得到解决． 【详解】解：根据题意得， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 9. 已知关于的不等式组恰有5个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解得出范围，求出即可． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， 不等式组的解集是：， 不等式组恰有5个整数解， 这5个整数解只能为15，16，17，18，19， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据题意得出不等式组． 10. 如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是进行面积之间的转化． 先证明，则，证明，则，那么，故；连接， 同理可证明：，则，， 那么点共线，再证明，则，那么；；． 【详解】解：∵四边形，是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 连接， 同理可证明：， ∴，， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 等边三角形的每个内角为_________度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据等边三角形各边长相等的性质即可求得∠A=∠B=∠C，根据三角形内角和为180°的性质即可求得∠A=∠B=∠C=60°，即可解题． 【详解】解：等边三角形各边长相等， ∴∠A=∠B=∠C， ∵三角形内角和为180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形各边长相等的性质，各内角为60°的性质，本题中求得∠A=∠B=∠C是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点在第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限．横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴在第四象限， 故答案为：四． 13. 等腰三角形的一边长是6，另一边长是10，则该等腰三角形的周长是_____． 【答案】22或26##26或22 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为10，此时该等腰三角形的周长是； 综上所述，该等腰三角形的周长是22或26． 故答案为：22或26 14. 已知一次函数的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图像在一、二、三象限；当的图像在一、三、四象限；当的图像在一、二、四象限；当的图像在二、三、四象限． 故此得到不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过一、三、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，D为内一点，平分，则_____（用a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 延长交于点，先证明，则，，而，则，再由即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，和中，，点B，A，D在同一直线上，点G，F分别是的中点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 可得，则，，由直角三角形斜边中线可得，然后证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点B，A，D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点G，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（17，18题每题6分，19-22题每题8分，23题10分，24题12分，共66分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再写出不等式组的解集即可. 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中． 18. 已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求该一次函数的表达式； （2）求图象与x轴交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，与x轴交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解，得 （2）根据与x轴交点坐标的纵坐标为0，故令时，则，再解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵y是关于x的一次函数， ∴设该一次函数的表达式为， 依题意，把，分别代入， 得，解得， ∴， ∴该一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得该一次函数的表达式为， ∴令时，则， 解得， ∴图象与x轴交点坐标为． 19. 如图，AC与BD相交于点O，AB//CD， OA=OC． (1)求证： △AOB≌△COD． (2)若∠A+∠D=90°， AB=AC=2，求BD的长． 【答案】（1）证明：∵AB//CD， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， 又∵OA=OC， ∴△AOB≌△COD（AAS）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行的性质可得两组对应角相等，再结合OA=OC根据AAS即可证明全等； （2）先证明△DOC为直角三角形，根据勾股定理即可求得DO，从而求得BD． 【详解】（1）略 （2）∵∠A+∠D=90°，∠A=∠C， ∴∠C+∠D=90°， ∴∠DOC=90°，△DOC为直角三角形， ∵△AOB≌△COD，AB=AC=2， ∴BO=DO，DC=AB=2，OA=OC=1， ∴在Rt△DOC中根据勾股定理， ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，两锐角互余的三角形是直角三角形．（1）中掌握全等三角形的几种判定定理，能根据已知条件选取合适的定理是解题关键；（2）中能证明△DOC为直角三角形是解题关键． 20. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 （1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； （2）设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）三种方案，①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件 （2），方案生产A产品30件，生产B产品20件获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用， 正确理解题意是解题的关键． （1）设生产产品件，则生产产品件，根据题意列出不等式组求其整数解即可确定方案； （2）A产品生产件数为x件，根据总利润=生产A产品的利润＋生产B产品的利润，建立一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设生产产品件，则生产产品件， 由题意得， 解得 ∵为整数， ∴取30或31或32， ∴方案有三种：①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件； 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当取30时，最大，且为元， ∴此时选择方案①生产A产品30件，生产B产品20件． 21. 在由边长为1的小正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．已知格点（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）如图． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）利用无刻度的直尺画出中边上的高； （3）利用无刻度的直尺画出中边上的中线． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，高即为所求； （3） 解：如图，中线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，作三角形的中线、高，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）取与格线的交点，此时为格点，连接即可，由勾股定理可得，而为中点，故由等腰三角形三线合一可得； （3）取格点，连接，与相交，交点即为点，连接，则即为中线．由可得，那么即为中线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，平分，，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，进而计算即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线，直线与y轴分别交于点B，C． （1）求k，m的值； （2）如图2，已知点P，过点P作轴，交直线于点E，过点P作轴，交直线于点D（点P与点D不重合）． ①连接，求的最小值； ②连接，当是等腰直角三角形时，求n的值． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的存在性问题等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）①先确定点在直线上，在轴正半轴上截取，连接，证明，则，那么，当点三点共线时，取得最小值即为； ②可得，则，而，则，而，那么当是等腰直角三角形时，只能是，得到，解绝对值方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入得：， ∴， 将代入，则， 解得； 【小问2详解】 解：①对于，当 ∴， 由（1）可得直线的解析式为， 当， ∴， ∵， ∴点在直线上， ∵轴，记垂足为点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最小值即为； ②如图： 由题意得，， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴ ∴当是等腰直角三角形时，只能是， ∴， 解得：或 ∴当是等腰直角三角形时，或． 24. 【基础巩固】（1）如图1，在等腰和等腰中，，，，连结，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，延长交于点F，连接． 求证： ①平分 ②． 【拓展提高】（3）如图3，已知中，，，，点D是直线上一动点，以为边作等边（点E在的左侧），连结，直接写出的最小值是： ． 【答案】 （1）， ∴， ， 在和中， ， ∴； （2）①由（1）得， 得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ②由（1）得； ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）①根据，得出，再证明，则，即平分 ②根据，，由①得，得，则； （3）取的中点，连接，根据，，，得，，因为点是的中点，，结合等边三角形的性质，证明，故，分析得的最小值是，则在中，，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点，连接， ∵，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 过点作 ∵点D是直线上一动点， ∴的最小值是， 则在中，， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省宁波市余姚市姚江中学“中和杯” 八年级（上）竞赛数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 1，2，3 B. 1，3，5 C. 2，3，4 D. 2，6，10 3. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某超市开展促销活动，一次购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品．需买本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本元．钢笔每支元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔（ ） A. 支 B. 支 C. 支 D. 支 5. 如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（ ） A. B. C. D. 6. 小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程（米）和经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 从小聪家到超市的路程是1300米 B. 小聪从家到超市的平均速度为100米/分 C. 小聪在超市购物用时45分钟 D. 小聪从超市返回家中的平均速度为100米/分 7. 要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式组恰有5个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 等边三角形的每个内角为_________度． 12. 在平面直角坐标系中，点在第_____象限． 13. 等腰三角形的一边长是6，另一边长是10，则该等腰三角形的周长是_____． 14. 已知一次函数的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是___． 15. 如图，D为内一点，平分，则_____（用a，b的代数式表示）． 16. 如图，和中，，点B，A，D在同一直线上，点G，F分别是的中点，则_____． 三．解答题（17，18题每题6分，19-22题每题8分，23题10分，24题12分，共66分） 17. 解不等式组： 18. 已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求该一次函数的表达式； （2）求图象与x轴交点坐标． 19. 如图，AC与BD相交于点O，AB//CD， OA=OC． (1)求证： △AOB≌△COD． (2)若∠A+∠D=90°， AB=AC=2，求BD的长． 20. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 （1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； （2）设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 21. 在由边长为1的小正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．已知格点（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）如图． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）利用无刻度的直尺画出中边上的高； （3）利用无刻度的直尺画出中边上的中线． 22. 如图，在中，，平分，，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线，直线与y轴分别交于点B，C． （1）求k，m的值； （2）如图2，已知点P，过点P作轴，交直线于点E，过点P作轴，交直线于点D（点P与点D不重合）． ①连接，求的最小值； ②连接，当是等腰直角三角形时，求n的值． 24. 【基础巩固】（1）如图1，在等腰和等腰中，，，，连结，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，延长交于点F，连接． 求证： ①平分 ②． 【拓展提高】（3）如图3，已知中，，，，点D是直线上一动点，以为边作等边（点E在的左侧），连结，直接写出的最小值是： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $