四川省泸县第五中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025年秋期高2024级开学考试 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D B D B B BC AD 题号 11 答案 ABC 12． 13． 14． 15．解：（1）已知，根据二倍角余弦公式， 且，可得： 设，则，即，解得. 因为，所以，则. （2）将代入二倍角正切公式可得：. 再根据两角和的正切公式. 因为，所以，又，所以. 在这个区间内，正切值为的角是，而，所以. 16．解：（1）由题意可得，又因为过点，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为过点，所以， 所以，所以， 所以，又函数的最小正周期，所以， 所以，解得，又，所以，所以； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以 17．解：（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，，所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 18．解：（1）如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. （2）∵，平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴， 又平面，平面，∴平面. （3）在上取一点，使得，连接、，， ，， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴， 又，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角的平面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 19．解：（1）因为是“型函数”， 所以存在实数对使得等式成立，即， 代入，可得，即，.所以满条件的实数对为. （2）由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得，，所以，． （3）因为对任意时，都存在，使得， 所以在上的值域是在上的值域的子集， 因为，当时，， 则对任意，都有， 因为是“型函数”，且对应的实数对为，所以．当时，，则只需满足对任意，都有且， 即对任意，都有即可， 即不等式对任意恒成立且． ①当时，时满足条件；②当时，，满足条件； ③当时，该不等式等价于．当时，恒成立，易知：；当时，恒成立，所以， 因为， 当且仅当时，即当时，取等号．即. 综上可得，． 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高2024级开学考试 数 学 第I卷 选择题 58分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知命题，则为 A． B． C． D． 3．在中，点在上，满足，则 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知，且是第二象限的角，则 A． B． C． D． 6．不等式 的解集是 A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是 A． B． C． D． 8．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为非零实数，复数，，则 A．的实部为 B．的最小值为 C． D．当时， 10．已知函数，则 A．函数的最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数图象与直线有3个交点 11．已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则 A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，，则 ． 13．已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 . 14．设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 17．（15分） 如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 18．（17分） 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． (1)若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 19．（17分） 若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” (1)若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $