第一单元长方体和正方体·基础篇【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）苏教版

多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花。伫倚危楼风细细》 第1页共10页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋J 第一单元长方体和正方体·基础篇【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.将下面展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？ 1对( ),2对( ),3对( )。 2.小明要用一些小棒和橡皮泥搭长方体框架。每个顶点用一团橡皮泥。 9cm 3cm 15cm (1)上面是小明已经拼好的一部分，他还需要( )团橡皮泥，( )根15cm长的小 棒，( )根9cm长的小棒和( )根3cm长的小棒。 (2)拼成的长方体框架前面是( )形，长是( )cm, 宽是( )cm。 (3)拼成的长方体框架( )面和( )面的长是15cm,宽是3cm。 3.一根铁丝长60cm,如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm, 宽4cm的长方体框架，高是( )cm。(接头处不计) 4.在长是10dm,宽是6dm,高是3dm的长方体木块中削一个最大的正方体，那么这个正方 体的棱长和是( )dm。 5.竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个 正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。 (纸板厚度忽略不计) 6.小美用一些小棒和胶水搭建长方体框架。下图是小美已经搭建好的部分，要搭建好这个长 方体框架，需要总长( )厘米的小棒，再为框架每个面粘贴上纸板，至少需要纸板 第2页共10页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 )平方厘米。 2cm 3cm 5cm 二、解答题。 7.妈妈给奶奶买了一件节日礼物，她用丝带把礼物按照图所示的方法捆扎，打结处需要30 厘米丝带，捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 25cm 25cm 30cm 8.有一个长50米、宽20米、深3米的泳池，现要在距池底1.5米处画一圈警戒线。 ①警戒线长多少米？ ②警戒线以下及池底要铺边长1分米的正方形瓷砖，需要多少块这样的瓷砖？ 9.一间教室长8米，宽5米，高4米，需要粉刷教室的顶面和四面墙壁，除去门窗面积11.4 平方米。如果每平方米用油漆0.25千克，一共要用油漆多少千克？ 10.AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、自动清洁等多 种功能，让养鱼这件事变得更加简单。王爷爷家的智能鱼缸长是60厘米，宽和高都是40厘米 的长方体。鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需 要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） 第3页共10页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】最短路径问题 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A,要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请 你为它找一条最短路线。 肥【对应练习】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A,要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一 想，最短路线一共有几条？ 2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不 能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米？ 第4页共10页 品学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B 角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬 行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住？ 3 吕【奥数培优2】棱长与综合应用题 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆 扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 25cm 40cm 30cm 即《对应练习】 1.小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25 厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘 米的彩带？ 第5页共10页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需 要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带） 3.如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15厘米），需要多长的彩带？ 12cm 14cm 吕【奥数培优3】趣味展开图 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下 面图()正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 1 A. 3 B. 234 ⑧ 图 12 D. 1234 34 渔 肥【对应练习】 1.观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是()点。 第6页共10页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ● ● ● ● ● ● ●● ●● A.1 B.4 C.6 D.5 2.如图的图形可以折成下面的()。 5 1234 6 A. 16 B 2 3.下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是()。 中小7 吕【奥数培优4】染色问题 把一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1 厘米的小正方体木块，如图1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色？ (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色（切面都是白色）？ 图1 图2 第7页共10页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.把一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1 厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色？ (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色？ 2如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同的小正方体， 其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体分别有多少个？ 3.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂 上白色，还有62个表面涂上蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米的 大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是多少平方厘米？ 第8页共10页 品学科网 www zxx k com 让教与学更高效 吕【奥数培优5】露在外面的面（堆砌的正方体） 如图1所示，这个立体图形由20个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成，求它的表面积。 从上下看 从左面看 从右面看 从前面看从后面看 图1 图2 图3 图4 即【对应练习】 1.如图所示是由13个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表面积。 2.如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少？ (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少？ 第9页共10页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.如图是由22个棱长为2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面积（含下底面 为多少平方厘米？ 第10页共10页 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体·基础篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．将下面展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？ 1对( )，2对( )，3对( )。 2．小明要用一些小棒和橡皮泥搭长方体框架。每个顶点用一团橡皮泥。 (1)上面是小明已经拼好的一部分，他还需要( )团橡皮泥，( )根15cm长的小棒，( )根9cm长的小棒和( )根3cm长的小棒。 (2)拼成的长方体框架前面是( )形，长是( )cm，宽是( )cm。 (3)拼成的长方体框架( )面和( )面的长是15cm，宽是3cm。 3．一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 4．在长是10dm，宽是6dm，高是3dm的长方体木块中削一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长和是( )dm。 5．竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。（纸板厚度忽略不计） 6．小美用一些小棒和胶水搭建长方体框架。下图是小美已经搭建好的部分，要搭建好这个长方体框架，需要总长( )厘米的小棒，再为框架每个面粘贴上纸板，至少需要纸板( )平方厘米。 二、解答题。 7．妈妈给奶奶买了一件节日礼物，她用丝带把礼物按照图所示的方法捆扎，打结处需要30厘米丝带，捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 8．有一个长50米、宽20米、深3米的泳池，现要在距池底1.5米处画一圈警戒线。 ①警戒线长多少米？ ②警戒线以下及池底要铺边长1分米的正方形瓷砖，需要多少块这样的瓷砖？ 9．一间教室长8米，宽5米，高4米，需要粉刷教室的顶面和四面墙壁，除去门窗面积11.4平方米。如果每平方米用油漆0.25千克，一共要用油漆多少千克？ 10．AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、自动清洁等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。王爷爷家的智能鱼缸长是60厘米，宽和高都是40厘米的长方体。鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） 【奥数培优1】最短路径问题 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A，要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请你为它找一条最短路线。 【对应练习】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一想，最短路线一共有几条？ 2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米? 3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住? 【奥数培优2】棱长与综合应用题 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【对应练习】 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带） 3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15厘米），需要多长的彩带？ 【奥数培优3】趣味展开图 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【对应练习】 1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 2．如图的图形可以折成下面的（    ）。 A． B． C． 3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（    ）。 A．B．C．D． 【奥数培优4】染色问题 把一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)? 【对应练习】 1.把一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色? 2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同的小正方体，其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体分别有多少个? 3.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是多少平方厘米? 【奥数培优5】露在外面的面（堆砌的正方体） 如图1所示，这个立体图形由20个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成，求它的表面积。 【对应练习】 1.如图所示是由13个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表面积。 2.如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少? (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少? 3.如图是由22个棱长为2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面积(含下底面)为多少平方厘米? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体·基础篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．将下面展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？ 1对( )，2对( )，3对( )。 【答案】 6 4 5 【分析】根据正方体展开图的11种情况，此图属于“1－3－2”结构，根据“同层隔一面”“异层隔两面”的规律解答即可。 【详解】根据分析可知，正方体展开图属于“1－3－2”结构，折叠成正方体后，1对6，2对4，3对5。 2．小明要用一些小棒和橡皮泥搭长方体框架。每个顶点用一团橡皮泥。 (1)上面是小明已经拼好的一部分，他还需要( )团橡皮泥，( )根15cm长的小棒，( )根9cm长的小棒和( )根3cm长的小棒。 (2)拼成的长方体框架前面是( )形，长是( )cm，宽是( )cm。 (3)拼成的长方体框架( )面和( )面的长是15cm，宽是3cm。 【答案】(1) 7 3 3 3 (2) 长方 15 9 (3) 上 下 【分析】（1）长方体有8个顶点，每个顶点对应一团橡皮泥，图中已有1个顶点（从图中呈现的部分看），所以还需要8－1＝7团橡皮泥。长方体有12条棱，分别为4条长、4条宽、4条高。长对应的小棒长度是15cm，图中已有的15cm长小棒1根，所以还需要4－1＝3根15cm长的小棒。高对应的小棒长度是9cm，图中已有的9cm长小棒1根，所以还需要4－1＝3根9cm长的小棒。宽对应的小棒长度是3cm，图中已有的3cm长小棒数量1根，所以还需要4－1＝3根3cm长的小棒。 （2）长方体的每个面都是长方形，所以拼成的长方体框架前面是长方形。长方体前面的长对应长方体的长，宽对应长方体的高，从图中可知长是15cm，高是9cm，所以前面长是15cm，宽是9cm。 （3）长方体相对的面完全相同，长是15cm，宽是3cm的面，对应的是长方体的上下面（或下上面），因为上、下面的长为长方体的长15cm，宽为长方体的宽3cm。 【详解】（1）（1）8－1＝7（团） 长：4－1＝3（根） 高：4－1＝3（根） 宽：4－1＝3（根） 他还需要7团橡皮泥，3根15cm长的小棒，3根9cm长的小棒和3根3厘米长的小棒。 （2）拼成的长方体框架前面是长方形，长方体前面的长对应长方体的长，宽对应长方体的高，所以前面长是15cm，宽是9cm。 拼成的长方体框架前面是长方形，长是15cm，宽是9cm。 （3）长是15cm，宽是3cm的面，对应的是长方体的上下面（或下上面）。 拼成的长方体框架上面和下面（或下上面）的长是15cm，宽是3cm。 3．一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【答案】 5 5 【分析】一根铁丝焊成一个正方体框架，则铁丝的长度等于正方体棱长总和；正方体棱长总和＝棱长×12，则棱长＝棱长总和÷12，据此求出焊成正方体的棱长。 一根铁丝焊成一个长方体，则铁丝的长度等于长方体棱长总和；长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；则高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出焊成长方体的高。 【详解】60÷12＝5（cm） 60÷4－6－4 ＝15－6－4 ＝9－4 ＝5（cm） 一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是5cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是5cm。 4．在长是10dm，宽是6dm，高是3dm的长方体木块中削一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长和是( )dm。 【答案】36 【分析】长方体木块的长、宽、高分别为10dm、6dm、3dm。由于正方体的12条棱长度都相等，若要在长方体中削出最大的正方体，其棱长必须与长方体的最小长度相等。3dm＜6dm＜10dm，因此最大正方体的棱长为3dm。正方体的棱长和公式为：棱长和＝棱长×12，把数据代入公式计算即可。 【详解】3dm＜6dm＜10dm 所以最大正方体的棱长为3dm。 3×12＝36（dm） 这个正方体的棱长和是36dm。 5．竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。（纸板厚度忽略不计） 【答案】216 【分析】由题可知，竹条的总长度等于正方体框架的棱长总和，根据公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，即正方体的棱长＝棱长总和÷12，代入数据计算，求出正方体的棱长；给这个框架做包装盒，求所需纸板面积就是求正方体的表面积，根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出至少需要多少平方厘米的纸板。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 即现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要216平方厘米的纸板。 6．小美用一些小棒和胶水搭建长方体框架。下图是小美已经搭建好的部分，要搭建好这个长方体框架，需要总长( )厘米的小棒，再为框架每个面粘贴上纸板，至少需要纸板( )平方厘米。 【答案】 40 62 【分析】长方体相交于同一顶点的三条棱，分别叫作长方体的长、宽、高；由图可知该长方体框架的长、宽、高分别是5厘米、3厘米、2厘米，根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”计算出该长方体的棱长总和，即所需小棒的长度。 根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出长方体的表面积，即所需纸板的面积。 【详解】（5＋3＋2）×4 ＝（8＋2）×4 ＝10×4 ＝40（厘米） 所以要搭建好这个长方体框架，需要总长40厘米的小棒； （5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝（25＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 所以要为框架每个面粘贴上纸板，至少需要纸板62平方厘米。 二、解答题。 7．妈妈给奶奶买了一件节日礼物，她用丝带把礼物按照图所示的方法捆扎，打结处需要30厘米丝带，捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】240厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】25×2＋30×2＋25×4＋30 ＝50＋60＋100＋30 ＝240（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要240厘米丝带。 8．有一个长50米、宽20米、深3米的泳池，现要在距池底1.5米处画一圈警戒线。 ①警戒线长多少米？ ②警戒线以下及池底要铺边长1分米的正方形瓷砖，需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】①140米；②121000块 【分析】①警戒线是在距池底1.5米处，其形状为长方形，长和宽与泳池的长和宽相同，根据长方形周长公式C＝2×（a＋b），a为长50米，b为宽20米，把数据代入公式计算即可。 ②根据长方形的面积公式S＝ab（a为长50米，b为宽20米），计算出池底的面积。计算泳池长对应的两个侧面面积，根据S＝ab×2（a为长50米，b为宽3－1.5＝1.5米）计算得出，然后计算泳池宽对应的两个侧面面积，根据S＝ab×2（a为20米，b为3－1.5＝1.5米）计算得出。最后把面积相加再除以瓷砖的面积（瓷砖为正方形，根据正方形面积公式S＝a×a，a为边长1分米，计算得出），即可得到需要的瓷砖数量。 【详解】①2×（50＋20） ＝2×70 ＝140（米） 答：警戒线长140米。 ②50×20＝1000（平方米） 3－1.5＝1.5（米） 50×1.5×2＝150（平方米） 20×1.5×2＝60（平方米） 1000＋150＋60＝1210（平方米） 1分米＝0.1米 0.1×0.1＝0.01（平方米） 1210÷0.01＝121000（块） 答：需要121000块这样的瓷砖。 9．一间教室长8米，宽5米，高4米，需要粉刷教室的顶面和四面墙壁，除去门窗面积11.4平方米。如果每平方米用油漆0.25千克，一共要用油漆多少千克？ 【答案】33.15千克 【分析】教室顶面是一个长为8米、宽为5米的长方形，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），顶面面积为8×5＝40平方米。前后两面墙壁，每面墙壁的长为8米、高为4米，面积为2×（8×4）＝64平方米。左右两面墙壁，每面墙壁的宽为5米、高为4米，面积为2×（5×4）＝40平方米。四面墙壁总面积为64＋40＝104平方米。需要粉刷的面积是顶面面积与四面墙壁面积之和减去门窗面积，然后再乘每平方米用的油漆即可解答。 【详解】8×5＝40（平方米） 2×（8×4）＝64（平方米） 2×（5×4）＝40（平方米） 64＋40＋40－11.4＝132.6（平方米） 132.6×0.25＝33.15（千克） 答：一共要用油漆33.15千克。 10．AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、自动清洁等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。王爷爷家的智能鱼缸长是60厘米，宽和高都是40厘米的长方体。鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） 【答案】0.8平方米 【分析】需要计算长方体鱼缸四周的面积之和，长方体鱼缸前面和后面是两个完全相等的长方形，长方形的长是60厘米，宽是40厘米；长方体鱼缸左面和右面是两个完全相等的正方形，边长都是40厘米。先求长方体鱼缸四个面的面积之和，再进行单位换算，据此解答。 【详解】前、后面面积：60×40×2＝2400×2＝4800（平方厘米）； 左、右面面积：40×40×2＝3200（平方厘米）； 四周的面积之和：4800＋3200＝8000（平方厘米）； 因为1平方米＝10000平方厘米，则8000平方厘米的小数点向左移动一位，变化为0.8平方米，即8000平方厘米＝0.8平方米，所以长方体鱼缸四周的面积之和为0.8平方米。 答：一共需要贴0.8平方米的防爆膜。 【奥数培优1】最短路径问题 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A，要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请你为它找一条最短路线。 解析： 如图所示，我们知道：两点之间，线段最短。因此，最短路线不能沿着棱走，而应该从面上穿过去.如下图，我们画出正方体的平面展开图，连结点A和点B,AB就是最短路径。 【对应练习】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一想，最短路线一共有几条？ 解析：6条 2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米? 解析：(6+5)×4+4=48(分米),所以，它最多爬48分米。 3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住? 解析： 将长方体盒子的前面和右面折放在同一平面，如图所示，由勾股定理可求得AB的距离，也就可求蜘蛛需要的最少时间了，所以，3×3+4×4=5×5，5÷4=1.25(分钟)。 【奥数培优2】棱长与综合应用题 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】290厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】40×2＋30×2＋25×4＋50 ＝80＋60＋100＋50 ＝290（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要290厘米丝带。 【对应练习】 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要122厘米的彩带。 2．如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带） 【答案】288厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于两条长＋两条宽＋四条高＋打结用的长度，由此列式解答。 【详解】50×2＋36×2＋24×4＋20 ＝100＋72＋96＋20 ＝172＋96＋20 ＝268＋20 ＝288（厘米） 答：包装这个礼盒至少需要288厘米的丝带。 3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15厘米），需要多长的彩带？ 【答案】91厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩丝的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】12×2＋14×2＋6×4＋15 ＝24＋28＋24＋15 ＝91（厘米） 答：捆扎这个礼品盒需要91厘米长的彩带。 【奥数培优3】趣味展开图 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律：在通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中，隔两面寻找，剩下的两面自然相对。选项A1对4，2对3，鱼对猫；选项B1对3，2对4，桃对猴；选项C1对胡萝卜，2对4，3对兔子；选项D1对3，2对4，羊对草。据此选择即可。 【详解】 根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律可知，正方体中的动物不能吃到自己喜欢食物的是。 故答案为：C 【对应练习】 1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意可知，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须隔一个正方形，展开的图形符合正方体展开图的“1－4－1”结构，则上下两个单独的正方形相对；据此折叠成正方体，1点相对5点，2点相对6点，3点相对4点；由于前面看是3点，则后面是4点，右边是2点，则左面是6点，那么上面1点，下面就应该是5点，据此解答。 【详解】根据分析可知，下面盖住的是5点。 故答案为：D 2．如图的图形可以折成下面的（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】此平面展开图属于正方体展开图的“1－4－1”型，找出每个数字相对的面，利用排除法，找出折成的正方体。 【详解】折成正方体后，5号面与6号相对，排除A； 2号面与4号面相对，排除C； 2号、3号、5号面两两相邻，当5号面为正面时，2号面在右面，3号面在上面，B符合题意。 故答案为：B 3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（    ）。 A．B．C．D． 【答案】A 【分析】通过观察可知，立体图形折叠后，每个直角三角形的斜边可接成一个等边三角形，且每个直角三角形的直角边没有重合，据此将每个选项折叠再判断即可。 【详解】 A．不能折叠成要求的立体图形； B．能够折叠成要求的立体图形； C．能折叠成要求的立体图形； D．能折叠成要求的立体图形。 故答案为：A 【点睛】本题考查了立体图形的展开图，锻炼了学生的空间想象能力。 【奥数培优4】染色问题 把一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)? 解析： （1）8；36；52；（2）24 【对应练习】 1.把一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色? 解析： 三个面是红色的小正方体共有8个，两个面是红色的小正方体有12+4+8=24(个)，一个面是红色的小正方体有(3+6+2)×2=22(个)，切开后，没有染上红色的小正方体有(5-2)×(3-2)×(4-2)=6(个)或5×3×4-(8+24+22)=6(个)。 2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同的小正方体，其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体分别有多少个? 解析：10；35；52 3.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是多少平方厘米? 解析： 由1×1×1的小正方体构成的5×5×5的大正方体，其角有8块，棱有3×12=36(块)，面有3×3×6=54(块)，现在一共有62块蓝色的，所以选择8块放在角上，36块放在棱上，还有18块放在面上，综上，大正方体木块的表面上蓝色的面积最多是8×3+36×2+18×1=114(平方厘米)。 【奥数培优5】露在外面的面（堆砌的正方体） 如图1所示，这个立体图形由20个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成，求它的表面积。 解析： (9+8+7)×2×(1×1)=48(平方厘米) 答：它的表面积是48平方厘米。 【对应练习】 1.如图所示是由13个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表面积。 解析： (7+7+7)×2×(1×1)=42(平方厘米) 所以，它的表面积是42平方厘米。 2.如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少? (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少? 解析： (1)(7+7+6)×2×(1×1)=40(平方厘米) 所以，这个物体的表面积是40平方厘米。 (2)(1×1)×9×6=54(平方厘米) 所以，至少是54平方厘米。 3.如图是由22个棱长为2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面积(含下底面)为多少平方厘米? 解析： (9+8+9)×2×(2×2)=208(平方厘米) 所以，此物体的表面积(含下底面)为208平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花。伫倚危楼风细细》 第1页共17页 学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋J 第一单元长方体和正方体·基础篇【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.将下面展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？ 1对( ),2对( ),3对( 【答案】 6 4 5 【分析】根据正方体展开图的11种情况，此图属于1一3一2结构，根据同层隔一面x异层 隔两面”的规律解答即可。 【详解】根据分析可知，正方体展开图属于“1一3一2结构，折叠成正方体后，1对6,2对4， 3对5。 2.小明要用一些小棒和橡皮泥搭长方体框架。每个顶点用一团橡皮泥。 9cm 3cm 15cm ()上面是小明已经拼好的一部分，他还需要( )团橡皮泥，( )根15cm长的小 棒，( )根9cm长的小棒和( )根3cm长的小棒。 (2)拼成的长方体框架前面是( )形，长是( )cm,宽是( )cm。 (3)拼成的长方体框架( )面和( )面的长是15cm,宽是3cm。 【答案】(1) 3 3 (2) 长方 15 9 (3) 上 下 【分析】(1)长方体有8个顶点，每个顶点对应一团橡皮泥，图中已有1个顶点（从图中呈 第2页共17页 品学科网 www zxx k com 让教与学更高效 现的部分看)，所以还需要8一1=7团橡皮泥。长方体有12条棱，分别为4条长、4条宽、4 条高。长对应的小棒长度是15cm,图中已有的15cm长小棒1根，所以还需要4一1=3根15cm 长的小棒。高对应的小棒长度是9c,图中已有的9cm长小棒1根，所以还需要4一1=3根 9cm长的小棒。宽对应的小棒长度是3cm,图中已有的3cm长小棒数量1根，所以还需要4 一1=3根3cm长的小棒。 (2)长方体的每个面都是长方形，所以拼成的长方体框架前面是长方形。长方体前面的长对 应长方体的长，宽对应长方体的高，从图中可知长是15cm,高是9cm,所以前面长是15cm, 宽是9cm。 (3)长方体相对的面完全相同，长是15cm,宽是3cm的面，对应的是长方体的上下面（或 下上面)，因为上、下面的长为长方体的长15cm,宽为长方体的宽3cm。 【详解】(1)(1)8-1=7（团） 长：4一1=3（根） 高：4一1=3（根） 宽：4-1=3（根） 他还需要7团橡皮泥，3根15cm长的小棒，3根9cm长的小棒和3根3厘米长的小棒。 (2)拼成的长方体框架前面是长方形，长方体前面的长对应长方体的长，宽对应长方体的高， 所以前面长是15cm,宽是9cm。 拼成的长方体框架前面是长方形，长是15cm,宽是9cm。 (3)长是15cm,宽是3cm的面，对应的是长方体的上下面（或下上面）。 拼成的长方体框架上面和下面（或下上面）的长是15cm,宽是3cm。 3.一根铁丝长60c,如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm, 宽4cm的长方体框架，高是( )cm。(接头处不计) 【答案】 5 5 【分析】一根铁丝焊成一个正方体框架，则铁丝的长度等于正方体棱长总和：正方体棱长总和 =棱长×12，则棱长=棱长总和÷12，据此求出焊成正方体的棱长。 根铁丝焊成一个长方体，则铁丝的长度等于长方体棱长总和：长方体棱长总和=（长十宽十 高)×4；则高=棱长总和÷4一长一宽，据此求出焊成长方体的高。 【详解】60-12=5(cm) 60÷4一6-4 第3页共17页 画学科网 www zxx k com 让教与学更高效 =15-6-4 =9-4 =5(cm) 根铁丝长60cm,如果焊成一个正方体框架，棱长是5cn。如果焊成一个长6cn,宽4cm的 长方体框架，高是5cm。 4.在长是l0dm,宽是6dm,高是3dm的长方体木块中削一个最大的正方体，那么这个正方 体的棱长和是( )dm。 【答案】36 【分析】长方体木块的长、宽、高分别为10dm、6dm、3dm。由于正方体的12条棱长度都相 等，若要在长方体中削出最大的正方体，其棱长必须与长方体的最小长度相等。3dm<6dm< 10dm,因此最大正方体的棱长为3dm。正方体的棱长和公式为：棱长和=棱长×12，把数据代 入公式计算即可。 【详解】3dm<6dm<10dm 所以最大正方体的棱长为3dm。 3×12=36(dm) 这个正方体的棱长和是36dm。 5.竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个 正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。 (纸板厚度忽略不计) 【答案】216 【分析】由题可知，竹条的总长度等于正方体框架的棱长总和，根据公式：正方体的棱长总和 =棱长×12，即正方体的棱长=棱长总和12，代入数据计算，求出正方体的棱长；给这个框 架做包装盒，求所需纸板面积就是求正方体的表面积，根据公式：正方体的表面积=棱长×棱 长×6，代入数据计算，求出至少需要多少平方厘米的纸板。 【详解】72÷12=6（厘米） 6×6×6=216(平方厘米) 即现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要216平方厘米的纸板。 6.小美用一些小棒和胶水搭建长方体框架。下图是小美已经搭建好的部分，要搭建好这个长 方体框架，需要总长( )厘米的小棒，再为框架每个面粘贴上纸板，至少需要纸板 第4页共17页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 )平方厘米。 2cm 3cm 5cm 【答案】 40 62 【分析】长方体相交于同一顶点的三条棱，分别叫作长方体的长、宽、高：由图可知该长方体 框架的长、宽、高分别是5厘米、3厘米、2厘米，根据“长方体的棱长总和=（长十宽十高） ×4”计算出该长方体的棱长总和，即所需小棒的长度。 根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2计算出长方体的表面积，即所需纸板的 面积。 【详解】(5+3+2)×4 =(8+2)×4 =10×4 =40(厘米) 所以要搭建好这个长方体框架，需要总长40厘米的小棒： (5×3+5×2+3×2)×2 =(15+10+6)×2 =(25+6)×2 =31×2 =62(平方厘米) 所以要为框架每个面粘贴上纸板，至少需要纸板62平方厘米。 二、解答题。 7.妈妈给奶奶买了一件节日礼物，她用丝带把礼物按照图所示的方法捆扎，打结处需要30 厘米丝带，捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ cm 25cm 30cm 【答案】240厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度=2条长+2条宽+4条高+打结 第5页共17页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 用的长度，据此解答。 【详解】25×2+30×2+25×4+30 =50+60+100+30 =240(厘米) 答：捆扎这个礼物一共需要240厘米丝带。 8.有一个长50米、宽20米、深3米的泳池，现要在距池底1.5米处画一圈警戒线。 ①警戒线长多少米？ ②警戒线以下及池底要铺边长1分米的正方形瓷砖，需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】①140米；②121000块 【分析】①警戒线是在距池底1.5米处，其形状为长方形，长和宽与泳池的长和宽相同，根据 长方形周长公式C=2×(a+b),a为长50米，b为宽20米，把数据代入公式计算即可。 ②根据长方形的面积公式S=ab(a为长50米，b为宽20米)，计算出池底的面积。计算泳 池长对应的两个侧面面积，根据S=ab×2(a为长50米，b为宽3-1.5=1.5米)计算得出， 然后计算泳池宽对应的两个侧面面积，根据S=ab×2(a为20米，b为3-1.5=1.5米)计算 得出。最后把面积相加再除以瓷砖的面积（瓷砖为正方形，根据正方形面积公式S=a×a,a 为边长1分米，计算得出)，即可得到需要的瓷砖数量。 【详解】①2×(50+20) =2×70 =140(米) 答：警戒线长140米。 ②50×20=1000（平方米） 3-1.5=1.5(米) 50×1.5×2=150(平方米) 20×1.5×2=60(平方米) 1000+150+60=1210(平方米) 1分米=0.1米 0.1×0.1=0.01(平方米) 1210÷0.01=121000(块) 答：需要121000块这样的瓷砖。 第6页共17页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 9.一间教室长8米，宽5米，高4米，需要粉刷教室的顶面和四面墙壁，除去门窗面积11.4 平方米。如果每平方米用油漆025千克，一共要用油漆多少千克？ 【答案】33.15千克 【分析】教室顶面是一个长为8米、宽为5米的长方形，根据长方形面积公式S=a×b(a为长， b为宽)，顶面面积为8×5=40平方米。前后两面墙壁，每面墙壁的长为8米、高为4米，面 积为2×(8×4)=64平方米。左右两面墙壁，每面墙壁的宽为5米、高为4米，面积为2×(5×4) =40平方米。四面墙壁总面积为64+40=104平方米。需要粉刷的面积是顶面面积与四面墙 壁面积之和减去门窗面积，然后再乘每平方米用的油漆即可解答。 【详解】8×5=40（平方米） 2×(8×4)=64(平方米) 2×(5×4)=40(平方米) 64+40+40-11.4=132.6(平方米) 132.6×0.25=33.15(千克) 答：一共要用油漆33.15千克。 10.AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、自动清洁等多 种功能，让养鱼这件事变得更加简单。王爷爷家的智能鱼缸长是60厘米，宽和高都是40厘米 的长方体。鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需 要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） 【答案】0.8平方米 【分析】需要计算长方体鱼缸四周的面积之和，长方体鱼缸前面和后面是两个完全相等的长方 形，长方形的长是60厘米，宽是40厘米：长方体鱼缸左面和右面是两个完全相等的正方形， 边长都是40厘米。先求长方体鱼缸四个面的面积之和，再进行单位换算，据此解答。 【详解】前、后面面积：60×40×2=2400×2=4800（平方厘米）： 左、右面面积：40×40×2=3200（平方厘米）： 四周的面积之和：4800+3200=8000（平方厘米）； 因为1平方米=10000平方厘米，则8000平方厘米的小数点向左移动一位，变化为0.8平方米， 即8000平方厘米=0.8平方米，所以长方体鱼缸四周的面积之和为0.8平方米。 答：一共需要贴08平方米的防爆膜。 第7页共17页 命学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】最短路径问题 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A,要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请 你为它找一条最短路线。 解析： 如图所示，我们知道：两点之间，线段最短。因此，最短路线不能沿着棱走，而应该从面上 穿过去.如下图，我们画出正方体的平面展开图，连结点A和点B,AB就是最短路径。 肥【对应练习】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A,要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一 想，最短路线一共有几条？ 解析：6条 2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不 第8页共17页 品学科网 www zxx k com 让教与学更高效 能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米？ 解析：(6+5)×4+4=48（分米），所以，它最多爬48分米。 3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B 角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬 行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住？ 3 解析： 将长方体盒子的前面和右面折放在同一平面，如图所示，由勾股定理可求得AB的距离，也就 可求蜘蛛需要的最少时间了，所以，3×3+4×4=5×5,5÷4=1.25（分钟）。 吕【奥数培优2】棱长与综合应用题 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆 扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 25cm 40cm 30cm 【答案】290厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度=2条长+2条宽+4条高+打结 用的长度，据此解答。 第9页共17页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【详解】40×2+30×2+25×4+50 =80+60+100+50 =290(厘米) 答：捆扎这个礼物一共需要290厘米丝带。 即【对应练习】 1.小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25 厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘 米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆这个包装盒至少需要彩带的长度=2条长十2条宽十4条高十接 头处的长度，据此解答。 【详解】25×2+15×2+6×4+18 =50+30+24+18 =122(厘米) 答：一共需要122厘米的彩带。 2.如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需 要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带） 【答案】288厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于两条长十两条宽+四条高+打结用的长度， 由此列式解答。 【详解】50×2+36×2+24×4+20 =100+72+96+20 =172+96+20 第10页共17页