湖南省长沙市南雅中学2026届高三上学期8月开学考试数学试卷

2025年下学期8月月考 高三年级数学试卷 2025年8月 时量：120分钟 满分：150分 命题：高三数学备课组 审定：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 4，4，6，8，8 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A. B. C. D. 3. 已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（a为常数），则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为增函数 D. 为减函数 7. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 8. 已知圆和轴相切，且和相切于，则符合条件的所有圆的半径之积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 对于，将表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，若，则实数_________． 13. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于__________． 14. 将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为_________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，BC边上的高等于． （1）求的值； （2）若，求的周长． 16. 已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 17. 已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． （1）求的方程； （2）过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 18. 已知两个盒子里分别有个小球，另有足够多的小球备用．重复进行次如下操作：每次从中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球．每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立． （1）若，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率； （2）求重复进行次操作后，两个盒子里球的个数之和为的概率． 19. 已知函数有两个不同的零点，分别记为，且． （1）求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围． （3）又有两组正实数，且．证明：． 2025年下学期8月月考 高三年级数学试卷 2025年8月 时量：120分钟 满分：150分 命题：高三数学备课组 审定：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明: 因底面是菱形，，是中点，所以， 又，则．已知平面，平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，平面平面． （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明:由（2）知：，进一步取，则； 不妨假设 则 故 进一步： 另外： 又 ， 进一步：； 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $