第03讲 鸡兔同笼问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第03讲 鸡兔同笼问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解鸡兔同笼问题的基本结构和特点。 2.掌握解决鸡兔同笼问题的四种常用方法：画图法、列表法、假设法和方程法。 3.能够运用合适的方法分析并解决不同难度的鸡兔同笼问题及其变形题。 4.体会数学的趣味性和逻辑性，培养解决实际问题的能力和思维灵活性。 知识梳理 鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。其基本模型是：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 知识点一、画图法 1.方法简介： 画图法是一种直观形象的方法，通过画出鸡和兔的头和脚，帮助理解数量关系，适合初学者理解题意和掌握基本思路。 2.解题步骤： （1）画出所有的头（用圆圈表示，数量等于总头数）。 （2）假设所有动物都是鸡，给每个头画上2只脚。 （3）计算此时脚的总数，并与实际总脚数比较，求出脚的差值。 （4）因为每只兔比鸡多2只脚，所以用多出的脚数除以2，得到需要把多少只“鸡”改成“兔”（即添上2只脚）。 （5）从而得出兔和鸡的数量。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ （1）画5个圆圈代表头。 （2）每个头下画2条线段代表脚（假设全是鸡）：共10只脚。 （3）实际有14只脚，少了14-10=4只脚。 （4）每只兔比鸡多2只脚，所以需要把4÷2=2只“鸡”改成“兔”（给这2只各添2只脚）。 （5）因此，兔有2只，鸡有5-2=3只。 知识点二、列表法（枚举法） 1.方法简介： 列表法是将鸡和兔的可能数量逐一列举出来，计算对应的总脚数，直到找到符合题目条件的答案。这种方法简单直接，但对于数量较大的题目效率较低，适合小数字或作为辅助理解的手段。 2.解题步骤： （1）确定鸡的数量范围（从0到总头数）。 （2）相应的，兔的数量 = 总头数 - 鸡的数量。 （3）计算每种组合下的总脚数（鸡的脚数×2 + 兔的脚数×4）。 （4）找到总脚数等于题目给定脚数的那一组，即为答案。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ 鸡的数量 兔的数量 总脚数 (鸡×2 + 兔×4) 0 5 0×2 + 5×4 = 20 1 4 1×2 + 4×4 = 18 2 3 2×2 + 3×4 = 16 3 2 3×2 + 2×4 = 14 4 1 4×2 + 1×4 = 12 5 0 5×2 + 0×4 = 10 所以，鸡有3只，兔有2只。 知识点三、假设法 1.方法简介： 假设法是解决鸡兔同笼问题最常用的方法之一。它通过假设全部是鸡或全部是兔，根据脚数的差异来推算出另一种动物的数量。 2.解题步骤（假设全是鸡）： (1)假设笼中全是鸡，则总脚数 = 总头数 × 2。 (2)计算实际总脚数与假设总脚数的差值（总差）。 (3)每只兔比鸡多2只脚（单差）。 (4)兔的数量 = 总差 ÷ 单差。 (5)鸡的数量 = 总头数 - 兔的数量。 （假设全是兔，类似）： (1)假设笼中全是兔，则总脚数 = 总头数 × 4。 (2)计算假设总脚数与实际总脚数的差值（总差）。 (3)每只鸡比兔少2只脚（单差）。 (4)鸡的数量 = 总差 ÷ 单差。 (5)兔的数量 = 总头数 - 鸡的数量。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ （1）假设全是鸡： ①假设总脚数：5 × 2 = 10 (只) ②总差：14 - 10 = 4 (只) (实际比假设多4只脚) ③单差：4 - 2 = 2 (只) (每只兔比鸡多2只脚) ④兔的数量：4 ÷ 2 = 2 (只) ⑤鸡的数量：5 - 2 = 3 (只) （2）假设全是兔： ①假设总脚数：5 × 4 = 20 (只) ②总差：20 - 14 = 6 (只) (假设比实际多6只脚) ③单差：4 - 2 = 2 (只) (每只鸡比兔少2只脚) ④鸡的数量：6 ÷ 2 = 3 (只) ⑤兔的数量：5 - 3 = 2 (只) 答：鸡有3只，兔有2只。 知识点四、方程法 1.方法简介： 方程法是利用代数知识，设未知数，根据题目中的等量关系列出方程求解。对于较复杂的鸡兔同笼问题，方程法往往更清晰。 2.解题步骤： (1)设未知数：通常设兔的数量为x只（或鸡的数量为x只）。 (2)用含x的式子表示另一种动物的数量：鸡的数量 = 总头数 - x (如果设兔为x)。 (3)根据脚的总数列出方程：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数。 (即：2×鸡的数量 + 4×兔的数量 = 总脚数) (4)解方程求出x的值。 (5)求出另一种动物的数量。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ (1)设兔有x只，则鸡有 (5 - x) 只。 (2)根据脚的总数列方程：4x + 2(5 - x) = 14 (3)解方程： 4x + 10 - 2x = 14 2x + 10 = 14 2x = 14 - 10 2x = 4 x = 2 (4)鸡的数量：5 - x = 5 - 2 = 3 (只) 答：鸡有3只，兔有2只。 (也可设鸡为x，则兔为5-x，方程为2x +4(5-x)=14，解得x=3) 例题讲解 一、画图法 【例题1】鸡兔同笼，头共6个，脚共16只，鸡兔各几只？ 【例题2】广场上停着三轮车和小轿车共4辆，共有15个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 二、列表法（枚举法） 【例题1】鸡兔同笼，头共4个，脚共10只，鸡兔各几只？ 【例题2】鸡兔同笼，共有10个头，28只脚。鸡、兔各有多少只？ 【例题3】三轮车和自行车共6辆，共有14个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？ 三、假设法 【例题1】鸡兔同笼，头共10个，脚共28只，鸡兔各几只？ 【例题2】学校买了足球和篮球共15个，用去560元，已知每个足球28元，每个篮球42元。足球和篮球各买了多少个？ 【例题3】松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？ 四、方程法 【例题1】鸡兔同笼，共有头15个，脚40只，鸡兔各几只？ 【例题2】鸡兔同笼，兔比鸡少15只，脚数共有282只，鸡兔各有多少只？ 【例题3】学校买来50张电影票，一部分是4元一张的学生票，一部分是6元一张的成人票，总票价是260元。两种票各买了多少张？ 考点练习 一、画图法 1.鸡兔同笼，头共8个，脚共20只，鸡兔各几只？ 2.停车场停有三轮车和自行车共5辆，数一数轮子共13个。三轮车和自行车各有几辆？ 3.有5角和1元的硬币共8枚，总钱数是6元5角。5角和1元的硬币各有多少枚？ 二、列表法（枚举法） 1.鸡兔同笼，头共7个，脚共20只，鸡兔各几只？ 2.笼子里有鸡和兔共9只，共有26只脚。鸡、兔各有多少只？ 3.小华有1元和5角的硬币共5枚，共4元。1元和5角的硬币各有多少枚？ 4.停车场有三轮车和小轿车共7辆，总共有25个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 5.鸡兔同笼，鸡比兔多2只，共有28只脚。鸡和兔各有多少只？ 三、假设法 1.鸡兔同笼，共有头12个，脚36只。鸡和兔各有多少只？ 2. 一个饲养组一共养鸡、兔20只，共有脚64只，求饲养组养鸡和兔各多少只？ 3.鸡兔同笼，鸡比兔多5只，共有脚46只，鸡、兔各有多少只？ 4.动物园里有鸵鸟和长颈鹿共10只，共有腿26条。鸵鸟和长颈鹿各有多少只？(鸵鸟2条腿，长颈鹿4条腿) 5.一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题吗？ 6. 52名同学去划船，一共乘坐11条船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船和小船各几条？ 7.鸡兔同笼，鸡兔共40个头，鸡脚比兔脚多32只，问鸡兔各多少只？ 四、方程法 1.停车场停了汽车和摩托车共32辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。汽车和摩托车各有多少辆？ 2.鸡比兔多3只，共有脚24只，鸡兔各有多少只？ 3.买甲、乙两种戏票，甲种票每张4元，乙种票每张3元，乙种票比甲种票多买了9张，一共用去97元。两种票各买了多少张？ 4.某校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分，共有12道题，小明得了84分，他做错了多少道题？ 5.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 鸡兔同笼问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解鸡兔同笼问题的基本结构和特点。 2.掌握解决鸡兔同笼问题的四种常用方法：画图法、列表法、假设法和方程法。 3.能够运用合适的方法分析并解决不同难度的鸡兔同笼问题及其变形题。 4.体会数学的趣味性和逻辑性，培养解决实际问题的能力和思维灵活性。 知识梳理 鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。其基本模型是：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。 知识点一、画图法 1.方法简介： 画图法是一种直观形象的方法，通过画出鸡和兔的头和脚，帮助理解数量关系，适合初学者理解题意和掌握基本思路。 2.解题步骤： （1）画出所有的头（用圆圈表示，数量等于总头数）。 （2）假设所有动物都是鸡，给每个头画上2只脚。 （3）计算此时脚的总数，并与实际总脚数比较，求出脚的差值。 （4）因为每只兔比鸡多2只脚，所以用多出的脚数除以2，得到需要把多少只“鸡”改成“兔”（即添上2只脚）。 （5）从而得出兔和鸡的数量。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ （1）画5个圆圈代表头。 （2）每个头下画2条线段代表脚（假设全是鸡）：共10只脚。 （3）实际有14只脚，少了14-10=4只脚。 （4）每只兔比鸡多2只脚，所以需要把4÷2=2只“鸡”改成“兔”（给这2只各添2只脚）。 （5）因此，兔有2只，鸡有5-2=3只。 知识点二、列表法（枚举法） 1.方法简介： 列表法是将鸡和兔的可能数量逐一列举出来，计算对应的总脚数，直到找到符合题目条件的答案。这种方法简单直接，但对于数量较大的题目效率较低，适合小数字或作为辅助理解的手段。 2.解题步骤： （1）确定鸡的数量范围（从0到总头数）。 （2）相应的，兔的数量 = 总头数 - 鸡的数量。 （3）计算每种组合下的总脚数（鸡的脚数×2 + 兔的脚数×4）。 （4）找到总脚数等于题目给定脚数的那一组，即为答案。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ 鸡的数量 兔的数量 总脚数 (鸡×2 + 兔×4) 0 5 0×2 + 5×4 = 20 1 4 1×2 + 4×4 = 18 2 3 2×2 + 3×4 = 16 3 2 3×2 + 2×4 = 14 4 1 4×2 + 1×4 = 12 5 0 5×2 + 0×4 = 10 所以，鸡有3只，兔有2只。 知识点三、假设法 1.方法简介： 假设法是解决鸡兔同笼问题最常用的方法之一。它通过假设全部是鸡或全部是兔，根据脚数的差异来推算出另一种动物的数量。 2.解题步骤（假设全是鸡）： (1)假设笼中全是鸡，则总脚数 = 总头数 × 2。 (2)计算实际总脚数与假设总脚数的差值（总差）。 (3)每只兔比鸡多2只脚（单差）。 (4)兔的数量 = 总差 ÷ 单差。 (5)鸡的数量 = 总头数 - 兔的数量。 （假设全是兔，类似）： (1)假设笼中全是兔，则总脚数 = 总头数 × 4。 (2)计算假设总脚数与实际总脚数的差值（总差）。 (3)每只鸡比兔少2只脚（单差）。 (4)鸡的数量 = 总差 ÷ 单差。 (5)兔的数量 = 总头数 - 鸡的数量。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ （1）假设全是鸡： ①假设总脚数：5 × 2 = 10 (只) ②总差：14 - 10 = 4 (只) (实际比假设多4只脚) ③单差：4 - 2 = 2 (只) (每只兔比鸡多2只脚) ④兔的数量：4 ÷ 2 = 2 (只) ⑤鸡的数量：5 - 2 = 3 (只) （2）假设全是兔： ①假设总脚数：5 × 4 = 20 (只) ②总差：20 - 14 = 6 (只) (假设比实际多6只脚) ③单差：4 - 2 = 2 (只) (每只鸡比兔少2只脚) ④鸡的数量：6 ÷ 2 = 3 (只) ⑤兔的数量：5 - 3 = 2 (只) 答：鸡有3只，兔有2只。 知识点四、方程法 1.方法简介： 方程法是利用代数知识，设未知数，根据题目中的等量关系列出方程求解。对于较复杂的鸡兔同笼问题，方程法往往更清晰。 2.解题步骤： (1)设未知数：通常设兔的数量为x只（或鸡的数量为x只）。 (2)用含x的式子表示另一种动物的数量：鸡的数量 = 总头数 - x (如果设兔为x)。 (3)根据脚的总数列出方程：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数。 (即：2×鸡的数量 + 4×兔的数量 = 总脚数) (4)解方程求出x的值。 (5)求出另一种动物的数量。 3.例题演示： 鸡兔同笼，头共5个，脚共14只，鸡兔各几只？ (1)设兔有x只，则鸡有 (5 - x) 只。 (2)根据脚的总数列方程：4x + 2(5 - x) = 14 (3)解方程： 4x + 10 - 2x = 14 2x + 10 = 14 2x = 14 - 10 2x = 4 x = 2 (4)鸡的数量：5 - x = 5 - 2 = 3 (只) 答：鸡有3只，兔有2只。 (也可设鸡为x，则兔为5-x，方程为2x +4(5-x)=14，解得x=3) 例题讲解 一、画图法 【例题1】鸡兔同笼，头共6个，脚共16只，鸡兔各几只？ 【答案】鸡有4只，兔有2只。 【解析】【解答】画图： 实际16脚，多16-12=4脚。每兔需添2脚，4÷2=2只兔。 鸡：6-2=4只。 【分析】通过画图能清晰看到脚的差异来自于兔子。 【例题2】广场上停着三轮车和小轿车共4辆，共有15个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 【答案】三轮车1辆，小轿车3辆。 【解析】【解答】画图： 假设全是三轮车，共3×4=12轮子。 总差：15-12=3轮子。单差：4-3=1轮子（小轿车比三轮车多1轮）。 小轿车数量：3÷1=3辆。三轮车：4-3=1辆。 【分析】交通工具轮子问题，假设全是轮子少的三轮车更容易计算。 二、列表法（枚举法） 【例题1】鸡兔同笼，头共4个，脚共10只，鸡兔各几只？ 【答案】鸡有3只，兔有1只。 【解析】【解答】 鸡数 兔数 总脚数 0 4 16 1 3 14 2 2 12 3 1 10 4 0 8 【分析】头数少，适合列表，能快速找到答案。 【例题2】鸡兔同笼，共有10个头，28只脚。鸡、兔各有多少只？ 【答案】鸡有6只，兔有4只。 【解析】【解答】 鸡数 兔数 总脚数 5 5 30 6 4 28 【分析】当头数较多时，可先估算中间值，再调整，不必从0开始。 【例题3】三轮车和自行车共6辆，共有14个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？ 【答案】自行车4辆，三轮车2辆。 【解析】【解答】 自行车数 三轮车数 总轮子数 0 6 18 1 5 17 2 4 16 3 3 15 4 2 4×2 + 2×3=8+6=14 【分析】轮子问题，自行车2轮，三轮车3轮。 三、假设法 【例题1】鸡兔同笼，头共10个，脚共28只，鸡兔各几只？ 【答案】 鸡有6只，兔有4只。 【解析】【解答】假设全是鸡： 总脚：10×2=20 (只) 总差：28-20=8 (只) (脚多了) 单差：4-2=2 (只) 兔：8÷2=4 (只) 鸡：10-4=6 (只) 【分析】基础假设法应用，熟练“设鸡求兔”。 【例题2】学校买了足球和篮球共15个，用去560元，已知每个足球28元，每个篮球42元。足球和篮球各买了多少个？ 【答案】足球5个，篮球10个。 【解析】【解答】总钱：15×28=420 (元) 总差：560-420=140 (元) (钱少了，因为把贵的篮球当便宜的足球算了) 单差：42-28=14 (元) (每个篮球比足球贵14元) 篮球：140÷14=10个。 足球：15−10=5 个。 【分析】购物问题，将“单价”看作“脚数”，“数量”看作“头数”。假设全是便宜的，求贵的数量。 【例题3】松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？ 【答案】这几天当中有6天有雨。 【解析】【解答】首先求总天数：112÷14=8 (天) 假设全是晴天： 总松子：8×20=160 (个) 总差：160-112=48 (个) (多了) 单差：20-12=8 (个) (雨天比晴天少采8个) 雨天天数：48÷8=6 (天) 【分析】 先根据“总数量”和“平均数”求出“总天数”（总头数），再用假设法。 四、方程法 【例题1】鸡兔同笼，共有头15个，脚40只，鸡兔各几只？ 【答案】鸡有10只，兔有5只。 【解析】【解答】解：设兔有x只，则鸡有 (15 - x) 只。 4x + 2(15 - x) = 40 4x + 30 - 2x = 40 2x = 10 x = 5 鸡：15 - 5 = 10 (只) 【分析】 基础方程法，设兔为x，容易列方程。 【例题2】鸡兔同笼，兔比鸡少15只，脚数共有282只，鸡兔各有多少只？ 【答案】鸡有57只，兔有42只。 【解析】【解答】解：设鸡有x只，则兔有 (x - 15) 只。 2x + 4(x - 15) = 282 2x + 4x - 60 = 282 6x = 282 + 60 6x = 342 x = 57 兔：x - 15 = 57 - 15 = 42 (只) 【分析】“兔比鸡少”，设鸡为x，用x表示兔。脚数较大，方程法优势明显。 【例题3】学校买来50张电影票，一部分是4元一张的学生票，一部分是6元一张的成人票，总票价是260元。两种票各买了多少张？ 【答案】 学生票20张，成人票30张。 【解析】【解答】解：设成人票买了x张，则学生票买了 (50 - x) 张。 6x + 4(50 - x) = 260 6x + 200 - 4x = 260 2x = 60 x = 30 学生票：50 - 30 = 20 (张) 【分析】 票价问题，设较贵的成人票为x。 考点练习 一、画图法 1.鸡兔同笼，头共8个，脚共20只，鸡兔各几只？ 【答案】鸡有6只，兔有2只。 【解析】【解答】。 多20-16=4脚。4÷2=2只兔。鸡：8-2=6只。 【分析】通过画图能清晰看到脚的差异来自于兔子。 2.停车场停有三轮车和自行车共5辆，数一数轮子共13个。三轮车和自行车各有几辆？ 【答案】自行车有2辆，三轮车有3辆。 【解析】【解答】画图： 多13-10=3个轮子。每辆三轮车比自行车多1个轮子，3÷1=3辆三轮车。 自行车：5-3=2辆。 【分析】鸡兔同笼变形题，将轮子数类比脚数，培养迁移能力。 3.有5角和1元的硬币共8枚，总钱数是6元5角。5角和1元的硬币各有多少枚？ 【答案】5角硬币3枚，1元硬币5枚。 【解析】【解答】6元5角=65角，1元=10角。 画图：。 假设全是5角：5×8=40角。 总差：65-40=25角。单差：10-5=5角。 1元硬币数量：25÷5=5枚。5角硬币：8-5=3枚。 【分析】这是典型的“钱币问题”，属于鸡兔同笼变形。关键是将钱数统一单位，把不同面值看作不同“脚数”的动物。 二、列表法（枚举法） 1.鸡兔同笼，头共7个，脚共20只，鸡兔各几只？ 【答案】 鸡有4只，兔有3只。 【解析】【解答】 鸡数 兔数 总脚数 (2鸡 +4兔) 0 7 28 1 6 26 2 5 24 3 4 22 4 3 20 【分析】按顺序列表，观察脚数变化规律。 2.笼子里有鸡和兔共9只，共有26只脚。鸡、兔各有多少只？ 【答案】 鸡有5只，兔有4只。 【解析】【解答】 鸡数 兔数 总脚数 4 5 4×2+5×4=8+20=28 5 4 10+16=26 【分析】尝试从中间值开始列表，更快找到答案。 3.小华有1元和5角的硬币共5枚，共4元。1元和5角的硬币各有多少枚？ 【答案】1元硬币3枚，5角硬币2枚。 【解析】【解答】 1元枚数 5角枚数 总钱数 (元) 0 5 2.5 1 4 1 + 2 = 3 2 3 2 + 1.5 = 3.5 3 2 3 + 1 = 4 4 1 4 + 0.5=4.5 5 0 5 【分析】 钱币问题列表，注意单位统一和计算准确。 4.停车场有三轮车和小轿车共7辆，总共有25个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 【答案】 三轮车3辆，小轿车4辆。 【解析】【解答】 三轮车数 小轿车数 总轮子数 3 4 3×3 +4×4=9+16=25 【分析】小轿车4轮。可以先假设各一半左右再调整。 5.鸡兔同笼，鸡比兔多2只，共有28只脚。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡有6只，兔有4只。 【解析】【解答】 (头数差已知，可列表鸡比兔多2) 兔数 鸡数 (兔数+2) 总脚数 (2鸡 +4兔) 1 3 6 +4=10 2 4 8 +8=16 3 5 10 +12=22 4 6 12 +16=28 【分析】此题为“头差脚和”型，列表时需体现数量关系。 三、假设法 1.鸡兔同笼，共有头12个，脚36只。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡有6只，兔有6只。 【解析】【解答】假设全是兔： 总脚：12×4=48 (只) 总差：48-36=12 (只) (脚多了，要减) 单差：4-2=2 (只) 鸡：12÷2=6 (只) 兔：12-6=6 (只) 【分析】练习“设兔求鸡”，鸡兔数量相等的情况。 2. 一个饲养组一共养鸡、兔20只，共有脚64只，求饲养组养鸡和兔各多少只？ 【答案】鸡有8只，兔有12只。 【解析】【解答】假设全是鸡： 20×2=40脚。 差64-40=24脚。 兔24÷2=12只。 鸡20-12=8只。 【分析】练习“设鸡求兔”。 3.鸡兔同笼，鸡比兔多5只，共有脚46只，鸡、兔各有多少只？ 【答案】鸡有11只，兔有6只。 【解析】【解答】去掉5只鸡，鸡兔数量相同。此时头数减少5，脚数减少5×2=10只，剩余脚46-10=36只。 把一只鸡和一只兔看成一组，每组有2+4=6只脚。 组数（即兔数）：36÷6=6只。 鸡数：6+5=11只。 【分析】 “鸡比兔多”的类型，关键是处理掉多出的部分，使两者数量相同或转化为基本型。 4.动物园里有鸵鸟和长颈鹿共10只，共有腿26条。鸵鸟和长颈鹿各有多少只？(鸵鸟2条腿，长颈鹿4条腿) 【答案】鸵鸟7只，长颈鹿3只。 【解析】【解答】假设全是鸵鸟：10×2=20条腿。差26-20=6条。 长颈鹿：6÷(4-2)=3只。鸵鸟10-3=7只。 【分析】不同动物，腿数不同，完全适用鸡兔同笼模型。 5.一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题吗？ 【答案】刘冬做对了14道题。 【解析】【解答】假设全做对： 总分：20×5=100 (分) 总差：100-52=48 (分) (分少了，因为有错题) 单差：5+3=8 (分) (做对一题与做错一题相差5+3=8分，不仅得不到5分，还倒扣3分) 错题数：48÷8=6 (道) 对题数：20-6=14 (道) 【分析】 这是“倒扣型”鸡兔同笼，单差是两者得分之和。 6. 52名同学去划船，一共乘坐11条船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船和小船各几条？ 【答案】大船4条，小船7条。 【解析】【解答】假设全是小船： 总人数：11×4=44 (人) 总差：52-44=8 (人) (少了) 单差：6-4=2 (人) (每条大船比小船多坐2人) 大船数：8÷2=4 (条) 小船数：11-4=7 (条) 【分析】 “乘船问题”，大船小船坐的人数不同。 7.鸡兔同笼，鸡兔共40个头，鸡脚比兔脚多32只，问鸡兔各多少只？ 【答案】鸡有32只，兔有8只。 【解析】【解答】假设全是鸡： 兔脚为0，鸡脚比兔脚多 40×2 - 0 = 80 只。 总差：80 - 32 = 48 只 (实际鸡脚比兔脚多32只，多算了48只) 单差：若将一只鸡换成一只兔，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，鸡脚与兔脚的差就减少 2+4=6 只。 换的次数（即兔的数量）：48÷6=8 (只) 鸡的数量：40-8=32 (只) 【分析】 “鸡脚比兔脚多”的类型，关键是理解替换一只鸡兔后，脚差的变化量。 四、方程法 1.停车场停了汽车和摩托车共32辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。汽车和摩托车各有多少辆？ 【答案】汽车12辆，摩托车20辆。 【解析】【解答】解：设汽车有x辆，则摩托车有 (32 - x) 辆。 4x + 3(32 - x) = 108 4x + 96 - 3x = 108 x + 96 = 108 x = 12 摩托车：32 - 12 = 20 (辆) 【分析】轮子问题，汽车4轮，摩托车3轮。 2.鸡比兔多3只，共有脚24只，鸡兔各有多少只？ 【答案】鸡有6只，兔有3只。 【解析】【解答】解：设兔有x只，则鸡有 (x + 3) 只。 4x + 2(x + 3) = 24 4x + 2x + 6 = 24 6x = 18 x = 3 鸡：x + 3 = 6 (只) 【分析】 有数量差的问题，设较少的兔为x，用x表示鸡。 3.买甲、乙两种戏票，甲种票每张4元，乙种票每张3元，乙种票比甲种票多买了9张，一共用去97元。两种票各买了多少张？ 【答案】甲种票10张，乙种票19张。 【解析】【解答】解：设甲种票买了x张，则乙种票买了 (x + 9) 张。 4x + 3(x + 9) = 97 4x + 3x + 27 = 97 7x = 70 x = 10 乙种票：x + 9 = 19 (张) 【分析】购物中的数量差问题。 4.某校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分，共有12道题，小明得了84分，他做错了多少道题？ 【答案】他做错了2道题。 【解析】【解答】解：设他做错了x道题，则做对了 (12 - x) 道题。 9(12 - x) - 3x = 84 108 - 9x - 3x = 84 108 - 12x = 84 108 - 84 = 12x 24 =12x x = 2 【分析】 倒扣型问题，注意是“减去”倒扣的分数。 5.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？ 【答案】 蜘蛛5只，蜻蜓7只，蝉6只。 【解析】【解答】第一步：求蜘蛛数量（按腿数，蜘蛛8腿，蜻蜓蝉都是6腿） 解：设蜘蛛有x只，则蜻蜓和蝉共有 (18 - x) 只。 8x + 6(18 - x) = 118 8x + 108 - 6x = 118 2x = 10 x = 5 (蜘蛛) 蜻蜓和蝉共有：18 -5=13 (只) 第二步：求蜻蜓和蝉数量（按翅膀数） 解：设蜻蜓有y只，则蝉有 (13 - y) 只。 2y + 1(13 - y) = 20 2y +13 - y =20 y +13=20 y=7 (蜻蜓) 蝉：13 -7=6 (只) 【分析】 这是“三种动物”的鸡兔同笼问题，需要分步解决，先根据共性（腿数）把两种动物看成一类，转化为基本型，再解决剩下的两种。方程法在此体现强大优势。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $