第一单元长方体和正方体·提高篇【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）苏教版

多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花。伫倚危楼风细细》 第1页共22页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第一单元长方体和正方体提高篇【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.5个棱长都是2cm的小正方体堆放在墙角处（如图)，有( )个面露在外面，露在 外面的面积是( )cm2。 【答案】 12 48 【分析】观察图形可知，从正面看到5个面，从上面看到3个面，从侧面看到4个面，则露在 外面的面一共有(5+3+4)个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为2c的正方形，根 据正方形的面积=边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在 外面的面积。 【详解】5+3+4=12（个） 2×2×12 =4×12 =48(cm2) 有（12)个面露在外面，露在外面的面积是(48)cm2。 2.用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，至少需要( )小正方体。摆成这个大正方 体棱长是( )cm,体积是( )cm3。 【答案】 8 2 8 【分析】棱长1cm的小正方体，体积是1cm,用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，大正 方体棱长最小是2cm, 根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积，即小正方 体的个数。 第2页共22页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【详解】2×2×2=8(cm) 用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，至少需要8小正方体。摆成这个大正方体棱长是2c, 体积是8cm3。 3.一根长14c的长方体的截面是正方形，若把这根木料截成三个小长方体，其表面积增加 了100cm2,那么原来这根木料的表面积是( )cm2。 【答案】330 【分析】把长方体木料截成三个小长方体，需要截2次，每截1次增加2个截面，所以共增加 2×2=4个截面。已知表面积增加了100c2,则1个截面（正方形）的面积为：100÷4=25cm2。 正方形面积公式为：面积=边长×边长，因为25=5×5，所以截面正方形的边长为5cm。根据长 方体表面积公式：S=2×(ab+ah+bh)(这里a=b=5cm,h=14cm)。把数据代入计算即 可。 【详解】2×2=4（个） 100÷4=25(cm2) 25=5×5,所以截面正方形的边长为5cm。 2×(5×5+5×14+5×14) =2×(25+70+70) =2×165 =330(cm2) 原来这根木料的表面积是330cm2。 4.一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、3厘米。若把它切成两个完全一样的小长 方体，表面积最多增加( )平方厘米。 【答案】48 【分析】如图所示，把一个大长方体切成两个完全一样的小长方体有3种不同的切法，两个小 长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了2个切面的面积，根据“长方形的面积 长×宽”求出增加部分的面积，最后比较大小，即可求得。 【详解】切法1： 第3页共22页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3厘米 4厘米 6厘米 6×4×2 =24×2 =48(平方厘米) 切法2： 3厘米 4厘米 6厘米 6×3×2 =18×2 =36(平方厘米) 切法3： 3厘米 4厘米 6厘米 4×3×2 =12×2 =24(平方厘米) 因为48平方厘米>36平方厘米>24平方厘米，所以表面积最多增加48平方厘米。 5.如图，将一个长方体的高增加4厘米，使它变成棱长是10厘米的正方体。表面积增加了 )平方厘米，体积增加了( )立方厘米。 第4页共22页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【答案】 160 400 【分析】由图可知，正方体的表面积比原来长方体的表面积增加了增加部分长方体4个侧面的 面积，原来长方体的底面是正方形，其它4个侧面是完全相同的长方形，则增加部分长方体的 4个侧面也是完全相同的长方形，长方形的长是10厘米，宽是4厘米，利用长方形的面积= 长×宽求出增加部分的面积，最后根据“长方体的体积=长×宽×高求出增加部分的体积，据此 解答。 【详解】10×4×4 =40×4 =160(平方厘米) 10×10×4 =100×4 =400(立方厘米) 所以，表面积增加了160平方厘米，体积增加了400立方厘米。 6.在一个长9m,宽6m,高2m的长方体水池中注满水，然后把一条长4m,宽3m,高3m 的长方体石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )m3。 【答案】24 【分析】石柱浸入水中的体积是溢出的水的体积，石柱浸入水中的高度是水池的高度，溢出的 水的体积=石柱的长×石柱的宽×水池的高，据此列式计算。 【详解】4×3×2=24(m3) 水池溢出的水的体积是24m3。 二、解答题。 7.水族商店要做一个长方体形状的无盖金鱼缸，金鱼缸的长8分米，宽4分米，高5分米， 至少需要多少平方分米玻璃？合多少平方米？ 【答案】152平方分米1.52平方米 【分析】求制作无盖长方体金鱼缸所需玻璃的面积，就是求这个长方体底面、前后面、左右面 的面积之和。前面和后面这两个面是完全相同的长方形，左面和右面这两个面同样是完全相同 的长方形，根据公式：长方形的面积=长×宽，代入数据计算，求出底面、前后面、左右面的 面积，再相加，即可求出至少需要多少平方分米玻璃，最后根据1平方米=100平方分米，进 行单位换算即可。 第5页共22页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【详解】8×4+8×5×2+4×5×2 =32+80+40 =152(平方分米) 152平方分米=1.52平方米 答：至少需要152平方分米玻璃，合1.52平方米。 8.一块长24厘米、宽14厘米的长方形铁皮，先在四个角上分别剪去边长为4厘米的正方形 (如图)，再将它焊成一个无盖的盒子。如果忽略铁皮的厚度，那么这个盒子的容积是多少立 方厘米？ 4cm 4cm 24cm 【答案】384立方厘米 【分析】原来的长是24厘米，因为左右两个角各剪去了一个4厘米的正方形，相当于从原来 的长两端各去掉4厘米，所以盒子的长为(24一4一4)厘米；原来的宽是14厘米，因为上下 两个角各剪去了一个4厘米的正方形，相当于从原来的宽两端各去掉4厘米，所以盒子的宽为 (14一4一4)厘米；剪去的正方形边长就是盒子的高度，即4厘米。根据公式：长方体的容积 =长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个盒子的容积。 【详解】长：24-4-4=16（厘米） 宽：14一4-4=6（厘米） 16×6×4=384(立方厘米) 答：这个盒子的容积是384立方厘米。 9.一个长方体玻璃容器，它的底面积是6平方分米，里面装有7.8升的水。将一块石头完全 浸没在水中（水未溢出），此时水深为17厘米，这块石头的体积是多少？ 【答案】2.4立方分米 【分析】先把7.8升转化为7.8立方分米，17厘米转化为1.7分米，容器中原来水的高度=水 的体积÷容器的底面积，放入石头后的水面高度为1.7分米，这块石头的体积等于放入石头后 上升部分水的体积，这块石头的体积=放入石头后上升的水面高度×容器的底面积，据此解答。 【详解】7.8升=7.8立方分米，17厘米=1.7分米。 第6页共22页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 7.8÷6=1.3(分米) (1.7-1.3)×6 =0.4×6 =2.4（立方分米) 答：这块石头的体积是2.4立方分米。 10.小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方 体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再 将这块石头放入水中（完全浸没)，水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】110立方厘米 【分析】根据题意可知，水面升高部分体积等于石头的体积，根据长方体体积=长×宽×高， 代入数据，即可解答。 【详解】22×10×(15.5-15) =220×0.5 =110(立方厘米) 答：这块石头的体积是110立方厘米。 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】切拼问题拓展其一 小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小 的大长方体，这个大长方体的表面积是多少？ 解析： 第7页共22页 命学科网 www zxx k com 让教与学更高效 > 图1 图2 图3 图1：(7×3×6+7×3×4+6×4×2-468（平方厘米） 图2：(6×3×7+6×3×4+7×4)×2=452（平方厘米） 图3：(4×3×7+4×3×6+7×6)×2=396（平方厘米） 所以，图3所示拼法的表面积最小，为396平方厘米。 即【对应练习】 1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小 的大长方体，这个大长方体的表面积是多少？ 解析： (3×3×6+3×3×4+6×4)×2=228(平方厘米) 所以，这个大长方体的表面积是228平方厘米。 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度 是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸（重叠的部分大约需要彩纸 80平方厘米)2 解析： 15×4=60(毫米)=6（厘米） (11×7+11×6+7×6)×2+80=450(平方厘米) 所以，包装这四盒磁带至少需要450平方厘米的彩纸。 3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么 这个最小的表面积是多少平方厘米？ 解析： 第8页共22页 画学科网 www zxx k com 让教与学更高效 168=2×3×7,因此，若将168分解成三个最接近的因数的乘积，则这三个因数分别为4、6、7， 这样再计算长方体的表面积：(4×6+4×7+6×7)×2=188（平方厘米）所以，表面积最小是188平方 厘米。 吕【奥数培优2】切拼问题拓展其二 一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面 积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米？ 解析： 80÷4÷4=5(分米) 5×5×5=125(立方分米) 答：原来正方体的体积是125立方分米。 肥【对应练习】 1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加 48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少？ 解析： 48÷3÷4=4(厘米) 4一3=1（厘米） (4×4+4×1+4×1)×2=48(平方厘米) 4×4×1=16(立方厘米) 所以，原来长方体的表面积是48平方厘米，体积是16立方厘米。 2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米， 求原来正方体的体积。 解析： 96÷4÷4=6(厘米) 6×6×6-216(立方厘米) 所以，原来正方体的体积是216立方厘米。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底 面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后， 新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体？ 第9页共22页 画学科网 www zxxk com 让教与学更高效 解析： 拿去一个正方体，少了4个正方形的面，144÷4=36（平方厘米），36-6×6，因此，小正方体的 棱长是6厘米，(26646×6×2)4÷36-=18（个） 所以，原来有18个小正方体。 吕【奥数培优3】体积的变化问题 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加 90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 解析： 由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40-2=20（平方厘米）：由宽增加3厘米， 体积增加90立方厘米，可知长×高90：3=30（平方厘米）：由高增加4厘米，体积增加96立方 厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米），不难求出长方体的表面积。 (20+30+24)×2=148(平方厘米) 答：原长方体的表面积是148平方厘米。 肥【对应练习】 1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米：如果宽增加5厘米，则体积增 加65立方厘米：如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 解析 (48÷2+65÷5+96÷4)×2=122(平方厘米) 所以，原长方体的表面积是122平方厘米。 2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平 方厘米，求图中阴影部分的面积。 第10页共22页 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体·提高篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．5个棱长都是2cm的小正方体堆放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 2．用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，至少需要( )小正方体。摆成这个大正方体棱长是( )cm，体积是( )cm3。 3．一根长14cm的长方体的截面是正方形，若把这根木料截成三个小长方体，其表面积增加了100cm2，那么原来这根木料的表面积是( )cm2。 4．一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、3厘米。若把它切成两个完全一样的小长方体，表面积最多增加( )平方厘米。 5．如图，将一个长方体的高增加4厘米，使它变成棱长是10厘米的正方体。表面积增加了( )平方厘米，体积增加了( )立方厘米。 6．在一个长9m，宽6m，高2m的长方体水池中注满水，然后把一条长4m，宽3m，高3m的长方体石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )m3。 二、解答题。 7．水族商店要做一个长方体形状的无盖金鱼缸，金鱼缸的长8分米，宽4分米，高5分米，至少需要多少平方分米玻璃？合多少平方米？ 8．一块长24厘米、宽14厘米的长方形铁皮，先在四个角上分别剪去边长为4厘米的正方形（如图），再将它焊成一个无盖的盒子。如果忽略铁皮的厚度，那么这个盒子的容积是多少立方厘米？ 9．一个长方体玻璃容器，它的底面积是6平方分米，里面装有7.8升的水。将一块石头完全浸没在水中（水未溢出），此时水深为17厘米，这块石头的体积是多少？ 10．小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【奥数培优1】切拼问题拓展其一 小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 【对应练习】 1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重叠的部分大约需要彩纸80平方厘米)? 3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米? 【奥数培优2】切拼问题拓展其二 一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米? 【对应练习】 1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少? 2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米，求原来正方体的体积。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体? 【奥数培优3】体积的变化问题 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 【对应练习】 1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分的面积。 3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米? 【奥数培优4】长方体与生活实际应用 把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块? 【对应练习】 1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高43厘米，这个木箱的容积是多少立方米? 2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖? 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体?(注：每锯一次会损耗长2毫米的木料) 【奥数培优5】等积变形问题拓展 有 A、 B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高为10分米，里面水深8分米；B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分米，现在从 A储水器中抽一部分水到 B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储水器中的水面将升高多少分米? 【对应练习】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上? 2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池中水面高多少? 3.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升? 【奥数培优6】折叠问题拓展 一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。 【对应练习】 1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大? 【奥数培优7】不规则立体图形的表面积和体积 如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 【对应练习】 1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少? 2.在一个棱长为3分米的正方体模型的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少? 3.如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米? 【奥数培优8】排水法求体积拓展 有一个长方体容器，从里面量长6分米、宽5分米、高5分米，给里面注入2分米深的水，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一面与容器底面紧贴，水面上升多少分米? 【对应练习】 1.一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 2.如图所示，在长、宽、高分别为10 cm、10 cm、6 cm的长方体容器中盛有深4 cm的水，若向容器中放入一个棱长为5 cm的正方体铁块，那么，水深变为多少? 3.在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米? 【奥数培优9】表面积最值问题其一 棱长分别是3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米) 【对应练习】 1.棱长分别是4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少? 2.将一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体木块分割成四个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米? 3.如图，将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少? 【奥数培优10】表面积最值问题其二 一种长方体物品长17厘米、宽7厘米、高3厘米，现要把12件这样的物品拼成一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少? 【对应练习】 1.晓明用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米? 2.将12件长9分米、宽7分米、高5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是多少? 3.一个集装箱，它的内尺寸是18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是1×4×9，这只集装箱能装多少只货箱? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花。伫倚危楼风细细》 第1页共14页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第一单元长方体和正方体提高篇【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.5个棱长都是2cm的小正方体堆放在墙角处（如图)，有( )个面露在外面，露在 外面的面积是( )cm2。 2.用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，至少需要( )小正方体。摆成这个大正方 体棱长是( )cm,体积是( )cm3。 3.一根长14c的长方体的截面是正方形，若把这根木料截成三个小长方体，其表面积增加 了100cm2,那么原来这根木料的表面积是( )cm2。 4.一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、3厘米。若把它切成两个完全一样的小长 方体，表面积最多增加( )平方厘米。 5.如图，将一个长方体的高增加4厘米，使它变成棱长是10厘米的正方体。表面积增加了 )平方厘米，体积增加了( )立方厘米。 6.在一个长9m,宽6m,高2m的长方体水池中注满水，然后把一条长4m,宽3m,高3m 的长方体石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )m3。 第2页共14页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 二、解答题。 7.水族商店要做一个长方体形状的无盖金鱼缸，金鱼缸的长8分米，宽4分米，高5分米， 至少需要多少平方分米玻璃？合多少平方米？ 8.一块长24厘米、宽14厘米的长方形铁皮，先在四个角上分别剪去边长为4厘米的正方形 (如图)，再将它焊成一个无盖的盒子。如果忽略铁皮的厚度，那么这个盒子的容积是多少立 方厘米？ 14cm 4cm 24cm 9.一个长方体玻璃容器，它的底面积是6平方分米，里面装有7.8升的水。将一块石头完全 浸没在水中（水未溢出），此时水深为17厘米，这块石头的体积是多少？ 10.小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方 体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再 将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 第3页共14页 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】切拼问题拓展其一 小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小 的大长方体，这个大长方体的表面积是多少？ 即【对应练习】 1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小 的大长方体，这个大长方体的表面积是多少？ 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度 是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸（重叠的部分大约需要彩纸 80平方厘米)？ 第4页共14页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么 这个最小的表面积是多少平方厘米？ 吕【奥数培优2】切拼问题拓展其二 一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面 积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米？ 肥【对应练习】 1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加 48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少？ 2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米， 求原来正方体的体积。 3如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底 面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后， 新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体？ 第5页共14页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 吕【奥数培优3】体积的变化问题 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米：如果宽增加3厘米，则体积增加 90立方厘米：如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 即【对应练习】 1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米：如果宽增加5厘米，则体积增 加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平 方厘米，求图中阴影部分的面积。 32 20 3有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的两个小长方体的表 面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米， 切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面 中面积最小的是多少平方厘米？ 第6页共14页 品学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 吕【奥数培优4】长方体与生活实际应用 把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖 的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块？ 即【对应练习】 1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高 43厘米，这个木箱的容积是多少立方米？ 2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖？ 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体， 正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体？（注：每锯一次会损 耗长2毫米的木料) 第7页共14页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 吕【奥数培优5】等积变形问题拓展 有A、B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高为10分米， 里面水深8分米：B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分 米，现在从A储水器中抽一部分水到B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储 水器中的水面将升高多少分米？ 肥《对应练习】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么， 要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上？ 60米 30米 甲 100米 2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高 都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池 中水面高多少？ 第8页共14页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD 面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放， 现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升？ cm 12 cm 24 cm 18 cm 15 cm 15 cm A 12 cm 24 cm 0 ③ 二【奥数培优6】折叠问题拓展 一块长方形铁皮（厚度不计）的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮 盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。 即【对应练习】 1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形， 然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁 皮的面积。 2.有一块长方形铁皮（厚度不计），长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米 的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768 立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 第9页共14页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小 正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无 盖盒的容积最大？ 16 12 吕【奥数培优7】不规则立体图形的表面积和体积 如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个 边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米？ 肥【对应练习】 1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方 形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少？ 第10页共14页 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体·提高篇【从课本到奥数】 一、填空题。 1．5个棱长都是2cm的小正方体堆放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】 12 48 【分析】观察图形可知，从正面看到5个面，从上面看到3个面，从侧面看到4个面，则露在外面的面一共有（5＋3＋4）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为2cm的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【详解】5＋3＋4＝12（个） 2×2×12 ＝4×12 ＝48（cm2） 有（12）个面露在外面，露在外面的面积是（48）cm2。 2．用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，至少需要( )小正方体。摆成这个大正方体棱长是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 8 2 8 【分析】棱长1cm的小正方体，体积是1cm3，用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，大正方体棱长最小是2cm，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积，即小正方体的个数。 【详解】2×2×2＝8（cm3） 用棱长1cm的小正方体摆成大的正方体，至少需要8小正方体。摆成这个大正方体棱长是2cm，体积是8cm3。 3．一根长14cm的长方体的截面是正方形，若把这根木料截成三个小长方体，其表面积增加了100cm2，那么原来这根木料的表面积是( )cm2。 【答案】330 【分析】把长方体木料截成三个小长方体，需要截2次，每截1次增加2个截面，所以共增加2×2＝4个截面。已知表面积增加了100cm2，则1个截面（正方形）的面积为：100÷4＝25cm2。正方形面积公式为：面积=边长×边长，因为25＝5×5，所以截面正方形的边长为5cm。根据长方体表面积公式：S＝2×（ab＋ah＋bh）（这里a＝b＝5cm，h＝14cm）。把数据代入计算即可。 【详解】2×2＝4（个） 100÷4＝25（cm2） 25＝5×5，所以截面正方形的边长为5cm。 2×（5×5＋5×14＋5×14） ＝2×（25＋70＋70） ＝2×165 ＝330（cm2） 原来这根木料的表面积是330cm2。 4．一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、3厘米。若把它切成两个完全一样的小长方体，表面积最多增加( )平方厘米。 【答案】48 【分析】如图所示，把一个大长方体切成两个完全一样的小长方体有3种不同的切法，两个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了2个切面的面积，根据“长方形的面积＝长×宽”求出增加部分的面积，最后比较大小，即可求得。 【详解】切法1： 6×4×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 切法2： 6×3×2 ＝18×2 ＝36（平方厘米） 切法3： 4×3×2 ＝12×2 ＝24（平方厘米） 因为48平方厘米＞36平方厘米＞24平方厘米，所以表面积最多增加48平方厘米。 5．如图，将一个长方体的高增加4厘米，使它变成棱长是10厘米的正方体。表面积增加了( )平方厘米，体积增加了( )立方厘米。 【答案】 160 400 【分析】由图可知，正方体的表面积比原来长方体的表面积增加了增加部分长方体4个侧面的面积，原来长方体的底面是正方形，其它4个侧面是完全相同的长方形，则增加部分长方体的4个侧面也是完全相同的长方形，长方形的长是10厘米，宽是4厘米，利用“长方形的面积＝长×宽”求出增加部分的面积，最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出增加部分的体积，据此解答。 【详解】10×4×4 ＝40×4 ＝160（平方厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 所以，表面积增加了160平方厘米，体积增加了400立方厘米。 6．在一个长9m，宽6m，高2m的长方体水池中注满水，然后把一条长4m，宽3m，高3m的长方体石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )m3。 【答案】24 【分析】石柱浸入水中的体积是溢出的水的体积，石柱浸入水中的高度是水池的高度，溢出的水的体积＝石柱的长×石柱的宽×水池的高，据此列式计算。 【详解】4×3×2＝24（m3） 水池溢出的水的体积是24m3。 二、解答题。 7．水族商店要做一个长方体形状的无盖金鱼缸，金鱼缸的长8分米，宽4分米，高5分米，至少需要多少平方分米玻璃？合多少平方米？ 【答案】152平方分米；1.52平方米 【分析】求制作无盖长方体金鱼缸所需玻璃的面积，就是求这个长方体底面、前后面、左右面的面积之和。前面和后面这两个面是完全相同的长方形，左面和右面这两个面同样是完全相同的长方形，根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出底面、前后面、左右面的面积，再相加，即可求出至少需要多少平方分米玻璃，最后根据1平方米＝100平方分米，进行单位换算即可。 【详解】8×4＋8×5×2＋4×5×2 ＝32＋80＋40 ＝152（平方分米） 152平方分米＝1.52平方米 答：至少需要152平方分米玻璃，合1.52平方米。 8．一块长24厘米、宽14厘米的长方形铁皮，先在四个角上分别剪去边长为4厘米的正方形（如图），再将它焊成一个无盖的盒子。如果忽略铁皮的厚度，那么这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】384立方厘米 【分析】原来的长是24厘米，因为左右两个角各剪去了一个4厘米的正方形，相当于从原来的长两端各去掉4厘米，所以盒子的长为（24－4－4）厘米；原来的宽是14厘米，因为上下两个角各剪去了一个4厘米的正方形，相当于从原来的宽两端各去掉4厘米，所以盒子的宽为（14－4－4）厘米；剪去的正方形边长就是盒子的高度，即4厘米。根据公式：长方体的容积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个盒子的容积。 【详解】长：24－4－4＝16（厘米） 宽：14－4－4＝6（厘米） 16×6×4＝384（立方厘米） 答：这个盒子的容积是384立方厘米。 9．一个长方体玻璃容器，它的底面积是6平方分米，里面装有7.8升的水。将一块石头完全浸没在水中（水未溢出），此时水深为17厘米，这块石头的体积是多少？ 【答案】2.4立方分米 【分析】先把7.8升转化为7.8立方分米，17厘米转化为1.7分米，容器中原来水的高度＝水的体积÷容器的底面积，放入石头后的水面高度为1.7分米，这块石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，这块石头的体积＝放入石头后上升的水面高度×容器的底面积，据此解答。 【详解】7.8升＝7.8立方分米，17厘米＝1.7分米。 7.8÷6＝1.3（分米） （1.7－1.3）×6 ＝0.4×6 ＝2.4（立方分米） 答：这块石头的体积是2.4立方分米。 10．小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】110立方厘米 【分析】根据题意可知，水面升高部分体积等于石头的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】22×10×（15.5－15） ＝220×0.5 ＝110（立方厘米） 答：这块石头的体积是110立方厘米。 【奥数培优1】切拼问题拓展其一 小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 解析： 图1：(7×3×6+7×3×4+6×4)×2=468(平方厘米) 图2：(6×3×7+6×3×4+7×4)×2=452(平方厘米) 图3：(4×3×7+4×3×6+7×6)×2=396(平方厘米) 所以，图3所示拼法的表面积最小，为396平方厘米。 【对应练习】 1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 解析： (3×3×6+3×3×4+6×4)×2=228(平方厘米) 所以，这个大长方体的表面积是228平方厘米。 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重叠的部分大约需要彩纸80平方厘米)? 解析： 15×4=60(毫米)=6(厘米) (11×7+11×6+7×6)×2+80=450(平方厘米) 所以，包装这四盒磁带至少需要450平方厘米的彩纸。 3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米? 解析： 168=2³×3×7，因此，若将168分解成三个最接近的因数的乘积，则这三个因数分别为4、6、7，这样再计算长方体的表面积：(4×6+4×7+6×7)×2=188(平方厘米)所以，表面积最小是188平方厘米。 【奥数培优2】切拼问题拓展其二 一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米? 解析： 80÷4÷4=5(分米) 5×5×5=125(立方分米) 答：原来正方体的体积是125立方分米。 【对应练习】 1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少? 解析： 48÷3÷4=4(厘米) 4—3=1(厘米) (4×4+4×1+4×1)×2=48(平方厘米) 4×4×1=16(立方厘米) 所以，原来长方体的表面积是48平方厘米，体积是16立方厘米。 2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米，求原来正方体的体积。 解析： 96÷4÷4=6(厘米) 6×6×6=216(立方厘米) 所以，原来正方体的体积是216立方厘米。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体? 解析： 拿去一个正方体，少了4个正方形的面，144÷4 =36(平方厘米)，36=6×6，因此，小正方体的棱长是6厘米，(2664—6×6×2)÷4÷36=18(个) 所以，原来有18个小正方体。 【奥数培优3】体积的变化问题 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 解析： 由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20(平方厘米)；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30(平方厘米)；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)，不难求出长方体的表面积。 (20+30+24)×2=148(平方厘米) 答：原长方体的表面积是148平方厘米。 【对应练习】 1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 解析： (48÷2+65÷5+96÷4)×2=122(平方厘米) 所以，原长方体的表面积是122平方厘米。 2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分的面积。 解析： 高：160÷32 =5(厘米) 长：160÷20=8(厘米) 阴影面积=8×5=40(平方厘米) 3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米? 解析： (632-472)÷2=80(平方厘米) (752—632)÷2=60(平方厘米) (472—80×2—60×2)÷4=48(平方厘米) 所以，原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 【奥数培优4】长方体与生活实际应用 把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块? 解析： (30—2)×(20—2)×(10—1)=28×18×9=4536(块) 答：没有洒上石灰水的砖共有4536块。 【对应练习】 1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高43厘米，这个木箱的容积是多少立方米? 解析： (56-3×2)×(36—3×2)×(43-3)=60000(立方厘米)=0.06(立方米) 所以，这个木箱的容积是0.06立方米。 2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖? 解析： (1-0.1)÷(0.1+0.05)+1=7(层) 2×4×7=56(块) 所以，砌好这个砖垛共需要56块砖。 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体?(注：每锯一次会损耗长2毫米的木料) 解析： 首先，2毫米=0.2厘米，正方体的表面积为216平方厘米，也就是正方体每个面的面积是216÷6=36(平方厘米)，因此正方体的棱长为6厘米。然后，计算截面是正方形的长方体木料的长为(2448-36×2)÷4÷6=99(厘米) 最后用到植树问题的相关知识，一共可以锯出(99+0.2)÷(6+0.2)=16(个)这样的正方体。 【奥数培优5】等积变形问题拓展 有 A、 B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高 为10分米，里面水深8分米；B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分米，现在从 A储水器中抽一部分水到 B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储水器中的水面将升高多少分米? 解析： 我们要知道，将水从一个容器抽到另一个容器中，那么两个容器中水的体积和是不变的，因此，不妨先算出水的体积和，现在是放在两个储水器的底面积上，也就是说，已经有了水的体积和底面积，求水面的高度，这样，就不难知道水面升高多少分米了。 30×20×8+20×10×2=5200(立方分米) 30×20+20×10=800(平方分米) 5200÷800=6.5(分米) 6.5—2=4.5(分米) 答：B储水器中的水面将升高4.5分米。 【对应练习】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上? 解析： 0.5-30×60×0.5÷(100×30)=0.2(米)=20(厘米) 所以，要从甲部分取下20厘米厚的土填在乙部分上。 2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池中水面高多少? 解析： 设水面高x分米，8×6×(3-x)=6×4×x，x=2 3.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升? 解析： 容器的总容积为12×15×(18+8)=4680(立方厘米)，若将它按图3那样横放，则水的体积应是4680÷(15÷7.5)=2340(立方厘米) 所以，倒掉的水应该是12×15×18—2340=900(立方厘米)。 【奥数培优6】折叠问题拓展 一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。 解析： 546升也就是546立方分米，我们先计算长方体铁盒的宽，才能知道长方形铁皮的宽，然后再计算长方形铁皮的面积。 546÷[(21.2-2.8×2)×2.8]=546÷43.68=12.5(分米) 21.2×(12.5+2.8×2)=383.72(平方分米) 答：长方形铁皮的面积为383.72平方分米。 【对应练习】 1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 解析： 432÷3÷(22—3×2)=9(厘米) 22×(9+3×2)=330(平方厘米) 所以，原来长方形铁皮的面积是330平方厘米。 2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 解析： 768÷4÷(32-4×2)=8(厘米) 32×(8+4×2)=512(平方厘米) 所以，原来长方形铁皮的面积是512平方厘米。 3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大? 解析： 设四个角上去掉的小正方形的边长为a厘米，则无盖盒的长为(16—2a)厘米，宽为(12-2a)厘米，高为a厘米 容积为V=(16—2a)(12 -2a)a =4a(8—a)(6—a) 当a=1时，V=140;当a=2时，V=192； 当a=3时，V=180;当a=4时，V=128； 当a=5时，V=60.所以，当a=2，即长、宽、高依次为12、8、2厘米时，容积最大。 【奥数培优7】不规则立体图形的表面积和体积 如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 解析： 12³-4²×12×3+4³×2 =4³×3³—4²×4×3×3+4³×2=4³×3³—4³×(9—2) =4³×(27—7)=1280(立方厘米) 答：穿孔后木块的体积是1280立方厘米。 【对应练习】 1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少? 解析： 4×4×4-(2×2×4×3-2×2×2×2)=64—32=32(立方分米) 所以，这个零件的体积是32立方分米。 2.在一个棱长为3分米的正方体模型的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少? 解析： 如图所示，剩下部分的表面积可分为两种情况： 一种是在棱中间的正方体A，有12个，表面积为1×1×1×4×12=48(平方分米)； 另一种是在顶点处的正方体B，有8个，表面积为1×1×3×8=24(平方分米) 48+24=72(平方分米)。 所以，这个模型剩下部分的表面积是72平方分米。 3.如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米? 解析： 挖在角上，表面积无增减；挖在棱上，每次增加两个正方形的面积；挖在面上，每次增加四个正方形的面积.5×5×6+1×1×2×12+1×1×4×6=198(平方厘米)，所以，余下部分的表面积是198平方厘米。 【奥数培优8】排水法求体积拓展 有一个长方体容器，从里面量长6分米、宽5分米、高5分米，给里面注入2分米深的水，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一面与容器底面紧贴，水面上升多少分米? 解析： 解决这类问题，关键是要先判断铁块是否完全浸没在水中，假设铁块完全浸没在水中，这时，水面的高度是 (6×5×2+3×3×3)÷(6×5)=87÷30=2.9(分米)。 而铁块的棱长只有3分米，3>2.9，因此，铁块没有完全浸没在水中，这也就是说，容器中的水被放入的铁块排开在周围，由于“正方体铁块的一面与容器底面紧贴”，此时水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差，可以先求出此时水面的高度，再看上升了多少分米。 (6×5×2)÷(6×5—3×3)=60÷21≈2.86(分米) 2.86—2=0.86(分米) 答：水面大约上升0.86分米。 【对应练习】 1.一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 解析： 0.5米=50厘米，容器里水深(60×60—15×15)×50÷(60×60)=46.875(厘米) 2.如图所示，在长、宽、高分别为10 cm、10 cm、6 cm的长方体容器中盛有深4 cm的水，若向容器中放入一个棱长为5 cm的正方体铁块，那么，水深变为多少? 解析： 先判断铁块是否完全浸没在水中，(10×10×4+5×5×5)÷(10×10)=5.25(cm) 5.25>5，说明此时水面的高度大于铁块的高度，完全浸没的 所以，水深变为5.25 cm。 3.在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米? 解析： 假设铁块完全浸没。 (24×9×4+6×6×6)÷(24×9)=1080÷216=5(分米) 5<6，说明没有完全浸没。 (24×9×4)÷(24×9—6×6)=864÷180=4.8(分米) 4.8—4=0.8(分米) 所以，水位上升0.8分米。 【奥数培优9】表面积最值问题其一 棱长分别是3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米) 解析： 我们知道，当几个正方体粘在一起的面最多时，表面积最小。 现在有3个正方体，当它们两两粘合时，粘在一起的面最多，如图所示，因此，三个正方体的表面积之和为(8×8+5×5+3×3)×6=588(平方厘米)，粘合后，5×5的面减少2个，3×3的面减少4个，表面积最小为588—5×5×2—3×3×4=502(平方厘米)。 【对应练习】 1.棱长分别是4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少? 解析： 三个正方体的表面积和为(4×4+7×7+10×10)×6=990(平方厘米)，减去4个4×4的面，990-4×4×4=926(平方厘米) 所以，表面积最大的那个立体的表面积是926平方厘米。 2.将一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体木块分割成四个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米? 解析： 30×20×(3×2)=3600(平方厘米) 所以，表面积最多增加3600平方厘米。 3.如图，将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少? 解析： 25块棱长为1的正方体积木堆放成一个几何体，当小积木互相重合的面最多时表面积最小，设想27块棱长为1的正方体积木，其表面积为54(如图1)，现在要去掉2块小积木成为25块，其总表面积不会增加，要使得总表面积最小，发现在一个角处去掉相邻的两块小积木时(如图2)，或在两个角上各去掉一块 小积木时(如图3)，总表面积不变，与边长为3的立方体的表面积相等，为3×3×6=54 所以，堆放25块小积木的最小表面积是54。 【奥数培优10】表面积最值问题其二 一种长方体物品长17厘米、宽7厘米、高3厘米，现要把12件这样的物品拼成一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少? 解析： 要想使拼成的大长方体表面积最小，就要把小长方体中较大的面相互重叠，把这12个长方体拼成一个大长方体的拼法有很多种，如图所示拼装成的长方体，表面积最小，此时，长为17厘米，宽为7×2=14(厘米),高为3×6=18(厘米)，最小表面积是(17×14+17×18+14×18)×2=796×2=1592(平方厘米)。 注：例题的实质就是将12分成三个数的乘积，看如何组合使大长方体包装物的长、宽、高最接近，此时表面积最小；当12=1×2×6时，长、宽、高为17、14、18；当12=1×3×4时，长、宽、高为17、21、12；当12=1×1×12时，长、宽、高为17、7、36；当12=2×2×3时，长、宽、高为34、14、 所以，当长、宽、高为17、14、18时最接近。 【对应练习】 1.晓明用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米? 解析： 我们知道，当长、宽、高越接近时，长方体的表面积越小，现在长、宽、高分别为7厘米、5厘米、3厘米，又因为10=1×2×5，因此，拼成的长方体的长、宽、高分别为7×1=7(厘米)、5×2=10(厘米)、3×5=15(厘米)时表面积最小，如图所示，即(7×10+7×15+10×15)×2=325×2=650(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积最小是650平方厘米。 2.将12件长9分米、宽7分米、高5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是多少? 解析： 如图所示，(7×2×9×2+5×3×9×2+7×2×5×3)×2=1464(平方分米) 所以，这个大长方体的表面积最小是1464平方分米。 3.一个集装箱，它的内尺寸是18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是1×4×9，这只集装箱能装多少只货箱? 解析： 因为集装箱的内尺寸18不是货箱外尺寸4的倍数，所以，只能在18×16×18的空间放货箱，可以放18×16×18÷(1×4×9)=144(只)，如图1所示：这时还有18×2×18的空间，但只能在18×2×16的空间放货箱，可以放18×2×16÷(9×1×4)=16(只)，如图2所示：最后，剩下18×2×2的空间无法再放货箱， 所以，能装18×16×18÷(1×4×9)+18×2×16÷(9×1×4)=160(只)货箱。 第 1 页 共 6 页 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