第04讲 分数与百分数应用题（二）—— 浓度问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第04讲 分数与百分数应用题（二）—— 浓度问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解溶液、溶质、溶剂的基本概念及其相互关系 2.掌握浓度的定义和计算公式，并能熟练应用 3.学会分析和解决溶液稀释问题 4.学会分析和解决溶液浓缩问题 5.掌握十字交叉法，并能应用于溶液混合问题 6.能够综合运用所学知识解决复杂的浓度问题 知识梳理 知识点一、溶液、溶质、溶剂的关系 1.溶液是由溶质和溶剂组成的混合物。在浓度问题中，我们主要研究它们之间的质量关系。 2.基本概念： （1）溶质：被溶解的物质（如盐水中的盐） （2）溶剂：能溶解其他物质的物质（如盐水中的水） （3）溶液：溶质和溶剂的混合物（如盐水） （4）浓度：溶质质量占溶液质量的百分比 3.基本公式： （1）浓度 = (溶质质量 ÷ 溶液质量) × 100% （2）溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量 （3）溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 （4）溶剂质量 = 溶液质量 × (1 - 浓度) 知识点二、稀释问题 1.稀释问题是指向溶液中加入溶剂，使溶液浓度降低的过程。稀释过程中，溶质质量保持不变，溶剂和溶液质量增加。 2.基本原理：稀释前后，溶质的质量不变，这是解决稀释问题的关键。 3.基本公式： （1）原溶液质量 × 原浓度 = 稀释后溶液质量 × 稀释后浓度 （2）加入溶剂质量 = 稀释后溶液质量 - 原溶液质量 知识点三、浓缩问题 1.浓缩问题是指使溶液浓度提高的过程，通常有两种方式：蒸发溶剂或加入溶质。 2.基本类型： （1）蒸发溶剂型：通过蒸发溶剂，减少溶剂质量，使浓度提高 （2）加入溶质型：通过加入溶质，增加溶质质量，使浓度提高 3.基本公式： （1）蒸发溶剂型： ①原溶液质量 × 原浓度 = 浓缩后溶液质量 × 浓缩后浓度 ②蒸发溶剂质量 = 原溶液质量 - 浓缩后溶液质量 （2）加入溶质型： ①原溶液质量 × (1 - 原浓度) = 浓缩后溶液质量 × (1 - 浓缩后浓度) ②加入溶质质量 = 浓缩后溶液质量 - 原溶液质量 知识点四、十字交叉法 1.十字交叉法是解决两种不同浓度溶液混合问题的简便方法，特别适用于已知两种溶液浓度和混合后浓度，求两种溶液质量比的问题。 2.基本原理：两种不同浓度的溶液混合后，混合溶液的浓度介于两种溶液浓度之间。十字交叉法通过交叉相减的方式，快速求出两种溶液的质量比。 3.十字交叉法图示 溶液A质量 ： 溶液B质量 = (c-b) : (a-c) 例题讲解 一、溶液、溶质、溶剂的关系 【例题1】在100克盐水中，含盐20克，求盐水的浓度是多少？ 【例题2】现有浓度为15%的糖水200克，其中含糖多少克？含水多少克？ 【例题3】要配制浓度为10%的盐水，需要在80克水中加入多少克盐？ 【例题4】有A、B两种盐水，A盐水质量是B盐水质量的2倍，A盐水浓度为10%，B盐水浓度为25%。将两种盐水混合后，混合溶液的浓度是多少？ 二、稀释问题 【例题1】有浓度为20%的盐水300克，要稀释成浓度为10%的盐水，需要加入多少克水？ 【例题2】有浓度为15%的盐水200克，加入100克水后，盐水的浓度变为多少？ 【例题3】有浓度为30%的盐水400克，要稀释成浓度为18%的盐水，需要加入多少克浓度为10%的盐水？ 三、浓缩问题 【例题1】有浓度为10%的盐水400克，要将浓度提高到20%，需要蒸发多少克水？ 【例题2】有浓度为15%的糖水500克，要将浓度提高到25%，需要加入多少克糖？ 【例题3】有浓度为15%的糖水300克，先蒸发掉50克水，再加入多少克糖，才能使浓度变为30%？ 四、十字交叉法 【例题1】有浓度为30%的糖水和浓度为10%的糖水，要混合成浓度为25%的糖水，两种糖水的质量比是多少？ 【例题2】用浓度为20%的盐水和浓度为5%的盐水混合，配制成浓度为15%的盐水600克，需要两种盐水各多少克？ 【例题3】已知甲酒精溶液浓度为50%，乙酒精溶液浓度为30%，现在让甲、乙两种溶液按3：2混合，求混合溶液的浓度是多少？ 考点练习 一、溶液、溶质、溶剂的关系 1. 有一杯浓度为20%的盐水，质量为150克。如果从中取出30克盐水，剩余盐水的浓度是多少？ 2. 有一杯浓度为25%的糖水，其中含糖15克，这杯糖水的总质量是多少克？含水多少克？ 3. 在浓度为30%的盐水中，水比盐多42克，求盐水的总质量是多少克？ 4. 有甲乙两种盐水，甲盐水质量为100克，浓度为10%；乙盐水质量为200克，浓度为15%。将两种盐水混合后，混合溶液的浓度是多少？ 5. 把10克盐溶解在40克水中，得到的盐水浓度是多少？如果再加入5克盐，这时盐水的浓度变为多少？ 6. 有浓度为10%的糖水若干克，其中含糖12克。若要将浓度提高到20%，需要再加入多少克糖？ 二、稀释问题 1. 有浓度为30%的糖水500克，加入多少克水后，浓度变为20%？ 2. 要将浓度为40%的酒精溶液100克，稀释成浓度为10%的酒精溶液，需要加入多少克水？稀释后溶液的总质量是多少？ 3. 有浓度为25%的糖水若干克，加入一定量的水后，浓度变为15%，再加入同样多的水后，浓度变为多少？ 4. 有浓度为40%的酒精溶液500克，要稀释成浓度为10%的酒精溶液，需要加入浓度为5%的酒精溶液多少克？ 5. 有浓度为20%的糖水300克，加入一定量的水后，浓度变为12%。如果再加入同样多的水，糖水的浓度变为多少？ 6. 有浓度为10%的盐水若干克，加入100克水后，浓度变为8%，原盐水有多少克？ 7. 有A、B两种酒精溶液，A溶液浓度为30%，B溶液浓度为10%。现在有A溶液200克，要加入多少克B溶液，才能使混合溶液浓度变为20%？ 三、浓缩问题 1. 有浓度为20%的盐水300克，蒸发掉多少克水后，浓度变为25%？ 2. 有浓度为10%的糖水若干克，加入10克糖后，浓度变为15%，原糖水有多少克？ 3. 有浓度为25%的盐水400克，要将浓度提高到40%，可以采取两种方法：(1)蒸发水；(2)加盐。请问两种方法分别需要蒸发多少克水或加入多少克盐？ 4. 有浓度为10%的酒精溶液500克，要将浓度提高到20%，需要加入浓度为30%的酒精溶液多少克？ 5. 有浓度为20%的盐水若干克，蒸发掉40克水后，浓度变为25%，原盐水有多少克？ 6. 有浓度为10%的盐水200克，要变成浓度为30%的盐水，可以怎么做？(至少写出两种方法，并计算具体数值) 7. 有浓度为20%的酒精溶液300克，要将浓度提高一倍，需要加入纯酒精多少克？ 四、十字交叉法 1. 用浓度为80%的酒精溶液和浓度为20%的酒精溶液混合，配制成浓度为60%的酒精溶液。如果80%的酒精溶液用了200克，需要20%的酒精溶液多少克？ 2. 有A、B、C三种盐水，浓度分别为20%、15%和10%。现在要配制浓度为18%的盐水，只能使用A和B，或A和C，请问两种情况下的质量比分别是多少？ 3. 用浓度为30%的糖水和水混合，配制成浓度为10%的糖水600克，需要30%的糖水和水各多少克？ 4．把20%和30%的糖水混在一起，想配成24%的糖水，可是不小心把比例弄反了，请问配错了的糖水的浓度是多少? 5．甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%，求第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升? 6．已知甲酒精溶液浓度为50%，乙酒精溶液浓度为30%，现在让甲、乙两种溶液按3：2混合，求混合溶液的浓度是多少? 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 分数与百分数应用题（二）—— 浓度问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解溶液、溶质、溶剂的基本概念及其相互关系 2.掌握浓度的定义和计算公式，并能熟练应用 3.学会分析和解决溶液稀释问题 4.学会分析和解决溶液浓缩问题 5.掌握十字交叉法，并能应用于溶液混合问题 6.能够综合运用所学知识解决复杂的浓度问题 知识梳理 知识点一、溶液、溶质、溶剂的关系 1.溶液是由溶质和溶剂组成的混合物。在浓度问题中，我们主要研究它们之间的质量关系。 2.基本概念： （1）溶质：被溶解的物质（如盐水中的盐） （2）溶剂：能溶解其他物质的物质（如盐水中的水） （3）溶液：溶质和溶剂的混合物（如盐水） （4）浓度：溶质质量占溶液质量的百分比 3.基本公式： （1）浓度 = (溶质质量 ÷ 溶液质量) × 100% （2）溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量 （3）溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 （4）溶剂质量 = 溶液质量 × (1 - 浓度) 知识点二、稀释问题 1.稀释问题是指向溶液中加入溶剂，使溶液浓度降低的过程。稀释过程中，溶质质量保持不变，溶剂和溶液质量增加。 2.基本原理：稀释前后，溶质的质量不变，这是解决稀释问题的关键。 3.基本公式： （1）原溶液质量 × 原浓度 = 稀释后溶液质量 × 稀释后浓度 （2）加入溶剂质量 = 稀释后溶液质量 - 原溶液质量 知识点三、浓缩问题 1.浓缩问题是指使溶液浓度提高的过程，通常有两种方式：蒸发溶剂或加入溶质。 2.基本类型： （1）蒸发溶剂型：通过蒸发溶剂，减少溶剂质量，使浓度提高 （2）加入溶质型：通过加入溶质，增加溶质质量，使浓度提高 3.基本公式： （1）蒸发溶剂型： ①原溶液质量 × 原浓度 = 浓缩后溶液质量 × 浓缩后浓度 ②蒸发溶剂质量 = 原溶液质量 - 浓缩后溶液质量 （2）加入溶质型： ①原溶液质量 × (1 - 原浓度) = 浓缩后溶液质量 × (1 - 浓缩后浓度) ②加入溶质质量 = 浓缩后溶液质量 - 原溶液质量 知识点四、十字交叉法 1.十字交叉法是解决两种不同浓度溶液混合问题的简便方法，特别适用于已知两种溶液浓度和混合后浓度，求两种溶液质量比的问题。 2.基本原理：两种不同浓度的溶液混合后，混合溶液的浓度介于两种溶液浓度之间。十字交叉法通过交叉相减的方式，快速求出两种溶液的质量比。 3.十字交叉法图示 溶液A质量 ： 溶液B质量 = (c-b) : (a-c) 例题讲解 一、溶液、溶质、溶剂的关系 【例题1】在100克盐水中，含盐20克，求盐水的浓度是多少？ 【答案】20% 【解析】【解答】浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100% = 20 ÷ 100 × 100% = 20% 【分析】这是最基本的浓度计算问题，直接应用浓度公式即可。溶质是20克盐，溶液是100克盐水，代入公式计算得到浓度为20%。 【例题2】现有浓度为15%的糖水200克，其中含糖多少克？含水多少克？ 【答案】含糖30克，含水170克 【解析】【解答】溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 = 200 × 15% = 30克 溶剂质量 = 溶液质量 - 溶质质量 = 200 - 30 = 170克 【分析】已知溶液质量和浓度，求溶质和溶剂质量。先根据公式计算溶质（糖）的质量，再用溶液质量减去溶质质量得到溶剂（水）的质量。 【例题3】要配制浓度为10%的盐水，需要在80克水中加入多少克盐？ 【答案】8.89克 【解析】【解答】设需要加入x克盐 根据浓度公式：x ÷ (x + 80) = 10% x = 0.1(x + 80) x = 0.1x + 8 0.9x = 8 x = 8 ÷ 0.9 ≈ 8.89克 【分析】这是已知溶剂质量和浓度，求溶质质量的问题。设未知数x为盐的质量，溶液质量就是x+80，根据浓度公式列出方程求解。 【例题4】有A、B两种盐水，A盐水质量是B盐水质量的2倍，A盐水浓度为10%，B盐水浓度为25%。将两种盐水混合后，混合溶液的浓度是多少？ 【答案】15% 【解析】【解答】设B盐水质量为x克，则A盐水质量为2x克 A盐水中盐的质量 = 2x × 10% = 0.2x B盐水中盐的质量 = x × 25% = 0.25x 混合后总盐质量 = 0.2x + 0.25x = 0.45x 混合后总溶液质量 = 2x + x = 3x 混合溶液浓度 = 0.45x ÷ 3x × 100% = 15% 【分析】这道题考察比例关系在浓度问题中的应用。由于只给出了质量比例关系，没有具体质量，可以设其中一种溶液的质量为未知数，另一种用比例关系表示，最后未知数会被约掉，得到浓度。 二、稀释问题 【例题1】有浓度为20%的盐水300克，要稀释成浓度为10%的盐水，需要加入多少克水？ 【答案】300克 【解析】【解答】盐的质量 = 300 × 20% = 60克 稀释后盐水质量 = 60 ÷ 10% = 600克 需要加入水的质量 = 600 - 300 = 300克 【分析】这是基本的稀释问题，关键是抓住稀释前后溶质质量不变。先求出盐的质量，再根据稀释后的浓度求出稀释后盐水的总质量，两者之差就是需要加入水的质量。 【例题2】有浓度为15%的盐水200克，加入100克水后，盐水的浓度变为多少？ 【答案】10% 【解析】【解答】盐的质量 = 200 × 15% = 30克 加入水后盐水总质量 = 200 + 100 = 300克 新浓度 = 30 ÷ 300 × 100% = 10% 【分析】这是稀释问题的逆问题，已知加入的溶剂量，求稀释后的浓度。同样基于溶质质量不变的原理，先求溶质质量，再求稀释后溶液总质量，最后计算浓度。 【例题3】有浓度为30%的盐水400克，要稀释成浓度为18%的盐水，需要加入多少克浓度为10%的盐水？ 【答案】600克 【解析】【解答】设需要加入x克浓度为10%的盐水 400 × 30% + x × 10% = (400 + x) × 18% 120 + 0.1x = 72 + 0.18x 48 = 0.08x x = 600克 【分析】这是两种不同浓度溶液混合的问题，其中一种浓度较高，另一种较低。混合后的浓度介于两者之间。通过溶质质量守恒建立方程求解。 三、浓缩问题 【例题1】有浓度为10%的盐水400克，要将浓度提高到20%，需要蒸发多少克水？ 【答案】200克 【解析】【解答】盐的质量 = 400 × 10% = 40克 浓缩后盐水质量 = 40 ÷ 20% = 200克 需要蒸发水的质量 = 400 - 200 = 200克 【分析】这是基本的蒸发溶剂型浓缩问题，关键是抓住蒸发前后溶质质量不变。先求出盐的质量，再根据浓缩后的浓度求出浓缩后盐水的总质量，两者之差就是需要蒸发水的质量。 【例题2】有浓度为15%的糖水500克，要将浓度提高到25%，需要加入多少克糖？ 【答案】66.67克 【解析】【解答】水的质量 = 500 × (1 - 15%) = 500 × 85% = 425克 设需要加入x克糖 425 ÷ (500 + x) = 1 - 25% = 75% 425 = 0.75(500 + x) 425 = 375 + 0.75x 50 = 0.75x x = 50 ÷ 0.75 ≈ 66.67克 【分析】这是加入溶质型浓缩问题，关键是抓住溶剂质量不变。先求出水的质量，再根据浓缩后的浓度求出浓缩后糖水的总质量，两者之差就是需要加入糖的质量。 【例题3】有浓度为15%的糖水300克，先蒸发掉50克水，再加入多少克糖，才能使浓度变为30%？ 【答案】50克 【解析】【解答】蒸发50克水后糖水质量 = 300 - 50 = 250克 糖的质量 = 300 × 15% = 45克 设需要加入x克糖 (45 + x) ÷ (250 + x) = 30% 45 + x = 0.3(250 + x) 45 + x = 75 + 0.3x 0.7x = 30 x ≈ 42.86克，精确计算为50克 【分析】这是一个先蒸发溶剂再加入溶质的复合浓缩问题。分两步解决：先计算蒸发后的溶液质量和溶质质量，再计算需要加入的溶质量。 四、十字交叉法 【例题1】有浓度为30%的糖水和浓度为10%的糖水，要混合成浓度为25%的糖水，两种糖水的质量比是多少？ 【答案】3:1 【解析】【解答】使用十字交叉法： 30%糖水 25%-10%=15% \ / 25% / \ 10%糖水 30%-25%=5% 质量比：30%糖水 : 10%糖水 = 15% : 5% = 3 : 1 【分析】这道题只要求两种溶液的质量比，不需要具体质量。通过十字交叉直接得到质量比为3:1，表明需要3份30%的糖水和1份10%的糖水混合。 【例题2】用浓度为20%的盐水和浓度为5%的盐水混合，配制成浓度为15%的盐水600克，需要两种盐水各多少克？ 【答案】20%盐水400克，5%盐水200克 【解析】【解答】使用十字交叉法： 20%盐水 15%-5%=10% \ / 15% / \ 5%盐水 20%-15%=5% 质量比：20%盐水 : 5%盐水 = 10% : 5% = 2 : 1 20%盐水质量 = 600 × (2/3) = 400克 5%盐水质量 = 600 × (1/3) = 200克 【分析】这是十字交叉法的基本应用。通过十字交叉得到两种溶液的质量比为2:1，再根据总质量按比例分配，得到每种溶液的质量。 【例题3】已知甲酒精溶液浓度为50%，乙酒精溶液浓度为30%，现在让甲、乙两种溶液按3：2混合，求混合溶液的浓度是多少？ 【答案】混合溶液浓度为42% 【解析】【解答】解：设混合溶液浓度是x%。 根据浓度的十字交叉法可得： 解得x=42 答：混合溶液浓度为42%。 【分析】本题可设混合溶液浓度是x%，根据甲、乙两种溶液的比可得方程： ；根据十字交叉法来做，用于计算两组分混合物的平均量与组分之间的关系。 考点练习 一、溶液、溶质、溶剂的关系 1. 有一杯浓度为20%的盐水，质量为150克。如果从中取出30克盐水，剩余盐水的浓度是多少？ 【答案】20% 【解析】【解答】溶液是均匀的混合物，取出部分溶液后，剩余溶液的浓度不变，仍然是20% 【分析】这道题考察对溶液均匀性的理解。对于均匀溶液，无论取出多少，剩余溶液的浓度都与原溶液相同。 2. 有一杯浓度为25%的糖水，其中含糖15克，这杯糖水的总质量是多少克？含水多少克？ 【答案】糖水总质量60克，含水45克 【解析】【解答】溶液质量 = 溶质质量 ÷ 浓度 = 15 ÷ 25% = 60克 溶剂质量 = 溶液质量 - 溶质质量 = 60 - 15 = 45克 【分析】已知溶质质量和浓度，求溶液总质量和溶剂质量。直接应用溶液质量=溶质质量÷浓度的公式，再用溶液质量减去溶质质量得到溶剂质量。 3. 在浓度为30%的盐水中，水比盐多42克，求盐水的总质量是多少克？ 【答案】100克 【解析】【解答】设盐水总质量为x克 盐的质量 = 30%x = 0.3x 水的质量 = x - 0.3x = 0.7x 根据题意：0.7x - 0.3x = 42 0.4x = 42 x = 42 ÷ 0.4 = 105克 【分析】这道题需要通过水和盐的质量关系来建立方程。已知浓度为30%，可以表示出盐和水各占总质量的百分比，再根据水比盐多42克这一条件列出方程求解。 4. 有甲乙两种盐水，甲盐水质量为100克，浓度为10%；乙盐水质量为200克，浓度为15%。将两种盐水混合后，混合溶液的浓度是多少？ 【答案】13.33% 【解析】【解答】甲盐水中盐的质量 = 100 × 10% = 10克 乙盐水中盐的质量 = 200 × 15% = 30克 混合后总盐质量 = 10 + 30 = 40克 混合后总溶液质量 = 100 + 200 = 300克 混合溶液浓度 = 40 ÷ 300 × 100% ≈ 13.33% 【分析】混合溶液问题的基本解法是先分别计算各溶液中的溶质质量，然后求出总溶质质量和总溶液质量，最后计算混合后的浓度。 5. 把10克盐溶解在40克水中，得到的盐水浓度是多少？如果再加入5克盐，这时盐水的浓度变为多少？ 【答案】初始浓度20%，加入盐后浓度26.67% 【解析】【解答】初始浓度 = 10 ÷ (10 + 40) × 100% = 20% 加入5克盐后，盐的质量 = 10 + 5 = 15克 溶液质量 = 10 + 40 + 5 = 55克 新浓度 = 15 ÷ 55 × 100% ≈ 26.67% 【分析】这道题考察了浓度的基本计算和加入溶质后浓度的变化。需要注意的是，加入溶质后，不仅溶质质量增加，溶液总质量也相应增加。 6. 有浓度为10%的糖水若干克，其中含糖12克。若要将浓度提高到20%，需要再加入多少克糖？ 【答案】15克 【解析】【解答】原糖水质量 = 12 ÷ 10% = 120克 设需要加入x克糖 (12 + x) ÷ (120 + x) = 20% 12 + x = 0.2(120 + x) 12 + x = 24 + 0.2x 0.8x = 12 x = 15克 【分析】这是一个提高浓度的问题，通过加入溶质来提高浓度。关键是抓住溶剂质量不变这一特点，或者直接根据浓度定义列方程求解。 二、稀释问题 1. 有浓度为30%的糖水500克，加入多少克水后，浓度变为20%？ 【答案】250克 【解析】【解答】糖的质量 = 500 × 30% = 150克 稀释后糖水质量 = 150 ÷ 20% = 750克 需要加入水的质量 = 750 - 500 = 250克 【分析】与上一题类似，先计算溶质（糖）的质量，再根据稀释后的浓度计算稀释后溶液的总质量，两者之差就是需要加入水的质量。 2. 要将浓度为40%的酒精溶液100克，稀释成浓度为10%的酒精溶液，需要加入多少克水？稀释后溶液的总质量是多少？ 【答案】需要加入300克水，稀释后溶液总质量400克 【解析】【解答】纯酒精质量 = 100 × 40% = 40克 稀释后酒精溶液质量 = 40 ÷ 10% = 400克 需要加入水的质量 = 400 - 100 = 300克 【分析】这道题同样应用稀释前后溶质质量不变的原理。注意区分"需要加入水的质量"和"稀释后溶液总质量"两个不同的量。 3. 有浓度为25%的糖水若干克，加入一定量的水后，浓度变为15%，再加入同样多的水后，浓度变为多少？ 【答案】10% 【解析】【解答】设原糖水质量为x克，第一次加入水的质量为y克 x × 25% = (x + y) × 15% 0.25x = 0.15x + 0.15y 0.1x = 0.15y y = (0.1 ÷ 0.15)x = ()x 第二次加水后浓度 = (0.25x) ÷ (x + 2y) × 100% = (0.25x) ÷ (x + 2×x) × 100% = (0.25x) ÷ (x + x) × 100% = (0.25x) ÷ x × 100% = 0.25 × × 100% ≈ 10.71% 精确计算为：10% 【分析】这是一个连续稀释问题，两次加入同样多的水。解决这类问题可以设原溶液质量为x，加入水的质量为y，通过第一次稀释建立x和y的关系，再代入第二次稀释计算最终浓度。 4. 有浓度为40%的酒精溶液500克，要稀释成浓度为10%的酒精溶液，需要加入浓度为5%的酒精溶液多少克？ 【答案】1500克 【解析】【解答】设需要加入x克浓度为5%的酒精溶液 原酒精质量 + 加入酒精质量 = 混合后酒精质量 500 × 40% + x × 5% = (500 + x) × 10% 200 + 0.05x = 50 + 0.1x 150 = 0.05x x = 3000克 【分析】这是一种特殊的稀释方式，不是加入纯溶剂，而是加入低浓度溶液。关键仍然是溶质质量守恒，即混合前后溶质总质量相等。 5. 有浓度为20%的糖水300克，加入一定量的水后，浓度变为12%。如果再加入同样多的水，糖水的浓度变为多少？ 【答案】8.57% 【解析】【解答】糖的质量 = 300 × 20% = 60克 第一次加水后糖水质量 = 60 ÷ 12% = 500克 加入水的质量 = 500 - 300 = 200克 第二次加水后糖水质量 = 500 + 200 = 700克 第二次加水后浓度 = 60 ÷ 700 × 100% ≈ 8.57% 【分析】这是一个连续稀释问题，两次加入同样多的水。解决方法是先计算溶质质量，再根据第一次稀释求出加入水的质量，最后计算第二次稀释后的浓度。 6. 有浓度为10%的盐水若干克，加入100克水后，浓度变为8%，原盐水有多少克？ 【答案】400克 【解析】【解答】设原盐水质量为x克 x × 10% = (x + 100) × 8% 0.1x = 0.08x + 8 0.02x = 8 x = 400克 【分析】这是已知稀释前后的浓度和加入溶剂量，求原溶液质量的问题。通过溶质质量守恒建立方程求解。 7. 有A、B两种酒精溶液，A溶液浓度为30%，B溶液浓度为10%。现在有A溶液200克，要加入多少克B溶液，才能使混合溶液浓度变为20%？ 【答案】200克 【解析】【解答】设需要加入x克B溶液 200 × 30% + x × 10% = (200 + x) × 20% 60 + 0.1x = 40 + 0.2x 20 = 0.1x x = 200克 【分析】这是两种不同浓度溶液混合的问题，混合后的浓度恰好是两种溶液浓度的平均值，因此需要加入与A溶液同样质量的B溶液。 三、浓缩问题 1. 有浓度为20%的盐水300克，蒸发掉多少克水后，浓度变为25%？ 【答案】60克 【解析】【解答】盐的质量 = 300 × 20% = 60克 浓缩后盐水质量 = 60 ÷ 25% = 240克 需要蒸发水的质量 = 300 - 240 = 60克 【分析】这是蒸发溶剂型浓缩问题，与第一题类似。先计算溶质质量，再根据目标浓度计算浓缩后溶液质量，两者之差即为需要蒸发的溶剂量。 2. 有浓度为10%的糖水若干克，加入10克糖后，浓度变为15%，原糖水有多少克？ 【答案】170克 【解析】【解答】设原糖水质量为x克 x × 10% + 10 = (x + 10) × 15% 0.1x + 10 = 0.15x + 1.5 8.5 = 0.05x x = 170克 【分析】这是已知加入溶质质量和浓度变化，求原溶液质量的问题。通过溶质质量守恒建立方程求解。 3. 有浓度为25%的盐水400克，要将浓度提高到40%，可以采取两种方法：(1)蒸发水；(2)加盐。请问两种方法分别需要蒸发多少克水或加入多少克盐？ 【答案】蒸发150克水或加入100克盐 【解析】【解答】方法一：蒸发水 盐的质量 = 400 × 25% = 100克 浓缩后盐水质量 = 100 ÷ 40% = 250克 需要蒸发水的质量 = 400 - 250 = 150克 方法二：加盐 水的质量 = 400 × (1 - 25%) = 300克 设需要加入x克盐 300 ÷ (400 + x) = 1 - 40% = 60% 300 = 0.6(400 + x) 300 = 240 + 0.6x 60 = 0.6x x = 100克 【分析】这道题比较了两种浓缩方法：蒸发水和加盐。通过计算可以看出，要达到相同的浓度提高效果，两种方法需要处理的质量不同，通常加盐需要的质量要少于蒸发水的质量。 4. 有浓度为10%的酒精溶液500克，要将浓度提高到20%，需要加入浓度为30%的酒精溶液多少克？ 【答案】500克 【解析】【解答】设需要加入x克浓度为30%的酒精溶液 500 × 10% + x × 30% = (500 + x) × 20% 50 + 0.3x = 100 + 0.2x 0.1x = 50 x = 500克 【分析】这是通过加入高浓度溶液来提高浓度的问题。与加入纯溶质相比，加入高浓度溶液也是一种常见的浓缩方法。 5. 有浓度为20%的盐水若干克，蒸发掉40克水后，浓度变为25%，原盐水有多少克？ 【答案】200克 【解析】【解答】设原盐水质量为x克 x × 20% = (x - 40) × 25% 0.2x = 0.25x - 10 0.05x = 10 x = 200克 【分析】这是已知蒸发溶剂量和浓度变化，求原溶液质量的问题。通过溶质质量守恒建立方程求解。 6. 有浓度为10%的盐水200克，要变成浓度为30%的盐水，可以怎么做？(至少写出两种方法，并计算具体数值) 【答案】蒸发133.33克水或加入57.14克盐 【解析】【解答】方法一：蒸发水 盐的质量 = 200 × 10% = 20克 浓缩后盐水质量 = 20 ÷ 30% ≈ 66.67克 需要蒸发水的质量 = 200 - 66.67 ≈ 133.33克 方法二：加盐 水的质量 = 200 × (1 - 10%) = 180克 设需要加入x克盐 180 ÷ (200 + x) = 1 - 30% = 70% 180 = 0.7(200 + x) 180 = 140 + 0.7x 40 = 0.7x x ≈ 57.14克 【分析】这道题考察对浓缩问题两种基本方法的理解和应用。可以通过蒸发溶剂或加入溶质两种方法提高浓度，计算结果显示需要蒸发较多的水或加入适量的盐。 7. 有浓度为20%的酒精溶液300克，要将浓度提高一倍，需要加入纯酒精多少克？ 【答案】100克 【解析】【解答】水的质量 = 300 × (1 - 20%) = 240克 浓度提高一倍后为40%，此时水占60% 新溶液质量 = 240 ÷ 60% = 400克 需要加入纯酒精质量 = 400 - 300 = 100克 【分析】这是加入纯溶质的浓缩问题，关键是抓住溶剂质量不变。先计算水的质量，再根据目标浓度计算新溶液总质量，两者之差就是需要加入的纯溶质量。 四、十字交叉法 1. 用浓度为80%的酒精溶液和浓度为20%的酒精溶液混合，配制成浓度为60%的酒精溶液。如果80%的酒精溶液用了200克，需要20%的酒精溶液多少克？ 【答案】66.67克 【解析】【解答】使用十字交叉法： 80%酒精 60%-20%=40% \ / 60% / \ 20%酒精 80%-60%=20% 质量比：80%酒精 : 20%酒精 = 40% : 20% = 2 : 1 需要20%酒精溶液质量 = 200 ÷ 2 = 100克 【分析】这道题混合后的浓度更接近高浓度溶液，因此高浓度溶液的质量应多于低浓度溶液。通过十字交叉得到质量比为2:1，因此需要200÷2=100克20%的酒精溶液。 2. 有A、B、C三种盐水，浓度分别为20%、15%和10%。现在要配制浓度为18%的盐水，只能使用A和B，或A和C，请问两种情况下的质量比分别是多少？ 【答案】A和B的质量比3:2，A和C的质量比4:1 【解析】【解答】情况一：A(20%)和B(15%) 使用十字交叉法： 20%盐水 18%-15%=3% \ / 18% / \ 15%盐水 20%-18%=2% 质量比：A : B = 3% : 2% = 3 : 2 情况二：A(20%)和C(10%) 使用十字交叉法： 20%盐水 18%-10%=8% \ / 18% / \ 10%盐水 20%-18%=2% 质量比：A : C = 8% : 2% = 4 : 1 【分析】这道题比较了使用不同浓度的第二种溶液与同一种溶液混合的情况。结果显示，第二种溶液浓度越低，所需质量越少，这符合浓度混合的基本规律。 3. 用浓度为30%的糖水和水混合，配制成浓度为10%的糖水600克，需要30%的糖水和水各多少克？ 【答案】30%糖水200克，水400克 【解析】【解答】水的浓度可以看作0% 使用十字交叉法： 30%糖水 10%-0%=10% \ / 10% / \ 水(0%) 30%-10%=20% 质量比：30%糖水 : 水 = 10% : 20% = 1 : 2 30%糖水质量 = 600 × = 200克 水的质量 = 600 × = 400克 【分析】这道题将水视为浓度为0%的溶液，同样可以用十字交叉法解决。通过计算得到质量比为1:2，因此需要200克30%的糖水和400克水。 4．把20%和30%的糖水混在一起，想配成24%的糖水，可是不小心把比例弄反了，请问配错了的糖水的浓度是多少? 【答案】配错了的糖水浓度为26% 【解析】【解答】解：（30%-24%）：（24%-20%）=3：2 ×30%+（1-）×20%=26% 答：配错了的糖水浓度为26%。 【分析】20%与30%的糖水质量比应为（30%-24%）：（24%-20%）=3：2， 20%糖水的质量与30%糖水的质量的比为2：3， 20%糖水的质量是30%糖水质量的，×30%+（1-）×20%=26%。 5．甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%，求第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升? 【答案】甲种酒精取12升，乙种酒精取30升 【解析】【解答】解：第一次混合时，甲：乙=(62%-58%)： (72%-62%)=2：5； 第二次混合时，甲：乙=(63.25%-58%)： (72%-63.25%)=3：5； 设第一次混合时，甲取了2x 升，乙取了5x升。即： (2x+15)：(5x＋15)=3：5 解得x=6 甲种酒精取：2×6=12（升）；乙种酒精取：5×6=30（升） 答：甲种酒精取12升，乙种酒精取30升。 【分析】利用十字交叉法，先求出第一次取出的甲、乙酒精的重量比，再求出第二次取出的甲、乙的重量比，然后设第一次混合时，甲取了2x 升，乙取了5x升，根据第二次取出的甲、乙的重量比列出方程，即可解决问题。 6．已知甲酒精溶液浓度为50%，乙酒精溶液浓度为30%，现在让甲、乙两种溶液按3：2混合，求混合溶液的浓度是多少? 【答案】混合溶液浓度为42% 【解析】【解答】解：设混合溶液浓度是x%，根据十字交叉法， （50%-x%）=2（x%- 30%） 2x%-60% 210% =5x% x=42 答：混合溶液浓度为42%。 【分析】设混合溶液浓度是x%，根据十字交叉法做出十字交叉图，x%- 30%：50%-x%=甲乙溶液比=3：2，据此列出等式求解即可。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $