第04讲 巧添符号（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第04讲 巧添符号 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解意义与作用：深刻理解在算式中添加运算符号（+、-、×、÷）和括号的作用，能够改变运算顺序和结果，激发对数学思维灵活性的兴趣。 2.掌握核心方法：熟练掌握在数字间添加运算符号和括号使算式成立的常用策略，如“凑数法”、“倒推法”、“尝试法”以及“数字组合法”。 3.提升分析能力：能够仔细观察数字特征和目标结果，分析数字间的关系，选择合适的符号组合，解决具有挑战性的问题。 4.培养创新思维：鼓励多角度思考，尝试不同的符号组合方式，培养创新意识和解决问题的毅力，提升奥数解题能力。 5.接近竞赛水平：通过练习，能够应对难度较大、接近奥数比赛水平的巧添符号问题。 知识梳理 巧添符号问题是指在一些数字串中，按题目要求添加运算符号和括号，使计算结果等于给定的目标数。 知识点一、常用的方法 1.尝试法（凑数法）： 根据目标数，结合数字特点，尝试添加运算符号，逐步凑出目标。适用于数字较少、目标数不太大的题目。 2.倒推法（逆推法）： 从算式的最后一个数字开始，逐步向前倒推，思考前一步运算的结果需要是什么，从而确定括号或运算符号的位置。适用于数字较多或目标数较大的题目。 3.分组法： 将数字进行适当分组，通过组内和组间的运算得到目标数。 4.凑0或凑1法： 利用“a - a = 0”、“a ÷ a = 1”（a≠0）等特性，简化问题。 5.优先考虑括号和高级运算（×、÷）： 括号可以改变运算顺序，×、÷运算对结果的影响更大，有时优先考虑能更快凑出目标。 知识点二、添运算符号（+、-、×、÷） 方法解读：在给定的数字之间（或适当位置）添上“+”、“-”、“×”、“÷”四种运算符号（每种符号可重复使用，也可不使用），使算式的计算结果等于给定的目标数。解答此类问题常用“凑数法”（先凑出与目标接近的数，再调整）和“倒推法”（从结果入手，反推前一步的运算）。 知识点三、添括号（改变运算顺序） 方法解读：在给定的算式中（可能已含有部分运算符号），通过添加括号“( )”来改变运算的优先级和顺序，从而使算式的结果等于目标数。括号可以将其中的运算优先进行，是巧添符号中更高级的技巧。 知识点四、数字组合与符号综合运用 方法解读：在数字间不仅可以添加运算符号和括号，还可以将相邻的数字组合成一个更大的数（例如将1和2组合成12或21，通常按原顺序组合），然后再添加运算符号和括号使算式成立。这种题目综合性强，难度更大，需要综合运用数字组合、运算符号和括号。 例题讲解 一、添运算符号（+、-、×、÷） 【例题1】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 1 1 1 1 1 = 5 【例题2】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 4 4 4 4 = 2 二、添括号（改变运算顺序） 【例题1】在下面算式中添上括号，使算式成立。 100 - 80 +8 +8 - 8 = 28 【例题2】在下面算式中添上括号，使算式成立。 9 + 9 ÷ 9 + 9 × 9 = 9 三、数字组合与符号综合运用 【例题1】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，使算式成立。 5 5 5 5 = 30 【例题2】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 2 3 4 = 28 【例题3】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= 2023 考点练习 一、添运算符号（+、-、×、÷） 1.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 1 2 3 4 5 = 5 2.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 1 2 3 4 = 24 3.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。(允许数字组合) 2 2 2 2 2 = 28 4.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 9 9 9 9 = 100 二、添括号（改变运算顺序） 1.在下面算式中添上括号，使算式成立。 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 = 55 2.在下面算式中添上括号，使算式成立。 3 × 3 + 3 × 3 + 3 = 243 3.在下面算式中添上括号，使算式成立。 5 + 7 × 8 + 12 ÷ 4 - 2 = 20 4.在下面算式中添上括号，使算式成立。 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 × 7 + 8 × 9 = 303 5.在下面算式中添上括号，使算式成立。 24 ÷ 4 + 2 × 4 - 2 = 2 三、数字组合与符号综合运用 1.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 2 3 4 5 = 33 2.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 3.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 9 9 9 9 9 = 20 4.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2000 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 巧添符号 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解意义与作用：深刻理解在算式中添加运算符号（+、-、×、÷）和括号的作用，能够改变运算顺序和结果，激发对数学思维灵活性的兴趣。 2.掌握核心方法：熟练掌握在数字间添加运算符号和括号使算式成立的常用策略，如“凑数法”、“倒推法”、“尝试法”以及“数字组合法”。 3.提升分析能力：能够仔细观察数字特征和目标结果，分析数字间的关系，选择合适的符号组合，解决具有挑战性的问题。 4.培养创新思维：鼓励多角度思考，尝试不同的符号组合方式，培养创新意识和解决问题的毅力，提升奥数解题能力。 5.接近竞赛水平：通过练习，能够应对难度较大、接近奥数比赛水平的巧添符号问题。 知识梳理 巧添符号问题是指在一些数字串中，按题目要求添加运算符号和括号，使计算结果等于给定的目标数。 知识点一、常用的方法 1.尝试法（凑数法）： 根据目标数，结合数字特点，尝试添加运算符号，逐步凑出目标。适用于数字较少、目标数不太大的题目。 2.倒推法（逆推法）： 从算式的最后一个数字开始，逐步向前倒推，思考前一步运算的结果需要是什么，从而确定括号或运算符号的位置。适用于数字较多或目标数较大的题目。 3.分组法： 将数字进行适当分组，通过组内和组间的运算得到目标数。 4.凑0或凑1法： 利用“a - a = 0”、“a ÷ a = 1”（a≠0）等特性，简化问题。 5.优先考虑括号和高级运算（×、÷）： 括号可以改变运算顺序，×、÷运算对结果的影响更大，有时优先考虑能更快凑出目标。 知识点二、添运算符号（+、-、×、÷） 方法解读：在给定的数字之间（或适当位置）添上“+”、“-”、“×”、“÷”四种运算符号（每种符号可重复使用，也可不使用），使算式的计算结果等于给定的目标数。解答此类问题常用“凑数法”（先凑出与目标接近的数，再调整）和“倒推法”（从结果入手，反推前一步的运算）。 知识点三、添括号（改变运算顺序） 方法解读：在给定的算式中（可能已含有部分运算符号），通过添加括号“( )”来改变运算的优先级和顺序，从而使算式的结果等于目标数。括号可以将其中的运算优先进行，是巧添符号中更高级的技巧。 知识点四、数字组合与符号综合运用 方法解读：在数字间不仅可以添加运算符号和括号，还可以将相邻的数字组合成一个更大的数（例如将1和2组合成12或21，通常按原顺序组合），然后再添加运算符号和括号使算式成立。这种题目综合性强，难度更大，需要综合运用数字组合、运算符号和括号。 例题讲解 一、添运算符号（+、-、×、÷） 【例题1】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 1 1 1 1 1 = 5 【答案】1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 【解析】5个1直接相加，1+1+1+1+1=5。 【分析】虽然简单，但考察学生是否会被“复杂运算”迷惑，有时候最直接的方法反而有效。 【例题2】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 4 4 4 4 = 2 【答案】4 ÷ 4 + 4 ÷ 4 = 2 【解析】4÷4=1，4÷4=1，1+1=2。 【分析】运用除法得到两个1，再相加得2。考查对除法和加法的综合运用。 二、添括号（改变运算顺序） 【例题1】在下面算式中添上括号，使算式成立。 100 - 80 +8 +8 - 8 = 28 【答案】100 - 80 + (8 +8 -8) =20+8 =28。 【解析】先算括号内8+8-8=8，再算100-80=20，20+8=28。 【分析】通过添加括号改变运算顺序，使部分加减运算优先进行，从而凑出目标。 【例题2】在下面算式中添上括号，使算式成立。 9 + 9 ÷ 9 + 9 × 9 = 9 【答案】(9 + 9) ÷ (9 + 9) × 9 = 18÷18×9 =9。 【解析】先算括号内9+9=18，9+9=18，再算18÷18=1，1×9=9。 【分析】通过添加括号，使加法优先，再进行除法和乘法运算，从而得到较小的结果。 三、数字组合与符号综合运用 【例题1】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，使算式成立。 5 5 5 5 = 30 【答案】5 × (5 + 5 ÷ 5 ) = 5 × (5 + 1) = 26 【解析】5÷5=1，5+1=6，5×6=30。 【分析】需要用到乘、除法和括号改变运算顺序。 【例题2】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 2 3 4 = 28 【答案】1 + 23 + 4 = 28 【解析】将2和3组合成23，1+23=24，24+4=28。 【分析】通过组合“2”和“3”得到23这个较大的数，再进行简单的加法运算即可得到目标结果。 【例题3】在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= 2023 【答案】2222 - 222 + 22 + 2 ÷ 2 = 2000 + 22 +1 =2023 (或其他复杂组合) 【解析】2222-222=2000，2000+22=2022，2÷2=1，2022+1=2023。 【分析】超高难度，需要组合出较大的数（2222, 222, 222），并精确调整差额。 考点练习 一、添运算符号（+、-、×、÷） 1.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 1 2 3 4 5 = 5 【答案】1 + 2 + 3 + 4 - 5 = 5 【解析】1+2=3，3+3=6，6+4=10，10-5=5。 【分析】通过逐步加减运算，凑出目标结果5。考查对基本运算的灵活运用。 2.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 1 2 3 4 = 24 【答案】1×2×3×4=24 【解析】因为24是一个常见的目标数，且1、2、3、4是较小的连续自然数。尝试乘法：1×2=2，2×3=6，6×4=24。刚好凑出24。 【分析】本题考查对乘法运算的敏感度和基本的“凑24”技巧。对于较小数字，优先尝试乘法组合是常见策略。 3.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。(允许数字组合) 2 2 2 2 2 = 28 【答案】22 + 2 + 2 + 2 = 28 【解析】将前两个2组合成22，22+2+2+2=28。 【分析】当单个数字运算难以达到目标时，考虑将相邻数字组合成较大的数，是重要的解题策略。此题为“数字组合”知识点做铺垫。 4.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使算式成立。 9 9 9 9 = 100 【答案】99 + 9 ÷ 9 = 100 【解析】99接近100，9÷9=1，99+1=100。 【分析】先组合出接近目标的数（99），再用剩余数字通过简单运算凑出差额（1）。综合运用了数字组合和除法运算。 二、添括号（改变运算顺序） 1.在下面算式中添上括号，使算式成立。 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 = 55 【答案】(1 + 2) × 3 + 4 × 5 + 6 = 3×3+20+6 =9+20+6 =35。 【解析】添括号改变运算顺序，先算(1+2)=3，3×3=9，再依次计算。 【分析】考查对括号改变运算顺序的理解。需要尝试不同的括号添加位置。 2.在下面算式中添上括号，使算式成立。 3 × 3 + 3 × 3 + 3 = 243 【答案】3 ×（3 + 3）× （3 + 3 ）= 243 【解析】3+3=9，3+3=9，3× 9=27，27×9=243 【分析】考查对括号改变运算顺序的理解。需要尝试不同的括号添加位置。 3.在下面算式中添上括号，使算式成立。 5 + 7 × 8 + 12 ÷ 4 - 2 = 20 【答案】5 + (7 × 8 + 12) ÷ 4 - 2 =5 + (56+12) ÷4 -2 =5+17-2 =20。 【解析】先算括号内7×8+12=56+12=68，再算68÷4=17，然后5+17=22，22-2=20。 【分析】通过添加括号改变运算顺序，使加法和乘法优先于除法和减法运算。 4.在下面算式中添上括号，使算式成立。 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 × 7 + 8 × 9 = 303 【答案】(1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6) × 7 + 8 × 9 = (1+6+20+6)×7+72 =33×7+72 =231+72 =303。 【解析】添括号改变运算顺序，先算括号内1+2×3+4×5+6=33，再算33×7=231，8×9=72，最后231+72=303。 【分析】考查对复杂算式添加括号，综合运用加减乘除运算。 5.在下面算式中添上括号，使算式成立。 24 ÷ 4 + 2 × 4 - 2 = 2 【答案】24 ÷[(4 + 2)× (4 - 2) ] =4×1=4。 【解析】添多层括号，先算4+2=6，4-2=2，再算6×2=12，24 ÷12=2。 【分析】考查多层括号的运用，以及对运算顺序的精细控制。 三、数字组合与符号综合运用 1.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 2 3 4 5 = 33 【答案】1 + 23 + 4 + 5 = 33 【解析】将2和3组合成23，1+23=24，24+4=28，28+5=33。 【分析】与上一题类似，通过组合中间两个数字得到一个两位数，简化计算。 2.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 【答案】123 - 45 - 67 + 89 = 100 (或 1 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9 = 100 等多种解法) 【解析】组合123、45、67、89，123-45=78，78-67=11，11+89=100。 【分析】非常经典的数字组合与符号运用题。解题关键在于大胆组合数字，尝试不同的组合方式，并配合运算符号使结果接近100。 3.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 9 9 9 9 9 = 20 【答案】9 + 9 + (9 + 9) ÷ 9 = 20 【解析】9+9=18，9+9=18，18÷9=2，18+2=20。 【分析】综合运用加减除和括号，组合部分数字进行运算。 4.在下面数字间添上“+”、“-”、“×”、“÷”或括号，并可以将相邻数字组合成一个数，使算式成立。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2000 【答案】(1111 - 111) × (1 + 1) = 1000 × 2 =2000。 【解析】组合1111和111，1111-111=1000，1+1=2，1000×2=2000。 【分析】需要较大的数字组合和乘法运算来达到2000。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $