1.3勾股定理的应用同步课时练习 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

1.3勾股定理的应用同步课时练习 一．选择题 1．如图，一根木杆在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端4m处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（　　） A．6m B．7m C．8m D．9m 2．如图，是一个可调节平板支架的结构示意图，已知平板宽度AB为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝15cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是（　　） A．8cm B．9cm C．7cm D．7.2cm 3．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐AB＝AC＝10米，横梁BC＝16米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（　　） A．5米 B．12米 C．8米 D．16米 4．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 5．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点Q，R处，此时两船的距离是（　　） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 6．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，m和m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　） A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m 7．如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为5cm，高为24cm（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（　　） A．24cm B．25cm C．26cm D．28cm 8．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一文，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，芦苇的长度是（　　）尺． A．10 B．12 C．13 D．15 9．如图，将一扇卷闸门用一块两直角边分别为12cm和5cm的直角三角形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起（　　） A．5cm B．7cm C．12cm D．13cm 10．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m． A． B． C．6 D． 11．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 二．填空题 12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　 米． 13．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为　 　 m． 14．如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　 　 m． 15．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AB水平放置，则刚好与AD一样长，已知滑梯的高度BC＝3m，CD＝1m，BC⊥AD，则滑梯的水平距离AC的长度为 　 　 m． 16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　 米． 17．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB为1尺，将它往前水平推送10尺，即A′C＝10尺，此时秋千踏板离地的距离A′D与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索OA长为x尺，则可列方程为　 　 ． 三．解答题 18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测AB＝8dm，BC＝8dm，CD＝12dm，AD＝17dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（∠ABD＝90°即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 19．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝9m，DA＝12m，BC＝8m，CD＝17m，求出空地ABCD的面积． 20．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 21．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离BC的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米． ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD长为1.6米． （1）求风筝到地面的距离线段AD的长； （2）如果小龙想要风筝沿CA方向再上升11米，BC和CD的长度不变，则他应该再放出多少米线？ 22．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米到点M，则他应该往回收线多少米？ 23．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC＝90°． （1）施工人员测量的是点 　 　 与点 　 　 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若∠EGF＝90°，EF＝10m，EG＝8m，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B D C C C D B A 二．填空题 12．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 13．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2， 解得，x＝12． 答：旗杆的高度为12米． 14．解：如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC， ∴BDBC（m）， 在Rt△ABD中，AD＝1.2， ∴AB＝AC1.3（m）， ∴绳长为1.3×2＝2.6（m）； 故答案为：2.6． 15．解：设滑梯的水平距离AC的长度为x m， 则AB＝AD＝AC+CD＝（x+1）m， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2， 即：x+1）2＝32+x2， 解得：x＝4， 即滑梯的水平距离AC的长度为4m， 故答案为：4． 16．解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 17．解：由题意得：AB为1尺，A′C＝10尺，A′D＝5尺，设绳索OA＝OA′长为x尺， 在直角三角形A′OC中，由勾股定理得：102+（x+1﹣5）2＝x2， 故答案为：102+（x+1﹣5）2＝x2． 三．解答题（共6小题） 18．解：该车符合安全标准，理由如下： 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+BD2＝AD2， ∴BD2＝AD2﹣AB2＝172﹣82＝225（dm2）， ∵BC2+CD2＝82+122＝208（dm2）， ∴BC2+CD2≠BD2， ∴△BCD不是直角三角形，且∠BCD≠90°， ∴该车不符合安全标准． 19．解：如图，连接BD， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝92+122＝152， 在△CBD中，CD2＝172，BC2＝82， 而82+152＝172， 即BC2+BD2＝CD2， ∴△DBC为直角三角形， ∴∠DBC＝90°， ， 答：空地ABCD的面积114m2． 20．解：（1）设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12 答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得b． 21．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝24，AB＝25， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴， 则AD＝AC+CD＝7+1.6＝8.6； 答：风筝到地面的距离线段AD的长为8.6米； （2）风筝沿CA方向再上升11米后，则AC＝11+7＝18， 此时在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝24，AC＝18， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴风筝线的长， ∴30﹣25＝5（米）， 答：他应该再放出5米的风筝线． 22．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得， CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， ∴CD＝16（负值舍去）， ∴CE＝CD+DE＝16+1.6＝17.62（米）， 答：风筝的高度CE为17.6米； （2）由题意得，CM＝11 米， ∴DM＝5 米， ∴BM13 （米）， ∴BC﹣BM＝20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 23．解：（1）连接AC， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵AC2+BC2＝92+122＝225， 如果AC＝15m， ∴AC2＝152＝225， ∴AB2+BC2＝AC2；， ∴∠ABC＝90°， 故答案为：A，C； （2）∵AD2+AC2＝82+152＝289，DC2＝172＝289， ∴AD2+AC2＝DC2， ∴∠DAC＝90°， ∴S△DACAD•AC8×15＝60（m2）， S△ACBAB•AC9×12＝54（m2）， ∴四边形ABCD的面积＝60+53＝114（m2）， ∴建造绿化地的费用100×114＝11400元； （3）∵∠EGF＝90°，EF＝10m，EG＝8m， ∴FG6（m）， ∵GH⊥EF， ∴S△EGFEG•FGEF•GH， ∴HGm， ∴方案一：铺设管道所花的费用＝（6+8）×50＝700（元）， 方案二：铺设管道所花的费用＝（10）×50＝740（元）， 答：铺设管道所需的最少费用为700元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 12:23:44；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $