精品解析： 广东省湛江二中港城中学2021-2022学年九年级上学期开学收心考数学试卷

2021-2022学年广东省湛江二中港城中学九年级（上）收心考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】解：、为一元二次方程，所以选项符合题意； 、为一元一次方程，所以选项不符合题意； 、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以选项不符合题意； 、为分式方程，所以选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义． 2. 五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 2、40 B. 42、38 C. 40、42 D. 42、40 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得． 【详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42， 将这组数据从小到大排序为：37，38，40，42，42，所以这组数据的中位数为40， 故选D． 【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数． 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ） A. （1，3） B. （0，1） C. （0，—3） D. （2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标． 【详解】解：观察图象发现图象与轴交于点和， 对称轴为， 顶点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大． 4. 已知一次函数y＝kx﹣k，若函数值y随着自变量x值的增大而增大，则该函数的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣k，函数值y随着自变量x值的增大而增大， ∴k＞0， ∴﹣k＜0， ∴此函数的图象经过一、三、四象限． 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k>0，b＞0时，函数图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；当k>0，b<0时，函数图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；当k<0，b>0时，函数图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；当k<0，b<0时，函数图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小. 5. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为分，分，，，那么成绩较为整齐的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义知，方差越小，波动性越小，进而即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴＜， ∴成绩较为整齐的是甲班． 故选：A． 【点睛】本题考查方差的意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 6. 关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（　　） A. 有实数根 B. 无实根 C. 有两个相等实根 D. 有两个不相等的实根 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，求出△可得答案． 【详解】解：△ ， 方程有两个不相等的实根， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根． 7. 二次函数的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象：的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，从而判断C；根据图象，当或时，抛物线落在轴的上方，则，进而判断D． 【详解】解：A、由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意； B、抛物线与轴的交点坐标为、， 抛物线的对称轴为直线，正确，故B选项不符合题意； C、因为，所以，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大，正确，故C选项不符合题意； D、由图象可知，当或时，，错误，故D选项符合题意； 故选：D． 8. 已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（　　） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长 【详解】解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10． 故选：A． 【点睛】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 9. 关于函数y=ax2和函数y=ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y=ax+a经过第一、二、三象限， a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y=ax+a经过第二、三、四象限， D选项符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论． 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y≤0时，x的取值范围是_____． 【答案】x≤2 【解析】 【分析】根据图象的性质，当y≤0即图象在x轴下侧，x≤2． 【详解】根据图象和数据可知，当y≤0即图象在x轴下侧，x≤2． 故答案为x≤2 【点睛】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力． 12. 若二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2的图象经过原点，则m的值等于___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得m≠1，将（0,0）代入二次函数，即可求得m的值． 【详解】解：∵y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2是二次函数， ∴m﹣1≠0，即m≠1 又∵图象经过原点， ∴当x＝0时有m2﹣3m+2＝0， 解得m＝2或m＝1， 又∵m≠1， ∴m＝2， 故答案为2． 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键，易错点是容易忽略二次项系数不能为0． 13. 已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=_____． 【答案】8 【解析】 【分析】把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的形式，从而得到q的值． 【详解】解：x2+6x+9=8， （x+3）2=8． 所以q=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 14. 二次函数在范围内的最大值为___． 【答案】36 【解析】 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远函数值越大， ∵离对称轴的距离远， 当时，有最大值为：， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 所得到的抛物线的解析式为：， 故答案为：． 16. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入，得， 所以， 所以． 故答案为：6． 17. 已知二次函数（为常数）的图象上的两点、，若，且，则与的大小关系为________．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可知该函数图象开口朝上，且对称轴为，据此根据抛物线的性质结合题意进一步判断即可. 【详解】由题意得：该函数开口朝上，且对称轴为， ∴在对称轴左侧，随增大而减小；在对称轴右侧，随增大而增大， ∵， ∴点A、B分别位于对称轴左右两侧， 又∵， ∴点B与对称轴的距离大于点A与对称轴的距离， ∴， 故答案为：<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 19. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式假设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 【详解】解：设解析式为：， 将代入得出：， 解得：． 故这个二次函数的解析式为：． 20. 已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）设点在（1）中函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）由于与成正比例，则可设，然后把，代入可得到关于的方程，求出即可得到与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的关系式中得到关于的方程，然后解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意，设， 把，代入得，解得， 所以与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 所以． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高（单位：cm）如图表所示： 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 （1）分别计算两种小麦的平均苗高． （2）哪种小麦的长势比较整齐？为什么？ 【答案】（1）=8；=8；（2）甲种小麦的长势比较整齐． 【解析】 【分析】（1）分别计算出两种小麦高度的平均数即可； （2）先分别计算出两种小麦高度的方差，方差较小的比较整齐． 【详解】解：（1）， ； （2）S2甲=， S2乙=， ∵S2甲＜S2乙， ∴甲种小麦的长势比较整齐． 【点睛】本题主要考查了平均数和方差的意义，平均数反映了数据的平均状况、方差反映了数据的稳定程度． 22. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）27． 【解析】 【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 【详解】解：（1）设投资平均增长率x，根据题意得：， 解得，(不符合题意舍去) 答：政府投资平均增长率为50%； （2）由题意得(万平方米) 答：2015年建设了27万平方米廉租房． 23. 如图，直线l1的解析式为y＝﹣x+2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点C（﹣1，m），且与x轴交于点A （1）求点C的坐标及直线l2的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）C（﹣1，3），y＝2x+5；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法求出C点坐标，然后再根据D、C两点坐标求出直线l2的解析式； （2）首先根据两个函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出的面积即可． 【详解】解：（1）∵直线l1的解析式为y＝﹣x+2经过点C（﹣1，m）， ∴m＝1+2＝3， ∴C（﹣1，3）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∵经过点D（0，5），C（﹣1，3）， ∴ ， 解得：， ∴直线l2的解析式为y＝2x+5； （2）由得： 当y＝0时，2x+5＝0， 解得：， 则 由， 当y＝0时，﹣x+2＝0 解得x＝2， 则B（2，0）， 的面积． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，同时考查了坐标与图形的面积，掌握以上知识是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表： 销售单价x（元/千克） 55 60 n 70 销售量y（千克） 70 m 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式． （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）为保证某天获得600元销售利润，则该天的销售单价应定为60元千克或80元千克． （3）当销售单价定为70元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键； （1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得： ， 解得：． 与之间函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得，． 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元千克或80元千克． 【小问3详解】 解：设当天的销售利润为元，则： ， ， 当时，． 答：当销售单价定为70元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过点A、C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标； （3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）（，0）；（3）存在，点G的坐标为（0，）． 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的性质求得点A、C的坐标，然后把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）设点E的坐标为（e，0），则AE=4-e，根据勾股定理列方程可得点E的坐标； （3）利用轴对称-最短路径方法得点G，先计算B'D的解析式，令x=0可得点G的坐标． 【详解】解：（1）如图1，对于直线y=x﹣2，令y=0，得x=4， 令x=0，得y=﹣2， ∴点A（4，0），点C（0，﹣2）， 将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）如图2，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e，0），则AE=4﹣e， 在Rt△COE中， 根据勾股定理得：CE2=OC2+OE2=22+e2， ∵AE=CE， ∴(4﹣e)2=22+e2， 解得：e=， 则点E的坐标为（，0）； （3 ） 存． 如图3，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（﹣1，0），连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点． ∵， ∴顶点D（，）， 设直线B′D的解析式为y=kx+d（k≠0）， 则，解得：， ∴直线B′D的解析式为， 当x=0时，， ∴点G的坐标为（0，）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用，轴对称、待定系数法等知识，解题的关键是，学会利用参数构建方程解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年广东省湛江二中港城中学九年级（上）收心考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 2、40 B. 42、38 C. 40、42 D. 42、40 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ） A. （1，3） B. （0，1） C. （0，—3） D. （2，1） 4. 已知一次函数y＝kx﹣k，若函数值y随着自变量x值增大而增大，则该函数的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 5. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为分，分，，，那么成绩较为整齐的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定 6. 关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（　　） A. 有实数根 B. 无实根 C. 有两个相等实根 D. 有两个不相等的实根 7. 二次函数的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 8. 已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（　　） A 10 B. 8 C. 8或10 D. 不能确定 9. 关于函数y=ax2和函数y=ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y≤0时，x的取值范围是_____． 12. 若二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2的图象经过原点，则m的值等于___． 13. 已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=_____． 14. 二次函数在范围内的最大值为___． 15. 在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为___________． 16. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于___________． 17. 已知二次函数（为常数）的图象上的两点、，若，且，则与的大小关系为________．（填“>”或“<”或“=”） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18. 解方程： （1） ； （2）． 19 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，求这个二次函数的解析式． 20 已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）设点在（1）中函数的图象上，求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高（单位：cm）如图表所示： 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 （1）分别计算两种小麦的平均苗高． （2）哪种小麦的长势比较整齐？为什么？ 22. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 23. 如图，直线l1的解析式为y＝﹣x+2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点C（﹣1，m），且与x轴交于点A （1）求点C的坐标及直线l2的解析式； （2）求的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表： 销售单价x（元/千克） 55 60 n 70 销售量y（千克） 70 m 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式． （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过点A、C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标； （3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $