第03讲 加减巧算（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第03讲 加减巧算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解巧算意义：深刻认识巧算在简化复杂计算、提高解题效率中的核心作用，激发对数学思维灵活性的兴趣。 2.掌握核心方法：熟练运用并综合运用“凑整法”“拆数凑整”“带符号搬家”和“基准数法”等高级技巧进行加减巧算。 3.学会观察分析：能够敏锐观察算式中数字的特征和关系，灵活运用拆分、组合、转化等策略，将非整十、整百、千数转化为便于计算的数。 4.解决复杂问题：能运用巧算技巧解决具有一定难度的奥数竞赛类计算问题，显著提升计算速度与正确率。 5.培养思维习惯：培养严谨审题、深度观察、灵活变通、举一反三的高级数学思维习惯和解决问题的能力。 知识梳理 知识点一、核心思想：凑整 巧算的核心就是“凑整”，即将算式中的数字通过相加或相减，转化为我们熟悉的整十、整百、整千的数，从而简化计算过程。 知识点二、常用巧算技巧 1.凑十法、凑百法、凑千法 (互补数凑整) （1）方法解读： 寻找算式中能直接相加或相减得到整十、整百、整千的数（互补数），先将它们进行计算。 （2）关键： 熟记互补数，如：1和9，2和8，3和7，4和6，5和5（凑十）；10和90，23和77（凑百）等。 （3）加法凑整： ①1 + 9 = 10 ②12 + 88 = 100 ③23 + 77 = 100 ④156 + 844 = 1000 ⑤计算：28 + 35 + 72 观察到 28 和 72 可以凑成 100。 原式 = (28 + 72) + 35 = 100 + 35 = 135 （4）减法凑整（利用“一个数减去几个数的和，等于分别减去这几个数”的性质，或凑整再调整）： ①100 - 25 - 75 = 100 - (25 + 75) = 100 - 100 = 0 ②计算：143 - 58 - 42 观察到 58 和 42 可以凑成 100。 原式 = 143 - (58 + 42) = 143 - 100 = 43 2.拆数凑整 (接近整十、整百、整千数的拆分) （1）方法解读： 当算式中没有直接的互补数时，可以将其中一个或几个数拆分成一个整十、整百、整千数与一个较小数的和或差，再进行计算。 （2）关键： 把接近整十、整百、整千的数看作整十、整百、整千数来算，然后多退少补。 （3）多加了要减去： 计算：78 + 97 97 接近 100，可以看作 100 - 3。 原式 = 78 + (100 - 3) = 78 + 100 - 3 = 178 - 3 = 175 （4）少加了要加上： 计算：78 + 103 103 接近 100，可以看作 100 + 3。 原式 = 78 + (100 + 3) = 78 + 100 + 3 = 178 + 3 = 181 （5）多减了要加上： 计算：165 - 99 99 接近 100，可以看作 100 - 1。 原式 = 165 - (100 - 1) = 165 - 100 + 1 = 65 + 1 = 66 （6）少减了要减去： 计算：165 - 102 102 接近 100，可以看作 100 + 2。 原式 = 165 - (100 + 2) = 165 - 100 - 2 = 65 - 2 = 63 3.带符号“搬家” (加法交换律和结合律的灵活运用) （1）方法解读： 在只有加减法的算式中，每个数前面的运算符号是这个数的“符号”。我们可以带着这个符号一起移动数字的位置，把能凑整的数放在一起先算。 （2）关键： “搬家”时，数前面的符号要一起带走。 （3）例题： ①计算：45 + 27 - 15 观察到 45 和 -15 可以凑整。 原式 = (45 - 15) + 27 = 30 + 27 = 57 ②计算：82 - 36 + 18 观察到 82 和 +18 可以凑整。 原式 = (82 + 18) - 36 = 100 - 36 = 64 ③计算：136 + 57 - 36 - 47 原式 = (136 - 36) + (57 - 47) = 100 + 10 = 110 4.基准数法 (当多个数都接近同一个基准数时使用) （1）方法解读： 当算式中的几个数都接近某一个整十、整百数（称为基准数）时，可以将每个数都看作基准数，然后把多算的加上，少算的减去。 （2）关键： 选择一个合适的基准数，通常是最接近这些数的整十或整百数。 （3）例题： 计算：29 + 31 + 32 + 27 + 30 这些数都接近 30，可以把 30 当作基准数。 原式 = 30×5 - 1 + 1 + 2 - 3 + 0 （29=30-1，31=30+1，32=30+2，27=30-3，30=30+0） = 150 + (-1+1) + (2-3) + 0 = 150 + 0 -1 + 0 = 149 例题讲解 一、凑整法（互补数凑整） 【例题1】计算：123+456+877+544 【答案】2000 【解析】(123+877)+(456+544) =1000+1000 =2000。 【分析】观察到123与877互补（和1000），456与544互补（和1000），分组凑整后相加，避免逐项计算的繁琐。 【例题2】计算：678+(322-199) 【答案】801 【解析】678+322-199 =1000-(200-1) =1000-200+1 =801。 【分析】先去括号，678+322=1000（凑整），199拆成200-1，“多减的1要加回”，体现“凑整+拆数”的综合运用。 【例题3】计算：1+2+3+4+5+95+96+97+98+99 【答案】500 【解析】(1+99)+(2+98)+(3+97)+(4+96)+(5+95) =100×5 =500。 【分析】观察到前5个数与后5个数分别互补（1+99=100，2+98=100等），共5组，快速凑整求和。 【例题4】计算：300-29-28-27-26-25-24-23-22-21 【答案】100 【解析】300-[(29+21)+(28+22)+(27+23)+(26+24)+25] =300-[50×4+25] =300-225 =75 【分析】减数共9个数，首尾两两凑整（29+21=50，28+22=50等），共4组50（200），加中间25得225，300-225=75，关键是“数清项数，分组凑整”。 二、拆数凑整（接近整十、百、千数的拆分） 【例题1】计算：999+99+9+3 【答案】1110 【解析】(1000-1)+(100-1)+(10-1)+3 =1000+100+10-1-1-1+3 =1110+0 =1110。 【分析】999=1000-1，99=100-1，9=10-1，共多减3，而算式中有+3，刚好抵消，凑整后直接得1110。 【例题2】计算：456+297+303 【答案】1056 【解析】456+(300-3)+(300+3) =456+300-3+300+3 =456+600+(3-3) =1056+0 =1056。 【分析】297=300-3，303=300+3，“-3”与“+3”抵消，先算300+300=600，再加456，体现“拆数后补数抵消”的巧算。 【例题3】计算：800-101-202-303 【答案】194 【解析】800-(100+1)-(200+2)-(300+3) =800-100-1-200-2-300-3 =800-(100+200+300)-(1+2+3) =800-600-6 =194。 【分析】减数101、202、303拆成“整百数+补数”，先算整百数的和（600），再算补数的和（6），最后800-600-6=194，关键是“拆分后分别求和”。 三、带符号“搬家”（加法交换律与结合律的灵活运用） 【例题1】计算：357+128-157+272 【答案】600 【解析】(357-157)+(128+272) =200+400 =600。 【分析】带符号搬家，357-157=200（同尾差凑整），128+272=400（互补凑整），分组后相加。 【例题2】计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12 【答案】18 【解析】(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+(10+11-12) =0+3+6+9 =18。 【分析】每3项为一组（1+2-3=0，4+5-6=3，7+8-9=6，10+11-12=9），组内计算后发现是公差3的数列，0+3+6+9=18，关键是“分组找规律”。 【例题3】计算：3456+6543-1234-4321+5678-8765 【答案】1357 【解析】(3456-1234)+(6543-4321)+(5678-8765) =2222+2222-3087 =4444-3087 =1357。 【分析】带符号搬家分组，3456-1234=2222，6543-4321=2222，5678-8765=-3087，再算2222+2222-3087=1357，关键是“复杂分组后的分步计算”。 四、基准数法（多个数接近同一基准数） 【例题1】计算：29+31+32+28+30 【答案】150 【解析】基准数30， 原式=30×5+(1+2-1-2+0) =150+0 =150。 【分析】5个数接近30，差额分别为-1、+1、+2、-2、0，总和0，30×5=150。 【例题2】计算：2020+2021+2022+2023+2024+2025+2026 【答案】14161 【解析】基准数2023， 原式=2023×7+(0+1+2+3-3-2-1) =14161+0 =14161。 【分析】7个数是连续自然数，中间数2023为基准数，差额对称（-3+3=0，-2+2=0，-1+1=0），总和0，2023×7=14161。 考点练习 一、凑整法（互补数凑整） 1. 计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 【答案】100 【解析】(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11) =20×5 =100。 【分析】这是一组连续奇数求和，首尾两两凑整和均为20，共5组，用乘法快速计算，体现等差数列求和的初步思想。 2. 计算：99+98+97+96+10 【答案】400 【解析】(99+1)+(98+2)+(97+3)+(96+4) =100×4 =400（将10拆分为1+2+3+4）。 【分析】前四个数接近100，分别缺1、2、3、4可凑整，而1+2+3+4=10，巧妙拆分10补数凑整，体现“拆数补整”的灵活运用。 3. 计算：500-1-2-3-…-9-10 【答案】445 【解析】500-(1+2+…+10) =500-[(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)] =500-(11×5) =500-55 =445。 【分析】连续减去1到10，先算减数的和：1到10首尾凑整和11，共5组，和为55，再用500减55，避免逐项相减的错误。 4. 计算：2023-199-298-397 【答案】1129 【解析】2023-(200-1)-(300-2)-(400-3) =2023-200+1-300+2-400+3 =2023-(200+300+400)+(1+2+3) =2023-900+6 =1129。 【分析】减数199、298、397接近整百数，拆成“整百数-补数”，去括号后“多减的补数要加回”，先算整百数的和，再处理补数。 5. 计算：1234+8765+8766+1235 【答案】20000 【解析】(1234+8766)+(8765+1235) =10000+10000 =20000。 【分析】1234与8766互补（和10000），8765与1235互补（和10000），分组凑整后相加，体现“找互补数”的关键。 6. 计算：1000-345-255+127+173 【答案】700 【解析】(1000-345-255)+(127+173) =[1000-(345+255)]+(300) =[1000-600]+300 =400+300 =700。 【分析】先分组：减法部分345+255=600（凑整），加法部分127+173=300（凑整），再算1000-600+300=700，体现“加减分组凑整”的策略。 二、拆数凑整（接近整十、百、千数的拆分） 1.计算： 1234-999-99-9 【答案】137 【解析】1234-(1000-1)-(100-1)-(10-1) =1234-1000+1-100+1-10+1 =1234-(1000+100+10)+(1+1+1) =1234-1110+3 =137。 【分析】三个减数接近整千、整百、整十，拆成“整-补数”，去括号后“多减的补数要加回”，先算整的和（1110），再算补数的和（3），1234-1110+3=137。 2.计算： 599+698+797+896 【答案】2990 【解析】(600-1)+(700-2)+(800-3)+(900-4) =600+700+800+900-(1+2+3+4) =3000-10 =2990。 【分析】四个数接近600、700、800、900，拆成“整百数-补数”，先算整百数的和（3000），再算补数的和（10），3000-10=2990，体现“多数拆整，统一补数”。 3.计算： 789+1995+2005 【答案】4789 【解析】789+(2000-5)+(2000+5) =789+2000-5+2000+5 =789+4000+( -5+5) =4789+0 =4789。 【分析】1995=2000-5，2005=2000+5，补数-5和+5抵消，直接算789+2000+2000=4789，关键是“观察补数是否抵消”。 4.计算： 2024-123-234-345-456 【答案】866 【解析】2024-(123+456)-(234+345) =2024-579-579 =2024-579×2 =2024-1158 =866。 【分析】减数123+456=579，234+345=579（首尾凑整和579），分组后发现两组和相等，转化为2024-579×2，简化计算。 5.计算： 345+567+789-145-367-589 【答案】600 【解析】(345-145)+(567-367)+(789-589) =200+200+200 =600。 【分析】带符号搬家，345-145=200，567-367=200，789-589=200，每组差200，共3组，体现“同尾差凑整”。 6.计算： 9999+999+99+9+4 【答案】11110 【解析】(10000-1)+(1000-1)+(100-1)+(10-1)+4 =10000+1000+100+10-(1+1+1+1)+4 =11110-4+4 =11110。 【分析】前四个数拆成“整-1”，共多减4，而算式中加4，刚好抵消，直接得11110，体现“补数与加数抵消”的巧算。 7.计算：10000-2023-2022-2021-2020 【答案】1914 【解析】10000-(2023+2022+2021+2020) =10000-[(2023+2020)+(2022+2021)] =10000-(4043+4043) =10000-8086 =1914。 【分析】减数四个数接近2020，首尾凑整和4043，共2组，和为8086，10000-8086=1914，关键是“分组凑整求减数和”。 三、带符号“搬家”（加法交换律与结合律的灵活运用） 1.计算：789-345+111-255 【答案】300 【解析】(789+111)-(345+255) =900-600 =300。 【分析】带符号搬家，加法部分789+111=900，减法部分345+255=600，先算和再相减，体现“分组加减凑整”。 2.计算：123+45-67+89-45+67 【答案】212 【解析】123+(45-45)+( -67+67)+89 =123+0+0+89 =212。 【分析】观察到45-45=0，-67+67=0，带符号搬家后抵消，只剩123+89=212，关键是“找抵消项”。 3.计算：500-123+234-134+223-111 【答案】399 【解析】500+(223-123)+(234-134)-111 =500+100+100-111 =700-111 =589 【分析】带符号搬家，223-123=100，234-134=100，先算这两组，再500+100+100-111=589，关键是“分组后分步计算”。 4.计算：2023+1234-1023+766-500 【答案】2500 【解析】(2023-1023)+(1234+766)-500 =1000+2000-500 =2500。 【分析】带符号搬家，2023-1023=1000（同尾差凑整），1234+766=2000（互补凑整），再减500，体现“多组凑整”的综合运用。 5.计算：876-123-456+432+123-321 【答案】531 【解析】(876-456)+( 123-123)+(432-321) =420+0+111 =531。 【分析】带符号搬家，876-456=420，123-123=0，432-321=111，分组后相加，关键是“找同数抵消”。 6.计算：100-99+98-97+96-95+…+2-1 【答案】50 【解析】(100-99)+(98-97)+…+(2-1) =1×50 =50（共50组）。 【分析】从1到100共100个数，每2项为一组（差1），共50组，1×50=50，体现“分组求差”的规律。 7.计算：5000-111-222-333-444-555-666 【答案】2669 【解析】5000-(111+666)-(222+555)-(333+444) =5000-777-777-777 =5000-777×3 =5000-2331 =2669。 【分析】减数111+666=777，222+555=777，333+444=777（每组和777），共3组，转化为5000-777×3，简化计算。 四、基准数法（多个数接近同一基准数） 1.计算：98+101+102+99+100+103 【答案】603 【解析】基准数100， 原式=100×6+(1+2-2-1+0+3) =600+3 =603。 【分析】6个数接近100，差额总和(1-1)+(2-2)+3=0+0+3=3，100×6+3=603。 2.计算：71+73+69+70+68+72 【答案】423 【解析】基准数70， 原式=70×6+(1+3-1+0-2+2) =420+3 =423。 【分析】6个数接近70，差额总和(1-1)+(3-2)+2=0+1+2=3，70×6+3=423，关键是“差额分组抵消”。 3.计算：199+203+197+201+200+198+202 【答案】1400 【解析】基准数200， 原式=200×7+(3-3-1+1+0-2+2) =1400+0 =1400。 【分析】7个数接近200，差额1-1=0，3-3=0，2-2=0，总和0，200×7=1400，体现“差额对称抵消”。 4.计算：55+53+54+56+52+57+51 【答案】378 【解析】基准数54， 原式=54×7+(1-1+0+2-2+3-3) =378+0 =378。 【分析】7个数在51-57之间，基准数54，差额1-1=0，2-2=0，3-3=0，总和0，54×7=378，关键是“选中间数为基准数”。 5.计算：89+92+90+88+91+87+93+94 【答案】724 【解析】基准数90， 原式=90×8+(2-1+0-2+1-3+3+4) =720+4 =724。 【分析】8个数接近90，差额总和(1-1)+(2-2)+(3-3)+4=0+0+0+4=4，90×8+4=724。 6.计算：1001+1002+1003+…+1009 【答案】9045 【解析】基准数1005， 原式=1005×9+(0+1+2+3+4-4-3-2-1) =9045+0 =9045。 【分析】9个连续数，中间数1005为基准数，差额对称抵消，总和0，1005×9=9045（1005×9=9045）。 7.计算：501+503+505+507+509-499-497-495-493-491 【答案】50 【解析】基准数500， 加法部分=500×5+(1+3+5+7+9)=2500+25=2525； 减法部分=500×5-(1+3+5+7+9)=2500-25=2475； 原式=2525-2475=50。 【分析】加法5个数比500多1、3、5、7、9（和25），减法5个数比500少1、3、5、7、9（差-25），差的差为25-(-25)=50，体现“基准数法在加减混合中的应用”。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 加减巧算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解巧算意义：深刻认识巧算在简化复杂计算、提高解题效率中的核心作用，激发对数学思维灵活性的兴趣。 2.掌握核心方法：熟练运用并综合运用“凑整法”“拆数凑整”“带符号搬家”和“基准数法”等高级技巧进行加减巧算。 3.学会观察分析：能够敏锐观察算式中数字的特征和关系，灵活运用拆分、组合、转化等策略，将非整十、整百、千数转化为便于计算的数。 4.解决复杂问题：能运用巧算技巧解决具有一定难度的奥数竞赛类计算问题，显著提升计算速度与正确率。 5.培养思维习惯：培养严谨审题、深度观察、灵活变通、举一反三的高级数学思维习惯和解决问题的能力。 知识梳理 知识点一、核心思想：凑整 巧算的核心就是“凑整”，即将算式中的数字通过相加或相减，转化为我们熟悉的整十、整百、整千的数，从而简化计算过程。 知识点二、常用巧算技巧 1.凑十法、凑百法、凑千法 (互补数凑整) （1）方法解读： 寻找算式中能直接相加或相减得到整十、整百、整千的数（互补数），先将它们进行计算。 （2）关键： 熟记互补数，如：1和9，2和8，3和7，4和6，5和5（凑十）；10和90，23和77（凑百）等。 （3）加法凑整： ①1 + 9 = 10 ②12 + 88 = 100 ③23 + 77 = 100 ④156 + 844 = 1000 ⑤计算：28 + 35 + 72 观察到 28 和 72 可以凑成 100。 原式 = (28 + 72) + 35 = 100 + 35 = 135 （4）减法凑整（利用“一个数减去几个数的和，等于分别减去这几个数”的性质，或凑整再调整）： ①100 - 25 - 75 = 100 - (25 + 75) = 100 - 100 = 0 ②计算：143 - 58 - 42 观察到 58 和 42 可以凑成 100。 原式 = 143 - (58 + 42) = 143 - 100 = 43 2.拆数凑整 (接近整十、整百、整千数的拆分) （1）方法解读： 当算式中没有直接的互补数时，可以将其中一个或几个数拆分成一个整十、整百、整千数与一个较小数的和或差，再进行计算。 （2）关键： 把接近整十、整百、整千的数看作整十、整百、整千数来算，然后多退少补。 （3）多加了要减去： 计算：78 + 97 97 接近 100，可以看作 100 - 3。 原式 = 78 + (100 - 3) = 78 + 100 - 3 = 178 - 3 = 175 （4）少加了要加上： 计算：78 + 103 103 接近 100，可以看作 100 + 3。 原式 = 78 + (100 + 3) = 78 + 100 + 3 = 178 + 3 = 181 （5）多减了要加上： 计算：165 - 99 99 接近 100，可以看作 100 - 1。 原式 = 165 - (100 - 1) = 165 - 100 + 1 = 65 + 1 = 66 （6）少减了要减去： 计算：165 - 102 102 接近 100，可以看作 100 + 2。 原式 = 165 - (100 + 2) = 165 - 100 - 2 = 65 - 2 = 63 3.带符号“搬家” (加法交换律和结合律的灵活运用) （1）方法解读： 在只有加减法的算式中，每个数前面的运算符号是这个数的“符号”。我们可以带着这个符号一起移动数字的位置，把能凑整的数放在一起先算。 （2）关键： “搬家”时，数前面的符号要一起带走。 （3）例题： ①计算：45 + 27 - 15 观察到 45 和 -15 可以凑整。 原式 = (45 - 15) + 27 = 30 + 27 = 57 ②计算：82 - 36 + 18 观察到 82 和 +18 可以凑整。 原式 = (82 + 18) - 36 = 100 - 36 = 64 ③计算：136 + 57 - 36 - 47 原式 = (136 - 36) + (57 - 47) = 100 + 10 = 110 4.基准数法 (当多个数都接近同一个基准数时使用) （1）方法解读： 当算式中的几个数都接近某一个整十、整百数（称为基准数）时，可以将每个数都看作基准数，然后把多算的加上，少算的减去。 （2）关键： 选择一个合适的基准数，通常是最接近这些数的整十或整百数。 （3）例题： 计算：29 + 31 + 32 + 27 + 30 这些数都接近 30，可以把 30 当作基准数。 原式 = 30×5 - 1 + 1 + 2 - 3 + 0 （29=30-1，31=30+1，32=30+2，27=30-3，30=30+0） = 150 + (-1+1) + (2-3) + 0 = 150 + 0 -1 + 0 = 149 例题讲解 一、凑整法（互补数凑整） 【例题1】计算：123+456+877+544 【例题2】计算：678+(322-199) 【例题3】计算：1+2+3+4+5+95+96+97+98+99 【例题4】计算：300-29-28-27-26-25-24-23-22-21 二、拆数凑整（接近整十、百、千数的拆分） 【例题1】计算：999+99+9+3 【例题2】计算：456+297+303 【例题3】计算：800-101-202-303 三、带符号“搬家”（加法交换律与结合律的灵活运用） 【例题1】计算：357+128-157+272 【例题2】计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12 【例题3】计算：3456+6543-1234-4321+5678-8765 四、基准数法（多个数接近同一基准数） 【例题1】计算：29+31+32+28+30 【例题2】计算：2020+2021+2022+2023+2024+2025+2026 考点练习 一、凑整法（互补数凑整） 1. 计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2. 计算：99+98+97+96+10 3. 计算：500-1-2-3-…-9-10 4. 计算：2023-199-298-397 5. 计算：1234+8765+8766+1235 6. 计算：1000-345-255+127+173 二、拆数凑整（接近整十、百、千数的拆分） 1.计算： 1234-999-99-9 2.计算： 599+698+797+896 3.计算： 789+1995+2005 4.计算： 2024-123-234-345-456 5.计算： 345+567+789-145-367-589 6.计算： 9999+999+99+9+4 7.计算：10000-2023-2022-2021-2020 三、带符号“搬家”（加法交换律与结合律的灵活运用） 1.计算：789-345+111-255 2.计算：123+45-67+89-45+67 3.计算：500-123+234-134+223-111 4.计算：2023+1234-1023+766-500 5.计算：876-123-456+432+123-321 6.计算：100-99+98-97+96-95+…+2-1 7.计算：5000-111-222-333-444-555-666 四、基准数法（多个数接近同一基准数） 1.计算：98+101+102+99+100+103 2.计算：71+73+69+70+68+72 3.计算：199+203+197+201+200+198+202 4.计算：55+53+54+56+52+57+51 5.计算：89+92+90+88+91+87+93+94 6.计算：1001+1002+1003+…+1009 7.计算：501+503+505+507+509-499-497-495-493-491 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $