第一章勾股定理测试题 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 甘肃省酒泉市酒泉三中2025-2026学年度 八年级数学第一章勾股定理测试题 (北师大版八上) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共21小题，每小题3分，共63分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，若，则的面积为(    ) A. B. C. D. 2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 3.某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，过点作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得等于(    ) A. B. C. D. 6.公园中有两条近似垂直的绿道，一条长米，一条长米，现打算再修一条连接两条绿道端点和的笔直小径，则小径的长可能为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，，两半圆的面积分别为和，则半圆的面积为(    ) A. B. C. D. 9.观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数例如：，，现有一个直角边为的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”当，时，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 11.如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在四边形中，，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 13.下列选项中图中三角形都是直角三角形，不能用来验证勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 14.汕尾城区“网红打卡景点”小岛渔村屿仔岛，为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥如图，在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为(    ) A. B. C. D. 15.为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高米的点拉了一根长米的钢丝，另一头固定在地面的处接头处长度不计，则点与木桩底部的距离应为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 16.如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为(    ) A. B. C. D. 17.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为(    ) A. B. C. D. 18.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 点到直线的距离是 19.如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵大树折断前的高度为(    ) A. B. C. D. 20.如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是，则该阴影正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 21.已知圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 22.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了米，木板顶端向下滑动了米，则木板的长为          米． 23.如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为          ． 24.如图，点是长方形边上的一个动点，从点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是当运动时间为或时，点均满足，则的长为          ． 25.中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形屋脊，图是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑．若米，米，为的中点，于点，则的长度为          米． 26.某手工课上，小明尝试用个边长为的小正方形纸片按如图方式剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为          ． 27.如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是，则图中阴影正方形的面积之和为          ． 三、解答题：本题共3小题，共23分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 28.本小题分 综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图所示的环保笔筒． 【实践探索】 求出步骤中裁剪出的包装纸的面积；结果保留 如图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．结果保留和根号 有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中坡度最小时，铅笔能露出外面吗？ 29.本小题分 【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【方法应用】：如图，在中，，，． 请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； 除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 30.本小题分 综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明      组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度，量角器 测量示意图                  如图所示，平台处荡秋千到平台处，垂直于地面，点为秋千静止时在上的位置．过平台、分别作的垂线段、，即于点，于点． 测量数据 测量项目 测量大小 点距地面高度 的长度 的长度 的大小 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． 请求出秋千离地面的最小距离． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题主要考查了完全平方公式的变形，勾股定理．利用完全平方公式可得，再由勾股定理可得即可求解． 【详解】解：， ． ， ， ，则的面积为． 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意，可知中间小正方形的边长为，每一个直角三角形的面积为， 大正方形的面积为， ， ， 或舍去． 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设图中八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则． 由题意，得，，， ， ， ， 即， ． 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．只要比较较小两个数的平方和与第三个数的平方是否相等即可． 【详解】解：，不能组成直角三角形，故不符合题意； B.，，，能组成直角三角形，故符合题意； C.，，，不能组成直角三角形，故不符合题意； D.，，，不能组成直角三角形，故不符合题意． 故选B． 5.【答案】  【解析】通过观察每次作垂线后线段长度的变化规律，利用勾股定理推导出的表达式，进而求出的值．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并找出线段长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：，． ，， ， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据“近似垂直”确定长度的合理范围，并结合直角三角形斜边的近似值筛选选项． 【详解】解：两条绿道近似垂直，构成直角三角形，两直角边为米、米， 根据勾股定理，斜边 ，即米理论值． 因为是近似垂直，长度接近米，选项中米符合． 故选：． 7.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据作图得出，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，． 分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ， 的周长为． 故选：． 8.【答案】  【解析】本题主要考查了勾股定理以及圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，再分别计算出两半圆的面积分别，，然后由半圆的面积，即可得出结果． 【详解】解：，  ． 两半圆的面积分别为和， ， ， 半圆的面积 ． 故选：． 9.【答案】  【解析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为时，可设另一条直角边为，斜边为，其中，解得，进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，其中为一条直角边，为另一条直角边，为斜边． 已知一条直角边为，对应，解得， 另一条直角边：， 斜边：， ， 三角形为直角三角形， ． 故选： 10.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：，， 阴影部分的面积   ． 故选：． 11.【答案】  【解析】本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，延长交轴于点，过点作垂直轴于点，根据已知条件得到：，，然后根据对顶角的性质得到，再根据全等三角形的判定定理证明，从而得到，，再根据点的坐标求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示：延长交轴于点，过点作垂直轴于点． 由题意可知：， ， ， 在和中， ， ． 点， ， ． 在中，由勾股定理，得，即， 光线从点到点经过的路线长是． 故选：． 12.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连接，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的面积和即为四边形的面积． 【详解】解：连接．   ，，， ． ，， ， 为直角三角形， 四边形的面积． 故选：． 13.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：、中间小正方形的面积，化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用中结论可以证明勾股定理，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积，化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． 故选：． 14.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ，即． 故选：． 15.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： ， 在中，米，米， ， 米 故选：． 16.【答案】  【解析】本题考查了两点间的距离，勾股定理． 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ， 又，， 按手势解锁一次的路径长为． 故选：． 17.【答案】  【解析】本题考查勾股定理的应用，根据题意得，先在中，由勾股定理求出的长，后在中，由勾股定理即可求出的长即可得到答案．熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，即． 故选：． 18.【答案】  【解析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； B、，， ， 是直角三角形，且，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、点到直线的距离，故本选项不符合题意． 故选：． 19.【答案】  【解析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【详解】解：树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ，即， 这棵树原来的高度，即这棵大树在折断前的高度为． 故选：． 20.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：． 故选：． 21.【答案】  【解析】本题主要考查平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：底面周长为， 展开后的长为． ． 故选A． 22.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，则米， 在中，，即， 在中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为米． 故答案为：． 23.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理，三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ． ， ． 如图所示， ， 阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 24.【答案】  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点位置，再证明，得，运用勾股定理列式，代入数值得，求解得出的长度． 【详解】解：， 点在的垂直平分线上． 连接， 则长方形中的垂直平分线过，交点， 依题意，运动时间时，在上，． 依题意时，在上，． 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， 即． 在中，， 即， ，解得． 故答案为：． 25.【答案】  【解析】解：如图所示，连接． 米，为的中点，米， ，米． 在中， ，解得米． ， ， 米． 故答案为：． 26.【答案】  【解析】本题主要考查勾股定理，熟练运用和掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，大正方形的边长为． 故答案为：． 27.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为， ，如图所示． 由勾股定理可得：，，， ， 图中阴影正方形的面积之和为． 故答案为：． 28.【答案】【小题】 解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积： ． 答：裁剪出的包装纸的面积为． 【小题】 解：如图，点，点为圆柱高的中点，连接，． 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． 【小题】 解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面．   【解析】  本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据圆柱侧面积公式求解即可．   画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解．   根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 29.【答案】【小题】 解：，，， ， ， 的面积为． 【小题】 解：由题意，，，， ，，， ， 是直角三角形，， ．   【解析】  本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理． 依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解．   依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再用两直角边的积除以求出面积即可． 30.【答案】【小题】 解：于点，于点， ． 平台处荡秋千到平台处， ． ， ， ． 在和中， ， ， 在中， ，即． 【小题】 由题意知，，， ， 答：秋千离地面的最小距离为．   【解析】  本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． 由题意可知，，由等角的余角相等得到，根据证明，即可得到，根据勾股定理计算即可．   根据题干所给数据计算即可． 第2页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $