四川省绵阳博美实验高级中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

2025-2026学年度博美实验高中高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，只需要交回你的答题卡。 第I卷（选择题） 一.单选题：本大题共8小题，共40分。 1.己知A=(2,3),B=[1,+o),则() A.AUB=A B.A∩B=A C.A=B D.(CRA)nB= 2.已知i为虚数单位，复数(2+)=3+2i,则下列结论正确的是() A2的共轭复数为号- B的虚部为-司 C.z在复平面内对应的点在第二象限 D.1以=号 3.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),且x子-x3=15,则实数a=()· A号 B.-⑤ 2 c-减 21 D或9 41 4.方程1gx+x=0在下列哪个区间内有实数解() A.[-10,-0.1] B.[0.1,1] C.[1,10] D.(-0,0] 5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,∠ABC=90°，∠BAC=60°，PA=AB=2,以点B为原 点，分别以BC,BA,AP的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法 向量分别为m和元，则下面选项中正确的是() B A.点P的坐标为(0,0,2) B.PC=(4,0,-2) C.可能为(0，-2,2) D.cos(m,n)>0 第1页，共10页 6.己知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F,F2,且两条曲线在 第一象限的交点为P,△PFF2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1引=8，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,则e1·e2的取值范围是() A.(日，+∞) B.(,+co) C.G.+c) D.存，+o) 7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数 学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项，依次 构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，，则此数列的前56项和为() 6. 0500G 4年。。。。 A.2060 B.2038 C.4084 D.4108 8.已知当x>0时，xex-2x≥a+2mx恒成立，则实数a的取值范围为() A.(-0,1] B.(-∞，2+2ln2]C.(-∞，2ln2] D.(-∞，2-2ln2] 二、多选题：本大题共3小题，共18分。 9.某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是() A.每人都只安排到一个社区的不同方法数为625 B.每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480 C.每人都只安排到一个社区，如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排 的不同方法数为150 D.每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安 排，则不同安排方案的种数是126 10.己知函数f()=sin引+cos引，则下列四个结论中正确的是() A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的最小正周期为π C.f(x)的值域为[1，V2] 第2页，共10页 D.设函数g(x)=sin(x+p)(ω>0,0≤p≤π)的奇偶性与函数f(x)相同，且函数g(x)在(0,3)上单调递 减，则ω的最小值为2 11.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1平 面ABCD),若M,O分别为线段A1C,DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是() 5& A.BM/平面A1DE B.异面直线BM与A1E所成角的正切值为 C.三棱锥A1一ADE外接球的体积为， 30 D.一定存在某个位置，使DE1MO 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知向量a=(4,3),2a+万=(3,18)，则a,b夹角的余弦值为 13.己知x=mm,y=log52,z=e元，则x,y,z的大小关系为 14.己知函数f(x)=x3+mx,若f(e)≥f(x-1)对x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.(本小题13分) 在①(sinB-sinC)2-sin2A一sinBsinC,,②tanA+tanc=2sn2这两个条件中任选一个，补充在下面问题 cosC 中，4ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c,设f(C)=V2 cosCsin(C-),若一，是否存在C使得f(C) 存在最大值？ 16.(本小题15分) 已知椭圆G1兰+三=1a>b>0)的离心率为号抛物线c,的焦点与椭圆C的右焦点F重合，G的中心与G。 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点，交C2于C,D两点. 第3页，共10页 ()求铝的值； (2)设M为G,与C的公共点，若0M=2,求G,与C的标准方程。 17.(本小题15分) 如图，AE1平面ABCD,CF/AE,AD/BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证：BF/平面ADE: (2)求直线CE与平面BDE所成角的大小； (3)若二面角E-BD-F的余弦值为 ,求线段CF的长. 18.(本小题17分) 设函数f(x)=ex+sinx+kx. (1)当k=0时，求f(x)在x=0处的切线方程： (2)若x[f(x)-f(-x)]≥0恒成立，求实数k的取值范围： (3)gk(x)=f(x)-e,是否存在t∈(0，习，使得曲线y=g1(x)在点(t,91()处的切线与y=91(x)有3个交 点？若存在，探究满足条件的t的个数；若不存在，说明理由(tan=141) 19.(本小题17分) 己知数列{an}满足a1=1,a=1+an-1(n>1,n∈N*),数列bn}是公比为正数的等比数列，b1=2,且 2b2,b3,8成等差数列. (1)求数列{an,bn的通项公式； (②若数列c3满足acn=0求数列(c的前n项和5： (③)店数列满足d。=6t求证：4+d++dn<是 第4页，共10页 2025-2026学年度博美实验高中高三上学期入学考试数学参考答案 说明：在评卷过程中，要秉承着公平的原则，只要考生过程合理，即使没算出正确答案，都应该适当 给过程分。 一、单选题。（共8题，40分） 1-4BBBB 5-8CBCD 二.多选题。（共18分) 9.CD 10.BC 11.AC 三.填空题。（共15分） 12.号 13.y<z<x 14.[-1,+∞) 四.解答题。（共77分） 15.（13分)解：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 若选择①：(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC, sin2B sin2C-2sinBsinC sin2A-sin Bsin C, sin2B sin2C-sin2A sinBsinC, 由正弦定理可得b2+c2-a2=bc, b2+c2-a21 ∴.C0SA= 2bc =2 A∈(0，m,A=3 由f(O)=V2 Csin(c-9=V2cosc(停snc-号cosc） =cs Csin-cos2c-7m2c-cos2c-号-竖sn(2c-3-月 己知A=号所以B+C= 所以0<C<号2c-4e(←，， ∴sn(2c-罩e(-7,1l π、 V2 当2c--2 即C=智时f〔C)取得最大值为？ 2 若选择②：tanA+tanC=2sm5 cosC 第5页，共10页 sinA sinC 2sinB cos+ cosC cosC .2sinBcosA sinAcosC sinCcosA,.'2sinB.cosA sin(A+C)=sinB 在三角形中，sinB≠0， .1 π C0sA=2,A=3 由f(C)=co Csin(c-争=V2cosc(侵sinc-号cosC) =oCsic-cos2C-in2c-cos2c-专-号sn(2c-9-言 己知A-导所以B+C=答 所以0<C<智2C-景∈(0， π、 V② sin(2c-军e(-7 当2C-年-2 即c=时f(C)取得最大值为？ 16.(15分)解：()因为椭圆C的离心率为号所以设椭圆C,的方程为装+益=1，Go), 令x=c解得y=±c,所以AB=3c, 又抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F(c,0)重合，所以设抛物线C2的方程为y2=4cx, 令x=c解得y=±2c,所以CD=4c, 故铝=景 ②油是+是=1清去y0:3+16-122=0.新得x=黄或-6c合， (x2 y2=4cx 所以M(后c,±c）: 因为0M=2 3， 所以 作+2。-29解得：=1. 即桃圆C1方程为+皆-1，抛物线G2方程为y2=4女。 17.（15分)解：因为AE1平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以AE1AB,因为AD1AB,AD∩AE=A, AD、AEC平面ADE,所以AB⊥平面ADE, 第6页，共10页 可以建立以A为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系（如图）， D B 可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2). 设CF=h(h>0),则F(1,2,h): (1)依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量， 又BF=(O,2,h),可得BF.AB=0,则BF1AB, 又因为直线BF不在平面ADE,所以BF/平面ADE (2)依题意，BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2). 设元=(x,y,z)为平面BDE的法向量， :丽=8本32。 (元.BE=0 不妨令z=1,可得元=(2,2,1) 因此有cos<C正，元>= 隔 所以，直线CE与平面BDE所成角的大小为arcsin身 (3)设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量，BF=(0,2,h), 则m·B题=0，即x+y=0 (m.BE=0 12y+hz=0 不妨令y=1,可得=(1,1，-为 由题意，有cos<元，元>=圆同 3 32+培 解得n=号 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为， 第7页，共10页 18.（17分)解：(1)当k=0时，f(x)=ex+sinx, 所以f'(x)=ex+cosx,f'(0)=2,f(0)=1, 所以f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0; (2)由题得f(-x)=e-x-sinx-kx, 结合x[f(x)-f(-x)]≥0，得x(ex-e-x+2sinx+2kx)≥0恒成立， h(x)=ex-e-x+2sinx+2kx, h(-x)=e-x-ex-2sinx-2kx=-h(x), 所以h(x)为奇函数， 当x≥0时ex-e-x+2sinx+2kx≥0恒成立即可， 显然h(0)=0,要使x≥0时，ex-e-x+2sinx+2kx≥0恒成立， 则h'(0)≥0， h'(x)=ex +e-x+2cosx +2k, 所以h'(0)=e0+e0+2cos0+2k≥0→k≥-2， 下证：当k≥-2时，对任意x≥0，ex-e-x+2sinx+2kx≥0， G(x)=ex+e-x+2cosx+2k, 则G(x)=ex-e-x-2sinx, 令H(x)=ex-e-x-2sinx, 则H'(x)=ex+e-x-2cosx≥2Vex·e-x-2cosx=2-2cosx≥0， 故(x)=ex-e-x-2sinx在[0，+o)上单调递增， 所以H(x)≥H(0)=e0-e0-2sin0=0, 故G(x)=ex+e-x+2cosx+2k在[0，+oo)上单调递增， 所以G(x)≥G(0)≥0， 故h(x)=ex-e-x+2sinx+2kx在[0，+oo)单调递增； 所以h(x)≥h(0)=0, 故k≥-2，符合题意， 所以k的取值范围为[-2，+∞)； (3)F(x)=g1(x)=sinx +x,F(x)=cosx+1,F(t)=cost+1,F(t)=sint+t, 切线方程：y-F(t)=F(t)(x-t), 即y-sint-t=(cost+1)(x-t),整理得y=(cost+1)x-tcost+sint, (x)=sinx +x-(cost+1)x tcost-sint, 第8页，共10页 '(x)=cosx+1-(cost+1)=cosx-cost, 因为t∈(0，，cost∈(0,1)， 当x∈(2kπ-t,2kr+t)时，p'(x)=cosx-cost>0,p(x)为单调递增函数， 当x∈(2kπ+t,2kπ+2π-t)时，p'(x)=cosx-cost<0,p(x)为单调递减函数， 函数p(x)所有的极大值为p(2kπ+t)=-2kπcost, 当k=0时，极大值等于0，即p(t)=0, 当k为正整数时，极大值全部小于0，即p(x)在(t,+∞)无零点， 当k为负整数时，极大值全部大于0， 函数p(x)所有的极小值为p(2kπ-t)=(2t-2kπ)cost-2sint, 当k=0时，极小值p(-t)=2 tcost-2sint=2cost(t-tant)<0, 且随着k的增大，极小值(2t-2kπ)cost-2sint越来越小， 因此y=F(x)在点(t,F(t)处的切线与y=F(x)有3个交点， 等价于(2t+2π)cost-2sint=0, 即tant一t=π有解， 令s()=tant-t,则s')=co-1=tan2t>0, 因此y=s()为(0，上的严格增函数， 因为s(0)=0<,s≈12.6>元， 于是存在唯一实数t∈(O,,满足tant-t=π， 所以存在唯一实数t∈(0，，使得曲线y=g1(x)在点（化，91(t)处的切线与y=g1(9)有3个交点. 19.（17分)(1)数列{an}满足a1=1,an=1+an-1m>1,n∈N*), 所以an-an-1=1(常数)，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， 故an=1+(n-1)=n, 数列bn}是公比为q的正数的等比数列，b1=2,且2b2,b3,8成等差数列. 所以2b3=2b2+8,解得q=2. 所以数列b}是首项为2，公比为2的正数的等比数列. 所以bn=2×2m-1=2n. 故：an=n,bn=2n, 第9页，共10页 bn 2次 (2)数列cn}满足amcn=2m+2由(1)得，n6n=2a+可 所以c=- -+分+片2 =+培12-景+4 …5=是-+2： 3)证明：数列d满足dn=n+=2+(- 所以d++叶d六++名十++十南 =(品十…+)t4+4+ <1+2++)+G+++), ,1971005 <1+3+5+12=60<60=3' 故d+d+…+dzn<号 第10页，共10页