第03讲 分数与百分数应用题（一）—— 量率对应（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第03讲 分数与百分数应用题（一）—— 量率对应 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解并掌握“单位‘1’的量”“分率”“对应数量”三者的核心关系（量率对应关系），能准确辨析三者的区别与联系。 2.能快速判断题目中的单位“1”的量（标准量），并精准找出已知数量（比较量）所对应的分率（率）。 3.熟练运用三个基本关系式解决问题： （1）对应数量=单位“1”的量×对应分率（单位“1”已知，用乘法）； （2）单位“1”的量=对应数量÷对应分率（单位“1”未知，用除法，核心考点）； （3）对应分率=对应数量÷单位“1”的量（求分率或百分率）。 4.学会通过画线段图、列表等辅助手段，清晰梳理复杂题目中的数量关系，提升分析和解决分数、百分数应用题的能力。 5.培养逻辑推理能力、逆向思维能力（如倒推法）和综合应用能力，感受数学与实际生活的联系。 知识梳理 知识点一、核心概念 1.单位“1”的量（标准量）：作为参照标准的量，通常是“是、占、比、相当于”后面的量，或“的”字前面的量，视为整体“1”。 2.分率（百分率）：表示一个量是单位“1”的几分之几（或百分之几），不带单位。 3.对应数量（比较量）：与某一分率直接关联的具体数量，带单位。 知识点二、基本关系公式 1.已知单位“1”的量和分率，求对应数量：对应数量=单位“1”的量×对应分率 2.已知对应数量和分率，求单位“1”的量（核心）：单位“1”的量=对应数量÷对应分率 3.已知对应数量和单位“1”的量，求分率：对应分率=对应数量÷单位“1”的量 知识点三、解题关键步骤 1.找单位“1”：根据关键词（“是、占、比、相当于、的”）判断，未知单位“1”时需重点分析量率对应。 2.辨量率对应：明确已知数量（量）对应的分率（率），避免分率与数量不匹配（易错点）。 3.定方法：单位“1”已知用乘法，未知用除法；复杂问题可画线段图辅助分析。 4.验结果：代入原式检验量率是否对应，确保计算准确。 例题讲解 一、理解量率对应基本关系 【例题1】一袋大米重50千克，吃了它的，吃了多少千克？还剩多少千克？ 【例题2】某小学有女生320人，占全校学生总数的。全校共有学生多少人？ 【例题3】一件衣服原价240元，现价是原价的80%，现价多少元？比原价便宜了多少元？ 二、量率对应与单位“1”转换 【例题1】一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的，第二小时行了60千米，这时已行路程与全程的比是1:2。甲乙两地相距多少千米？ 【例题2】一堆煤，第一天运走，第二天运走余下的，还剩12吨。这堆煤原有多少吨？ 【例题3】一件商品，先提价20%，再降价20%，现价144元。原价多少元？ 三、单位“1”转换与不变量 【例题1】甲、乙两筐苹果，甲筐重量是乙筐的。若从乙筐取出5千克放入甲筐，则甲筐重量是乙筐的。甲、乙两筐原来各有多少千克？ 【例题2】某校六年级男生占总人数的60%，后来转走5名男生，转来5名女生，这时女生占总人数的45%。六年级原有学生多少人？ 考点练习 一、理解量率对应基本关系 1.一根绳子长24米，第一次用去，第二次用去，两次共用去多少米？ 2.某工厂计划生产零件1200个，实际完成了计划的125%。实际生产多少个零件？ 3.一本书共360页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩多少页没看？ 4.果园里有桃树400棵，梨树棵数是桃树的，苹果树棵数是梨树的。苹果树有多少棵？ 5.一根钢管长18米，第一次截去，第二次截去余下的，还剩多少米？ 6.六（1）班有45人，男生占，女生有多少人？男生比女生多多少人？ 7.某商店运来一批水果，其中苹果重240千克，梨的重量是苹果的，香蕉的重量是梨的。香蕉有多少千克？ 二、量率对应与单位“1”转换 1.书店运来一批书，第一天卖出总数的，第二天卖出余下的，这时还剩120本。这批书共有多少本？ 2.甲、乙两数的和是120，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？ 3.某厂计划生产一批零件，第一天完成计划的，第二天完成计划的40%，两天共生产零件310个。计划生产多少个零件？ 4.一根绳子，第一次剪去，第二次剪去，两次相差1米。这根绳子原长多少米？ 5.某班男生比女生多10人，男生人数是女生的。女生有多少人？全班有多少人？ 6.某校有学生800人，其中五年级占，六年级占五年级的。六年级有学生多少人？ 7.修一条路，第一天修了全长的，第二天修了200米，两天共修了全长的。这条路全长多少米？ 三、单位“1”转换与不变量 1.有两桶油，第一桶比第二桶多12千克。从两桶中各取出4千克后，第一桶的等于第二桶的。原来两桶油各有多少千克？ 2.一辆汽车从A地到B地，先行了全程的，再行20千米，这时已行路程与未行路程的比是3:2。A、B两地相距多少千米？ 3.加工一批零件，第一天完成总数的，第二天完成余下的，第三天完成第二天余下的，还剩120个。这批零件共有多少个？ 4.甲、乙、丙三人共有钱180元，甲的钱数是乙、丙总数的，乙的钱数是甲、丙总数的。丙有多少钱？ 5.某商品按定价出售，每个可获利45元。按定价的80%出售10个与按定价每个减价25元出售12个所获利润相同。这种商品每个定价多少元？ 6.有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖占25%。这堆糖果中奶糖有多少块？ 7.一本书，小明第一天看了全书的多10页，第二天看了全书的少2页，还剩102页。这本书共有多少页？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分数与百分数应用题（一）—— 量率对应 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解并掌握“单位‘1’的量”“分率”“对应数量”三者的核心关系（量率对应关系），能准确辨析三者的区别与联系。 2.能快速判断题目中的单位“1”的量（标准量），并精准找出已知数量（比较量）所对应的分率（率）。 3.熟练运用三个基本关系式解决问题： （1）对应数量=单位“1”的量×对应分率（单位“1”已知，用乘法）； （2）单位“1”的量=对应数量÷对应分率（单位“1”未知，用除法，核心考点）； （3）对应分率=对应数量÷单位“1”的量（求分率或百分率）。 4.学会通过画线段图、列表等辅助手段，清晰梳理复杂题目中的数量关系，提升分析和解决分数、百分数应用题的能力。 5.培养逻辑推理能力、逆向思维能力（如倒推法）和综合应用能力，感受数学与实际生活的联系。 知识梳理 知识点一、核心概念 1.单位“1”的量（标准量）：作为参照标准的量，通常是“是、占、比、相当于”后面的量，或“的”字前面的量，视为整体“1”。 2.分率（百分率）：表示一个量是单位“1”的几分之几（或百分之几），不带单位。 3.对应数量（比较量）：与某一分率直接关联的具体数量，带单位。 知识点二、基本关系公式 1.已知单位“1”的量和分率，求对应数量：对应数量=单位“1”的量×对应分率 2.已知对应数量和分率，求单位“1”的量（核心）：单位“1”的量=对应数量÷对应分率 3.已知对应数量和单位“1”的量，求分率：对应分率=对应数量÷单位“1”的量 知识点三、解题关键步骤 1.找单位“1”：根据关键词（“是、占、比、相当于、的”）判断，未知单位“1”时需重点分析量率对应。 2.辨量率对应：明确已知数量（量）对应的分率（率），避免分率与数量不匹配（易错点）。 3.定方法：单位“1”已知用乘法，未知用除法；复杂问题可画线段图辅助分析。 4.验结果：代入原式检验量率是否对应，确保计算准确。 例题讲解 一、理解量率对应基本关系 【例题1】一袋大米重50千克，吃了它的，吃了多少千克？还剩多少千克？ 【答案】吃了30千克，还剩20千克。 【解析】【解答】单位“1”是大米总重量（50千克，已知）。 吃了的分率为，对应数量=50×=30（千克）。 剩下的分率为，对应数量=50×=20（千克）。 【分析】直接考查“已知单位‘1’和分率求对应量”。第一问用乘法，第二问需先求剩余分率再计算，避免直接用50-30。 【例题2】某小学有女生320人，占全校学生总数的。全校共有学生多少人？ 【答案】720人。 【解析】【解答】单位“1”是全校学生总数（未知）。 女生人数320人对应分率，全校人数=320÷=320×=720（人）。 【分析】考查“已知对应量和分率求单位‘1’”。关键是找到“女生320人”与“”的对应关系，直接用除法。 【例题3】一件衣服原价240元，现价是原价的80%，现价多少元？比原价便宜了多少元？ 【答案】现价192元，便宜48元。 【解析】【解答】单位“1”是原价（240元，已知）。 现价分率80%，对应数量=240×80%=192（元）。 便宜的分率=1-80%=20%，对应数量=240×20%=48（元）。 【分析】百分数基础应用，需将“现价是原价的80%”转化为量率对应，便宜的分率是隐含条件。 二、量率对应与单位“1”转换 【例题1】一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的，第二小时行了60千米，这时已行路程与全程的比是1:2。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】200千米。 【解析】【解答】已行路程占全程的，第一小时行了，则第二小时行的60千米对应分率=。 设全程为x， x=200 答：甲乙两地相距200千米。 【分析】关键是将“已行路程与全程的比是1:2”转化为分率，再用“第二小时行的60千米”对应分率差（），求单位“1”。 【例题2】一堆煤，第一天运走，第二天运走余下的，还剩12吨。这堆煤原有多少吨？ 【答案】48吨。 【解析】【解答】第二天运走后剩余12吨，对应分率=1-（单位“1”是第一天余下的煤），第一天余下的煤=12÷=36（吨）。 第一天余下的36吨对应分率=1-（单位“1”是原有煤），原有煤=36÷=48（吨）。 【分析】多步分率问题，从剩余量倒推，关键是明确每一步分率的单位“1”，避免直接用12÷（1-）（单位“1”混淆）。 【例题3】一件商品，先提价20%，再降价20%，现价144元。原价多少元？ 【答案】150元。 【解析】【解答】设原价为单位“1”，提价后分率=1+20%=120%，降价后分率=120%×（1-20%）=96%。 原价=144÷96%=150（元）。 【分析】两次价格变化的单位“1”不同（提价单位“1”是原价，降价单位“1”是提价后价格），需分步计算分率，易错点：认为“先提后降20%”原价不变（实际降价幅度更大）。 三、单位“1”转换与不变量 【例题1】甲、乙两筐苹果，甲筐重量是乙筐的。若从乙筐取出5千克放入甲筐，则甲筐重量是乙筐的。甲、乙两筐原来各有多少千克？ 【答案】甲筐75千克，乙筐100千克。 【解析】【解答】设乙筐原重x千克，则甲筐 解得x=110， 甲筐=×110=82.5千克。 【分析】抓住“总重量不变”，用方程法更直接，避免算术法分率转换错误，关键是根据“甲筐变化前后的量率关系”列方程。 【例题2】某校六年级男生占总人数的60%，后来转走5名男生，转来5名女生，这时女生占总人数的45%。六年级原有学生多少人？ 【答案】100人。 【解析】【解答】总人数不变（转走和转来人数相同），设总人数为单位“1”。 原来女生占1-60%=40%，后来女生占45%，分率差=45%-40%=5%，对应数量差5人。 总人数=5÷5%=100人）。 【分析】总人数不变，女生人数增加5人对应分率增加5%，用“数量差÷分率差=单位‘1’”。 考点练习 一、理解量率对应基本关系 1.一根绳子长24米，第一次用去，第二次用去，两次共用去多少米？ 【答案】14米。 【解析】【解答】单位“1”是绳子总长（24米，已知）。 第一次用去分率，对应数量=24×=8（米）。 第二次用去分率，对应数量=24×=6（米）。 两次共用去=8+6=14（米）。 【分析】分率的单位“1”均为总长，直接相加分率再乘单位“1”更简便：24×（）=24×=14（米），体现分率和的应用。 2.某工厂计划生产零件1200个，实际完成了计划的125%。实际生产多少个零件？ 【答案】1500个。 【解析】【解答】单位“1”是计划产量（1200个，已知）。 实际分率125%，对应数量=1200×125%=1200×1.25=1500（个）。 【分析】“完成计划的125%”即“实际比计划多25%”，直接用乘法求对应量，考查百分数与乘法的结合。 3.一本书共360页，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩多少页没看？ 【答案】228页。 【解析】【解答】单位“1”是全书页数（360页，已知）。 两天共看分率=，剩余分率=1-。 剩余页数=360×=228（页）。 【分析】需先求剩余分率，再用单位“1”乘剩余分率，避免分步计算时漏算某一天的页数。 4.果园里有桃树400棵，梨树棵数是桃树的，苹果树棵数是梨树的。苹果树有多少棵？ 【答案】250棵。 【解析】【解答】梨树单位“1”是桃树（400棵，已知），梨树棵数=400×=300（棵）。 苹果树单位“1”是梨树（300棵，已知），苹果树棵数=300×=250（棵）。 【分析】连续量率对应，需分两步计算，每步单位“1”不同，体现“单位‘1’传递”的思想。 5.一根钢管长18米，第一次截去，第二次截去余下的，还剩多少米？ 【答案】6米。 【解析】【解答】第一次截去后余下分率=1-，对应数量=18×=12（米）。 第二次截去余下的，剩余分率=1-，对应数量=12×=6（米）。 【分析】两次分率的单位“1”不同（第一次是总长，第二次是余下长度），需分步找量率对应，易错点：直接用18×（1-）（单位“1”混淆）。 6.六（1）班有45人，男生占，女生有多少人？男生比女生多多少人？ 【答案】女生20人，多5人。 【解析】【解答】女生分率=1-，女生人数=45×=20（人）。 男生人数=45×=25（人），男生比女生多=25-20=5（人）。 【分析】先求女生分率，再求人数差，也可直接用45×（）=5（人），体现“分率差对应数量差”。 7.某商店运来一批水果，其中苹果重240千克，梨的重量是苹果的，香蕉的重量是梨的。香蕉有多少千克？ 【答案】120千克。 【解析】【解答】梨的重量=240×=180（千克）。 香蕉的重量=180×=120（千克）。 【分析】连续两步乘法，单位“1”依次是苹果和梨，考查“多步量率对应”的基础应用。 二、量率对应与单位“1”转换 1.书店运来一批书，第一天卖出总数的，第二天卖出余下的，这时还剩120本。这批书共有多少本？ 【答案】200本。 【解析】【解答】设总数为单位“1”，第一天余下分率=1-。 第二天卖出总数的，剩余分率=1-。 总数=120÷=200（本）。 【分析】将第二天的分率（单位“1”是余下）转化为总数的分率，再求剩余分率，体现“单位‘1’统一”的技巧。 2.甲、乙两数的和是120，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数72，乙数48。 【解析】【解答】由“甲数的=乙数的”得：甲数:乙数=。 总份数=3+2=5，甲数=120×=72，乙数=120×=48。 【分析】通过比例转换将“量率关系”转化为“份数关系”，避免方程，适合六年级奥数思维。 3.某厂计划生产一批零件，第一天完成计划的，第二天完成计划的40%，两天共生产零件310个。计划生产多少个零件？ 【答案】400个。 【解析】【解答】两天共完成分率=+40%=。 计划生产个数=310÷=400。 【分析】分率和对应数量和，关键是将分数与百分数统一为分数或小数，避免计算错误。 4.一根绳子，第一次剪去，第二次剪去，两次相差1米。这根绳子原长多少米？ 【答案】20米。 【解析】【解答】分率差=。 原长=1÷=20（米）。 【分析】分率差对应数量差，单位“1”统一为原长，直接用除法求单位“1”。 5.某班男生比女生多10人，男生人数是女生的。女生有多少人？全班有多少人？ 【答案】女生40人，全班90人。 【解析】【解答】设女生人数为单位“1”，男生分率，分率差=。 女生人数=10÷=40（人），男生人数=40+10=50（人），全班=40+50=90（人）。 【分析】分率差对应数量差（10人），先求单位“1”（女生），再求总量。 6.某校有学生800人，其中五年级占，六年级占五年级的。六年级有学生多少人？ 【答案】100人。 【解析】【解答】五年级人数=800×=160（人）。 六年级人数=160×=100（人）。 【分析】连续量率对应，单位“1”从全校→五年级，需分步计算，也可列综合式：800×=100（人）（约分后更简便）。 7.修一条路，第一天修了全长的，第二天修了200米，两天共修了全长的。这条路全长多少米？ 【答案】800米。 【解析】【解答】第二天修的200米对应分率=。 全长=200÷=800（米）。 【分析】已知两天共修的分率和第一天的分率，求第二天的分率对应量，关键是“分率差=第二天分率”。 三、单位“1”转换与不变量 1.有两桶油，第一桶比第二桶多12千克。从两桶中各取出4千克后，第一桶的等于第二桶的。原来两桶油各有多少千克？ 【答案】第一桶52千克，第二桶40千克。 【解析】【解答】设第二桶原有x千克，则第一桶原有x+12千克。 取出4千克后，第一桶剩x+8，第二桶剩x-4。 由题意：，解得x=40，第一桶=40+12=52。 【分析】用方程法解决“差量不变”（取出相同重量后差仍为12千克），关键是根据“剩余量的量率关系”列方程。 2.一辆汽车从A地到B地，先行了全程的，再行20千米，这时已行路程与未行路程的比是3:2。A、B两地相距多少千米？ 【答案】75千米。 【解析】【解答】已行路程占全程的，分率差=，对应数量20千米。 全程=20÷=75（千米）。 【分析】将“已行:未行=3:2”转化为“已行占”，再求分率差对应20千米，关键是“比与分率的转换”。 3.加工一批零件，第一天完成总数的，第二天完成余下的，第三天完成第二天余下的，还剩120个。这批零件共有多少个？ 【答案】400个。 【解析】【解答】第三天完成后余下120个，对应分率=1-（单位“1”是第二天余下），第二天余下=120÷=180（个）。 第二天余下180个对应分率=1-（单位“1”是第一天余下），第一天余下=180÷=300（个）。 第一天余下300个对应分率=1-（单位“1”是总数），总数=300÷=400（个）。 【分析】多步倒推，每一步分率的单位“1”都是上一步的余下量，需逐层还原，易错点：遗漏某一步分率转换。 4.甲、乙、丙三人共有钱180元，甲的钱数是乙、丙总数的，乙的钱数是甲、丙总数的。丙有多少钱？ 【答案】75元。 【解析】【解答】甲占总钱数的，甲的钱=180×=60（元）。 乙占总钱数的，乙的钱=180×=45（元）。 丙的钱=180-60-45=75（元）。 【分析】将“甲是乙丙总数的”转化为“甲占总钱数的”，利用“部分占整体的分率”求解，关键是“总量不变”。 5.某商品按定价出售，每个可获利45元。按定价的80%出售10个与按定价每个减价25元出售12个所获利润相同。这种商品每个定价多少元？ 【答案】105元。 【解析】【解答】设商品每个定价为x元，成本价为x-45元。 按定价80%出售10个：每个售价0.8x元，利润为0.8x-(x-45)=45-0.2x元，总利润10×(45-0.2x)。 按定价减价25元出售12个：每个售价x-25元，利润为(x-25)-(x-45)=20元，总利润12×20=240元。 由利润相同得方程：10×(45-0.2x)=240，解得x=105。 【分析】根据两种销售方式总利润相等建立等量关系。先求出减价25元时单个利润（20元）及总利润（240元），再表示定价80%出售的总利润，列方程求解定价。 6.有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖占25%。这堆糖果中奶糖有多少块？ 【答案】9块。 【解析】【解答】奶糖数量不变，设奶糖有x块。 原来总糖数=x÷45%=，后来总糖数=x÷25%=4x。 数量差=4x-=16，解得x=9。 【分析】抓住“奶糖不变”，用奶糖数量表示总糖数的变化，避免直接设总糖数）。 7.一本书，小明第一天看了全书的多10页，第二天看了全书的少2页，还剩102页。这本书共有多少页？ 【答案】200页。 【解析】【解答】设全书x页，第一天看，第二天看，剩余x-()-()=102。 x-()=102 x--8=102 =110 x=200。 【分析】含“多/少几页”的量率对应，关键是“用x表示两天看的页数，剩余页数=总页数-两天看的页数”，易错点：漏算“多/少”的页数。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $