精品解析：河北省衡水市安平县启蒙中学2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷

河北省衡水市安平县启蒙中学2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共42分，1-10题各3分，11-16题各2分） 1. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，以原点为圆心的的半径为5．下列各点在上的是(　　) A. B. C. D. 4. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（　　） A. 两枚骰子朝上一面点数和为6 B. 两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C. 两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D. 两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 5. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ） A B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ） A. B. 图象的对称轴为直线 C. 点B的坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 已知为的直径，在同一平面内，过上一点作的切线，最多能做（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 10. 如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　） A. B. C. D. 11. 甲、乙两名同学掷一枚质地均匀的硬币，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ） A. 甲、乙的说法都正确 B. 甲的说法正确、乙的说法不正确 C. 甲的说法不正确、乙的说法正确 D. 甲、乙的说法都不正确 12. 已知：如图，为的直径，为的切线，切点为，弦，，连接DC，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y＜5时，x的取值范围为（ ） A 0＜x＜4 B. ﹣4＜x＜4 C. x＜﹣4或x＞4 D. x＞4 14. 如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ） A. 114° B. 122° C. 123° D. 132° 15. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　） A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣ 16. 函数与图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A. 当时， B. C. D. 二、填空题（4×3=12分） 17. 二次函数y=-x2+2x+2图象的顶点坐标是_________． 18. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为 ___________． 19. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 20. 如图，直线与相切于点M，且，则_______． 三、解答题 21. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． （2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 22. 如图，已知等边三角形和含角的直角三角板，，，．把直角三角板放在上，使点A在上，经过点D，与相交于点G．设，． （1）求y与x的函数关系式(不写x的取值范围)． （2）当时，求的长． （3）连接，直接写出的最小值． 23. 如图，在，，以为直径的分别交、于点D、E，且是的切线，交的延长线于F． （1）求证：．（2）若，，求和的长． 24. 某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)由两部分组成，一部分与x(产品数量，单位：件)的平方成正比，另一部分与x成正比，生产中得到表中数据．B城生产产品的每件成本为70万元． x（件） 10 20 y万元 400 1000 （1）求y与x的函数关系式； （2）当A，B两城生产这批产品总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？ （3）当在B城生产总成本是A城生产总成本的时，求A，B两城各生产多少件？ 25. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)． （1）当时，求A、B两点的坐标； （2）当此抛物线经过点时，判断点是否在此抛物线上，并说明理由； （3）点、在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由； （4）我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围． 26. 如图，矩形中，，，点O在AB的延长线上，，．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作．设P的运动时间为t秒． （1）______，PA的最小值是______； （2）当过点C时，①求证：与BC相切；②求扇形OPC的面积； （3）当与矩形的边所在直线相切时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省衡水市安平县启蒙中学2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共42分，1-10题各3分，11-16题各2分） 1. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可． 【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=； 第二个袋子摸到红球的可能性=； 第三个袋子摸到红球的可能性=； 第四个袋子摸到红球的可能性=． 故选：D． 【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中． 2. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确． D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误； 故选：C． 3. 在直角坐标系中，以原点为圆心的的半径为5．下列各点在上的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与圆的位置关系及两点间距离公式（原点到点的距离公式），解题的关键是根据两点间距离公式计算各选项中点到原点的距离，并与圆的半径比较，判断点是否在圆上． 根据“平面内点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上”的性质，先利用原点到点的距离公式，分别计算各选项中点到原点的距离；再将计算出的距离与的半径5比较，距离等于5的点即为在上的点． 【详解】解：A、因为点到原点的距离，所以点在内部，本选项不符合题意； B、因为点到原点的距离，所以点在上，本选项符合题意； C、因为点到原点的距离，所以点在外部，本选项不符合题意； D、因为点到原点的距离，所以点在外部，本选项不符合题意． 故选：B． 4. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（　　） A. 两枚骰子朝上一面的点数和为6 B. 两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C. 两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D. 两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A、两枚骰子朝上一面的点数和为6为不确定事件，如1+2=3，2+4=6，故不符合题意； B、每枚骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，最小为1，两枚骰子朝上一面的点数和最小为1+1=2，故B正确，是必然事件，符合题意； C、D两枚骰子朝上一面的点数均为偶数、均为奇数为不确定事件，如1，2，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合体的三视图逐项判断即可解答． 【详解】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分． 故选：． 【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图、三视图的定义等知识点，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键． 6. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 7. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为， ∴母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为， 故选：B． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ） A. B. 图象的对称轴为直线 C. 点B的坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0,故A选项正确； 因为二次函数的解析式为， 所以图象的对称轴为直线，故B选项正确； 因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点， 所以A,B两点到对称轴的距离相等， 设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3), 解得b=1, 所以B点坐标为（1,0）. 故C选项正确； 由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，故D选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型． 9. 已知为的直径，在同一平面内，过上一点作的切线，最多能做（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线性质，可知切线经过半径的外端，据此即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴在同一平面内，过上一点作的切线，最多能做2条，即过点与垂直的直线， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 10. 如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E、F、G、H四个， 所以小球从E出口落出的概率是：； 故选：C． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键． 11. 甲、乙两名同学掷一枚质地均匀的硬币，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ） A. 甲、乙的说法都正确 B. 甲的说法正确、乙的说法不正确 C. 甲的说法不正确、乙的说法正确 D. 甲、乙的说法都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【详解】解：因为掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，都等于， 所以甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率是正确的， 而乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数接近于正面向上的次数，乙同学的说法不正确． 故选：B． 12. 已知：如图，为的直径，为的切线，切点为，弦，，连接DC，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，为的直径，则得到，由为的切线得到,求出，由弦得到垂直平分，则，得，由三角形内角和定理得． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵为的切线， ∴, ∴， ∵弦， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、切线性质定理、等边对等角等知识，熟悉并灵活应用定理是解题的关键． 13. 已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y＜5时，x的取值范围为（ ） A. 0＜x＜4 B. ﹣4＜x＜4 C. x＜﹣4或x＞4 D. x＞4 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 所以，x=4时，y=5， 所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ） A. 114° B. 122° C. 123° D. 132° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵∠A＝66°， ∴∠ABC+∠ACB＝114°， ∵点I是内心， ∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB＝57°， ∴∠BIC＝180°﹣57°＝123°， 故选C． 15. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　） A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值． 【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上， ∴a＝0， ∴n＝m2+4， ∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣， ∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 函数与的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A. 当时， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数综合； A.根据图象可知当时，，即可判断； B.当时，，即，即可判断； C.当时，，则，即可判断； D.二次函数与轴没有交点，即可判断. 【详解】解：A.根据图象可知：当时，，即，故A正确，符合题意； B.当时，，即，则，故B错误，不符合题意； C.当时，，则，则，故C错误，不符合题意； D.二次函数与轴没有交点，则，即，故D错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（4×3=12分） 17. 二次函数y=-x2+2x+2图象的顶点坐标是_________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，本题得以解决． 详解】∵二次函数y=-x2+2x+2＝-（x-1）2＋3， ∴该函数的顶点坐标为（1，3）， 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，化为顶点式进行求解． 18. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体平面展开图的特征是解题的关键，正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对．根据展开图判断即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “1”与“6”是相对面， “5”与“2”是相对面， “3”与“4”是相对面． 故答案为：2． 19. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 20. 如图，直线与相切于点M，且，则_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接的反向延长线交于点C，由直线与相切于点M，根据切线的性质得，而，根据平行线的性质得到，于是根据垂径定理有，再利用等腰三角形的判定得到，易证得为等边三角形，然后根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】连接的反向延长线交于点C，如图， ∵直线与相切于点M， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值． 三、解答题 21. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． （2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】（1），2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了求频率，求概率． （1）根据表格作答即可； （2）列出树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，由此估出红球有2个． 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种， 则P（1个白球，1个红球）； 所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 22. 如图，已知等边三角形和含角的直角三角板，，，．把直角三角板放在上，使点A在上，经过点D，与相交于点G．设，． （1）求y与x的函数关系式(不写x的取值范围)． （2）当时，求的长． （3）连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）12或4 （3） 【解析】 【分析】（1）有题意得．结合等边三角形得，则，即可判定，有，结合已知得即可求得关系式； （2）结合第一问的关系式得到，解一元二次方程即可； （3）根据题意可知当最大时，的值最小，由（1）可知，当时，y有最大值4，过点G作于H，求得和，以及，利用勾股定理即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：或4． ∴的长为12或4； 【小问3详解】 解：当最大时，的值最小． 由（1）可知， 当时，y有最大值4， 即， 过点G作于H， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、二次函数的性质和勾股定理，解题的关键是熟悉三角形的性质和二次函数的性质． 23. 如图，在，，以为直径的分别交、于点D、E，且是的切线，交的延长线于F． （1）求证：．（2）若，，求和的长． 【答案】（1）见详解；（2），． 【解析】 【分析】（1）连结．有是的直径可得，再有是的切线可得，利用同角的余角相等即可证明； （2）在中有三角函数可以求出，又有等腰三角形的三线合一可得，过点C作于点G．可求出，再在中，求出，，然后再在中求出，最后证出有相似的性质求出即可． 【详解】（1）证明：连结，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点C作于点G，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，， 在中，，， ∴， ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查直径所对的圆周角为直角、切线的性质、相似的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形． 24. 某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)由两部分组成，一部分与x(产品数量，单位：件)的平方成正比，另一部分与x成正比，生产中得到表中数据．B城生产产品的每件成本为70万元． x（件） 10 20 y万元 400 1000 （1）求y与x的函数关系式； （2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？ （3）当在B城生产总成本是A城生产总成本的时，求A，B两城各生产多少件？ 【答案】（1） （2）A城生产20件，B城生产80件 （3）A城生产70件，B城生产30件 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，一元二次方程的应用，二次函数最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设，其中，，得，将，代入求解即可； （2）设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元，然后列出w关于x的关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）利用“在B城生产总成本是A城生产总成本的”列式求解即可． 【小问1详解】 解：设，其中，， ∴， 把，代入， 得：， 解得， ∴y与x函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元， 根据题意得： ， ∵， 由二次函数的性质可知，当时，w取得最小值，最小值为万元，此时， 答：A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，A城生产20件，B城生产80件； 【小问3详解】 解：∵在B城生产总成本是A城生产总成本的， ∴， 解得（舍去）或， ∴， 答：A城生产70件，B城生产30件． 25. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)． （1）当时，求A、B两点的坐标； （2）当此抛物线经过点时，判断点是否在此抛物线上，并说明理由； （3）点、在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由； （4）我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）不在，理由见解析 （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系及图象上点的特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入函数解析式，解方程求解； （2）先根据抛物线过求出的值，再把代入求，进行判断； （3）先求抛物线的对称轴，再根据增减性进行判断； （4）根据抛物线的对称轴得出整点的坐标，再利用对称性求出的最值． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得：或， ． 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， 此时， 当时，， 所以点不此抛物线上； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：由（3）知，抛物线顶点坐标为， ∵，线段（包括端点）上有且只有 4 个整点时， 则这四个整点分别是， ∴当抛物线过点时，， 解得：， 当抛物线过点时，， 解得：， ∴． 26. 如图，矩形中，，，点O在AB的延长线上，，．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作．设P的运动时间为t秒． （1）______，PA的最小值是______； （2）当过点C时，①求证：与BC相切；②求扇形OPC的面积； （3）当与矩形的边所在直线相切时，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2）①见解析；② （3）或或 【解析】 【分析】（1）在直角中，先根据锐角的正切求的度数；根据垂线段最短可知：当时，的值最小，根据三角函数求的最小值； （2）①如图2，证明可得结论；②作辅助线，构建矩形，根据扇形面积公式可得结论； （3）分三种情况：①当与矩形的边相切时，是（2）问中的情况，此时；②当与矩形的边相切时，如图3，根据列式可得的值；③当与矩形的边相切时，如图4，根据列式可得的值． 【小问1详解】 解：如图1， 四边形是矩形， ， ， ， ， 当时，的值最小， ， 在中，， ， ； 则的最小值是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ①证明：如图2，连接、， 由题意得：半径，则， ， ， ， 即半径， 直线与相切； ②如图2，作于， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 扇形的面积； 【小问3详解】 ①当与矩形的边相切时，是（2）问中过点，此时； ②当与矩形的边相切时，如图3， 过作于，过作于， ， ， ， ， ， ③当与矩形的边相切时，如图4， 过点作于，交于， 则，， ， ， ， 综上所述，的值是或或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、垂线段的性质、含角的直角三角形的性质、扇形面积公式、勾股定理、动点问题、直线与圆相切等知识，熟练掌握矩形的性质和直线与圆相切的性质是关键，第三问有难度，采用了分类讨论的思想解决问题，注意不要丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $