精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年上海市曹杨二中高三年级上学期开学考 数学试卷 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知为虚数单位，复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模长的运算，即可求解. 【详解】根据题意，复数，根据复数模长的计算，可得. 故答案为：. 2. 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________． 【答案】π. 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得. 【详解】解： 其中 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的性质与二倍角公式、辅助角公式，属于基础题. 3. 若事件与事件相互独立，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用对立事件概率公式和独立事件乘法公式求得，再利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 4. 展开式的常数项为______. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的常数项为, 故答案为： 5. 若单位向量满足，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 6. 已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可以求出母线长，进而可以求出结果. 【详解】 如图所示，为底面圆心，，，则， 在中由等面积可知， 即， 又因为，即， 则， 则该圆锥的侧面积为， 故答案为：. 7. 若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由等差数列前n项和的性质求得，然后利用等比中项的概念求解即可. 【详解】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 故答案为： 8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及可推出函数的周期，利用周期即可得解. 【详解】根据题意，因为为奇函数且满足. 所以，即， 所以， 所以是周期为4的周期函数， ， 因为， 所以， 故答案为： 9. 设､分别是双曲线(，)的左､右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值． 【详解】设双曲线的半焦距为， 由双曲线的渐近线方程，可得， 则， 在中，，， 由余弦定理可得 ． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用. 10. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系, 则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 11. 若对恒成立，则的取值范围是__________; 【答案】 【解析】 【分析】设，利用导数研究其单调性，将问题转化为，即，设，再利用导数求其最大值，最后求出的取值范围． 【详解】解：设，则， 在上单调递增， 由对恒成立， 得，即， 则，即． 设，则， 当时，，当时，， 故． 的取值范围是． 故答案为：． 12. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值，进而确定满足条件的数列. 【详解】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，； 当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，； 当时，或或， 或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，， 当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，； 综上所述：满足条件的数列有、、，共个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的各项，解题关键是能够根据能成立的等式，分析出各项所有可能的取值，并剔除不合题意的取值，考查了学生的分析和逻辑推理能力. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线,满足，所以，则. 所以准线方程是. 故选A. 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 15. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4 C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：B． 16. 已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）． A. 0 B. 338 C. 674 D. 1012 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； 【小问2详解】 由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且． （1）求证：CE⊥平面PBD； （2）求二面角P－CE－A的余弦值． 【答案】（1） 设BD与CE相交于点H， 因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 由，，得， 因此，， 可得， 因为， 所以，即， 又因为，，平面, 所以CE⊥平面PBD； （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的定义证明，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则，，， 所以，， 设平面PCE的一个法向量， 则，即， 令，则，，于是， 平面ACE的一个法向量为， 则， 由图形可知二面角P－CE－A为锐角， 所以二面角P－CE－A的余弦值是． 19. 据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 跟团游 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； （2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析，有关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，根据独立性检验的基本思想，即可得结论； （2）由分层抽样确定14人的分布情况，若这7个人中老年与青壮年人数分别为，得，应用超几何分布概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 补充列联表： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 40 100 跟团游 20 50 70 合计 80 90 170 ， 因此有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； 【小问2详解】 用分层抽样从跟团游中抽取14个人，则从青壮年组中抽取人，从中老年组山抽取人， 从14个人中随机抽取7个人，若这7个人青壮年于中老年人数分别为， 则，相应的，则， 则，. 的分布列为的分布列为： 1 3 5 7 . 20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值． （3）设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）最小值是，最大值是3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程，求出即可得到椭圆方程； （2）设，由得：，再根据两点间的距离公式及点在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可； （3）设直线的方程为，，求出M，N两点的横坐标，再联立与的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出的值，从而可得直线的定点坐标． 【小问1详解】 依题意，，故椭圆方程为：， 又椭圆过，于是有，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，由得：， 因为点在椭圆上，所以， 所以 因为，所以，当时，有最小值为， 当时，有最大值为3； 【小问3详解】 由（1）知，依题意，设直线的方程为， ，直线的方程为， 令，得点的横坐标为， 同理得点的横坐标为， 由消去并整理得，， ，即， ，， 因此， ， 即，解得， 直线的方程为，过定点，所以直线过定点． 21. 设函数，直线是曲线在点处的切线. （1）当时，求单调区间； （2）求证：不经过； （3）当时，设为与轴的交点，点与分别表示和的面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ 【答案】（1）递减区间为，递增区间为； （2）证明见解析； （3）存在，2个 【解析】 【分析】（1）在时，利用导数即可得到函数的单调区间； （2）先求出函数在处的切线方程，假设切线过原点，推得，再设，利用求导推出该函数在上无零点，从而引出矛盾，即可得证； （3）依题可得，，由可推得，设，求导判断其单调性和极值取得，利用零点存在定理判断函数在上有两个零点，即得结论. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为， 则， 当时， 在上单调递减； 当时， 在上单调递增， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 依题意，，切线的斜率为， 则切线的方程为，假设切线过原点， 将代入，得，即， 则，即， 令，求导得， 则在上单调递增，于是，函数在上无零点，即假设不成立， 切线不过. 【小问3详解】 当时，由（2）知，， 由，得，即， 即，整理得， 令， 求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值为， 极小值为， 又 当且时，， 即，因此函数在上有两个零点， 存在点使得且点有两个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市曹杨二中高三年级上学期开学考 数学试卷 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知为虚数单位，复数，则______. 2. 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________． 3. 若事件与事件相互独立，，，则______. 4. 展开式的常数项为______. 5. 若单位向量满足，则在方向上的数量投影为______. 6. 已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___． 7. 若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则______. 9. 设､分别是双曲线(，)的左､右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________. 10. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 11. 若对恒成立，则的取值范围是__________; 12. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4 C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8 16. 已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）． A. 0 B. 338 C. 674 D. 1012 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且． （1）求证：CE⊥平面PBD； （2）求二面角P－CE－A的余弦值． 19. 据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 跟团游 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； （2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值． （3）设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点． 21. 设函数，直线是曲线在点处的切线. （1）当时，求单调区间； （2）求证：不经过； （3）当时，设为与轴的交点，点与分别表示和的面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $