精品解析：四川省绵阳市开元中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

绵阳开元中学2025-2026学年度高三上入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，，则A与B的交集是（ ） A. B. C. D. ABC均错误 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再判断即可. 【详解】由题知， 故选：D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 3. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求出，再由向量的加法和数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】若，则，解得：. 所以，所以， 所以. 故选：C. 5. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 6. 已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先满足，点Q在椭圆的内部，设线段长度及，利用余弦定理可得，结合对勾函数的性质得到答案. 【详解】解： 因为，， 不妨设，则，故， 设，则，， 因为点在线段的延长线上，且点在椭圆内， 所以且，所以， 又， 所以， 则离心率满足， 因为，由对勾函数的性质可得， 所以，所以， 所以 故选：B． 7. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确； 对于B，由题意可知，，， ∴，，，． ∴，． 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确； 对于C，， 当时，，C正确； 对于D，，， ． 当时，，∴即； 当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，共18分.（全选对得6分，选对但不全得部分分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 角可能是第二象限角 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】因，则是第一象限或者第四象限角， 当是第四象限角时，，A不正确； ，B正确； ，C正确； 因是第一象限或者第四象限角，则不可能是第二象限角. 故选：BC 10. 设样本空间, 且每个样本点是等可能的, 已知事件, 则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件A,B,C两两相互独立. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，表示，，即，故C正确； 对于选项D，交集为，则，故D错误. 故选：BC. 11. 曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于（均在第一象限），连接，交另一支渐近线于E，且E为的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 当时，的面积为3 D. 当时，的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，，然后将圆方程与渐近线方联立求出点，从而可求出点，再将点的坐标代入中可求得，进而可求得离心率，渐近线方程，当时，可得双曲线方程和圆方程，从而可求出点的坐标，进而可求出的面积和周长 【详解】由题意得以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，， 由，得，即， 因为E为的中点，所以， 因为点在渐近线上，所以，解得， 所以离心率，所以A正确， 由，得，所以渐近线方程为，即，所以B错误， 当时，，所以双曲线方程为，以为直径的圆的方程为，由，得，因为点在第一象限，所以，所以的面积为，所以C正确， 的周长为，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题.（共3题，每题5分，共15分） 12. 若函数是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数是奇函数，得到，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数是奇函数，所以，解得， 当时，函数满足， 所以. 故答案为:. 13. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当时显然成立，当时，构造，则原不等式等价于，利用导函数求单调性可得对恒成立，再构造求最大值即可. 【详解】当，时，，， 所以恒成立； 当，时，恒成立； 当，时，由可得对恒成立， 构造，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，，， 由单调性可知，整理得对恒成立， 令，，则， 所以当时，，单调递增， 所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，本题的关键是利用同构的思路，将不等式变形为，再构造函数，问题就会迎刃而解. 四、解答题.（共77分） 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系求的值，进而可得的值； （2）利用诱导公式化简，再化弦为切，将的值代入即可求解. 【小问1详解】 因为，且，所以， 所以， 【小问2详解】 ． 16. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由经过点，得，由离心率为得=，再根据联立解方程组即可； （2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式，设，弦长公式及点到直线的距离公式可表示出的面积，令其为，即可解出值，验证是否满足． 【小问1详解】 解：因为椭圆经过点，其离心率， 所以，，解得，， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由得： 由得： 设，， 则， 所以 又到的距离为， 所以， 整理得：，解得：，符合， 所以，. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） （3） 当时，，， 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知. 【解析】 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式结合参变分离得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围； （3）当时，利用导数分析函数的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得在上存在唯一的极小值点，并可得出，再结合二次函数的基本性质可证得. 【小问1详解】 因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立. 令，则，其中， 由可得；由可得. 所以，函数的减区间为，增区间为. 所以，即，故的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下： ①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光； ②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光； ③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作. （1）当时，求成功制作出至少1块芯片的概率； （2）用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望； （3）若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到成功的概率为，失败的概率为，结合对立事件的概率计算公式，即可求得成功制作出1块芯片的概率； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合当时，概率为，当时，概率为，列出随机变量的分布列，求得再利用乘公比错位相减法求和，即可得到答案； （3）法一：记事件“曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片”，记事件“曝光的总次数为次”，根据题意，得到的可能取值为，利用条件概率和独立重复试验的概率的计算公式，求得相应的概率，列出分布列，求得期望的表达式，结合组合数的计算公式，进行化简，即可得到答案； 法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况，记晶片的曝光次数为随机变量，事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为次”，根据条件概率的计算公式，求得，得到，进而得到前块晶片曝光的总次数的数学期望. 【小问1详解】 解：由题意得，用1块晶片制作，成功的概率为，失败的概率为， 当时，要成功制作出至少1块芯片，概率为. 【小问2详解】 解：由题意，随机变量的可能取值为， 当时，可得其概率为， 当时，可得其概率为， 所以的分布列为 1 2 3 可得期望为 令， 则， 两式相减，可得， 所以. 【小问3详解】 解：法一：记事件“曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片”，记事件“曝光的总次数为次”，可得， 对于前块晶片，每块晶片都至少曝光1次，第块晶片曝光2次， 另外，对于前块晶片，有几块晶片进行了第二次曝光，则总曝光次数就多几次， 并且第1到块晶片，无论曝光几次，每次曝光都是失败的， 而第块晶片的2次曝光都成功.若前块晶片中， 则有块晶片进行了第二次曝光，所以， 所以的可能取值为， 则， . 所以的分布列为 所以 其中， 所以 法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况， 由题意，这块晶片无论曝光几次，都是失败的，记这块晶片的曝光次数为随机变量， 记事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为次”. 由第（1）小问可知. 所以， 故这块晶片曝光次数的数学期望为， 所以前块晶片曝光的总次数的数学期望为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳开元中学2025-2026学年度高三上入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，，则A与B的交集是（ ） A. B. C. D. ABC均错误 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 15 C. D. 5. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6. 已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C. D. 8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分.（全选对得6分，选对但不全得部分分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 角可能是第二象限角 10. 设样本空间, 且每个样本点是等可能的, 已知事件, 则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件A,B,C两两相互独立. C. D. 11. 曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于（均在第一象限），连接，交另一支渐近线于E，且E为的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 当时，的面积为3 D. 当时，的周长为 三、填空题.（共3题，每题5分，共15分） 12. 若函数是奇函数，则______． 13. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题.（共77分） 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 19. 近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下： ①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光； ②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光； ③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作. （1）当时，求成功制作出至少1块芯片的概率； （2）用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望； （3）若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $