第 21章一元二次方程 同步单元达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第 21章一元二次方程 同步单元达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学上册 一、选择题(共8题；共24分) 1．一元二次方程配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 4．方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4、–1、–1 B．4、–1、1 C．4、–1、2 D．4、–1、3 5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A． B． C． D． 6．商场里，一件衣服经过两次连续降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某地区有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线．设这个地区共有n个飞机场，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共6题；共24分) 9．方程x(x－1)＝x的解为　 　 10．已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为　 　． 11．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是　 　． 12．已知 是关于x的方程 的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为　 　． 13．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有　 　个队参加比赛． 14．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 　 　m． 三、解答题(共6题；共52分) 15．解方程： （1）； （2）． 16．已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围． （2）若等腰三角形的其中一边为3，另两边是这个方程的两根，求m的值． 17．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 18．深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． （1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）； （2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元? 19．我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 20．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．设垂直于墙的边长为x米，根据实际情况回答以下问题 （1）求出平行于墙的边长（用含x的代数式表示）； （2）这个花圃的长和宽分别应为多少米？ 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即. 故答案为：A. 【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：在方程中，， ∴ ∵任何数的平方都大于等于0，即， ∴，即． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴方程有两个不相等的实数根. 故答案选：A． 【分析】由题意，先计算判别式的值并判断其符号，然后根据一元二次方程根的判别式“"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”判断求解． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，得当x=-2，x=5时，有x2-bx-5=5>0， 当x=-1，x=4时，有x2-bx-5=-1<0， ∴方程的解的取值范围是或， 故答案为：A. 【分析】根据表格中x与x2-bx-5的值的变化规律可知方程的解的取值范围. 4．【答案】A 【解析】【解答】解： 方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ：4，-1，-1. 故答案为：A。 【分析】直接根据一元二次方程各项系数的定义，即可得出答案。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：D． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母c的方程，求解即可得出c的值. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 故答案为：． 【分析】设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得：． 故选：D． 【分析】 设这个地区共有n个飞机场，根据“ 每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线 ”列方程解题． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：已知图案宽20cm，长30cm， ∴图案的总面积为20×30cm2， ∵有两横两竖的彩条，且彩条宽为xcm， ∴空白部分的宽为(20-2x)cm，空白部分的长为(30-2x)cm， 根据长方形面积公式，空白部分的面积为(20-2x)(30-2x)cm2， 已知彩条所占面积是图案面积的六分之一， ∴空白部分的面积就是图案面积的， ∵空白部分面积为(20-2x)(30-2x)cm2，图案面积为20×30cm2， ∴可列方程为， 故答案为：B. 【分析】 根据题意，先算出整个图案的面积，再分析出空白部分的长和宽，从而得到空白部分的面积表达式，最后根据彩条面积与图案面积的关系列出方程。 9．【答案】 【解析】【解答】解：x（x－1）＝x，x（x－1）-x=0，x（x－2）＝0，∴ ． 【分析】由题意先移项，再提公因式x可分解因式求解。 10．【答案】2 【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2 因为一元二次方程的一个根是1． 根据根与系数的关系，，得． 故答案是：2． 【分析】设方程的另一个根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，可得，即可求解. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可. 12．【答案】14 【解析】【解答】∵2是关于x的方程x2–2mx+3m=0的一个根，∴把x=2代入方程整理得：4–4m+3m=0，∴解得m=4，∴原方程为：x2–8x+12=0，∴方程的两个根分别是2，6， 又∵等腰△ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰△ABC的腰长，则2+2=4<6构不成三角形，∴等腰△ABC的腰长为6，底边长为2，∴△ABC的周长为：6+6+2=14，故答案为：14 【分析】根据方程根的概念，将x=2代入原方程，求出m的值，将m的值代入原方程，求解得出方程的两个根，然后分2是等腰△ABC的腰长，4是等腰三角形底边，与4是等腰△ABC的腰长，2是等腰三角形底边，两种情况根据三角形三边的关系作出判断能否围成三角形，能的再利用三角形周长计算方法算出答案。 13．【答案】10 【解析】【解答】解：假设有x个队伍参加比赛， 根据题意可知：x(x-1)=90 (x-10)×(x+9)=0， 解得：x1=10，x2=-9（舍） 故答案为：10. 【分析】本题考查列一元二次方程以及一元二次方程的实际应用；利用一元二次方程解实际问题，需要根据题意设置数量关系，设未知数，建立一元二次方程，并求取一元二次方程的根，根据实际问题对一元二次方程的根进行取舍. 14．【答案】5 【解析】【解答】设小路的宽为xm， 根据题意可得：（100-2x）（50-2x）=3600， 解得：x1=5，x2=70（舍）， ∴小路的宽是5米， 故答案为：5. 【分析】设小路的宽为xm，根据“ 花圃的面积是3600m2”列出方程（100-2x）（50-2x）=3600，再求出x的值即可. 15．【答案】（1）解：， ， ， 或， 所以，； （2）解：， ， ， ， 所以，． 【解析】【分析】（1）结合方程的结构，将其化简为可因式分解的的形式，然后转化为两个一次项乘积的形式，然后解之可得； （2）利用配方法解二元一次方程的步骤，将方程左边进行配方，然后解之可得. 16．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴。 （2）解：若3是腰，则为已知方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 即方程为， 解得：或， 此时三角形三边为1，3，3，符合题意，即； 若3是底时，另两边长是该方程的两根， 另两边是腰长，故方程的两根相等， 即，方程为， 解得：， 此时三角形三边长为3，2，2，符合题意，即， 综上，m的值为3或4． 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，可知， ，然后再代入数据即可求解。 （2）根据题意，当3为等腰三角形的腰时，将x=3代入原方程中，求出m的值，进而求出方程的解，然后再进行三角形的三边关系进行验证；当3为等腰三角形的底时，可知两条腰是一元二次方程的两个根，且这两个根相等，根据，代入数据，求出m的值，然后再求出原方程的解，最后再根据三角形的三边关系进行验证即可求解。 （1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：若3是腰，则为已知方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 即方程为， 解得：或， 此时三角形三边为1，3，3，符合题意，即； 若3是底时，另两边长是该方程的两根， 另两边是腰长，故方程的两根相等， 即，方程为， 解得：， 此时三角形三边长为3，2，2，符合题意，即， 综上，m的值为3或4． 17．【答案】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元< 8800元， 所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得: x[120-0.5（x-60）]=8800， 解得: x1=220 , x2=80. 当x=220时, 120-0.5× ( 220-60) =40< 100 , ∴x=220（不合题意，舍去）; 当x=80时, 120-0.5× ( 80-60) =110> 100 , ∴x=80 . 答：该校共购买了80棵树苗. 【解析】【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解出即可. 18．【答案】（1） （2）解：设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，依题意得：， ∴， 解得：，， ∵想尽可能地减少库存， ∴取， 答：每枚纪念币应降价元． 【解析】【解答】解：（1）每一枚纪念币降价元，则每天可销售枚， 故答案为：； 【分析】 （）根据题意列出代数式即可解答； （）设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，依题意得，然后解方程并检验即可解答． （1）解：每一枚纪念币降价元，则每天可销售枚， 故答案为：； （2）解：设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚， 依题意得：， ∴， 解得：，， ∵想尽可能地减少库存， ∴取， 答：每枚纪念币应降价元． 19．【答案】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【解析】【分析】（1）设通道宽为米，用每层总面积减去通道面积等于停车位面积（喷漆面积），据此列方程求解. （2）设上涨个元，根据租金收入 = （原租金 + 上涨金额）×（原租出车位 - 少租出车位）列方程求解. （1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 20．【答案】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米 （2）解：依题意，得 解，得，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米 【解析】【分析】（1）根据“其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成”即可设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米； （2）根据面积即可列出一元二次方程，进而即可求出x，再判别长和宽的合理性即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $