第一章《勾股定理》 章末复习题（2） 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 章末复习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各组数中，勾股数是（　　） A．8，15，16 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 B．a＝5，b＝13，c＝12 C．a：b：c＝2：2：3 D．∠A+∠B＝90° 3．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AC＝2，时，则阴影部分的面积为（　　） A．8π B．8 C．4π D．4 5．在下列三角形中，能从几何角度验证的图形是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝10，S3＝24．则图中阴影部分的面积为（　　） A．14 B． C．7 D． 7．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D．2 8．如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有（　　）种． A．7 B．8 C．9 D．10 9．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN＝x，DM＝y，且x＞y，若CM＝DN＝5，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．xy B．x+y C．x﹣y D．x2+y2 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 　 　 ． 12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，则S1的值为　 　 ． 13．如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，若PA＝4，PC＝3，AC＝5，，则点A到直线PC的距离是 　 　 ． 14．已知图是4×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段AB．请写出使得△ABC为直角三角形的格点C有　 　 个． 15．如图，BD是△ABC的角平分线，AG是△ABC的高线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE＝3，AB＝6，BC＝8，则AG的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边AB，AC的长． 17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8． （1）求CD的长； （2）求△ACD的面积． 18．如图，在△ABC中，，点D在边AC上，BD＝8，CD＝2． （1）猜想∠ADB的度数，并说明理由； （2）若AB＝17，求△ABC的面积． 19．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 20．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c．分别以a，b，c为边长向外作正方形BCHG、正方形ACEF和正方形ABIJ，其面积分别记作S1，S2，S3． （1）图1中S1，S2与S3之间的数量关系为　 　 ，直角三角形ABC的三边a，b，c之间的数量关系为　 　 ． （2）如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 21．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别为边AB，BC上的点，连接CD，DE，AE，且满足AE垂直平分CD，垂足为F． （1）判断△ADE的形状？并说明理由； （2）求BE的长． 22．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 23．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足a＝m﹣n，，c＝m+n（m＞n＞0）． （1）求证：△ABC为直角三角形； （2）是否存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 24．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC＝90°）． 请解答： （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　 　 ． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　 　 ，请说明理由． （3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD＝90°，BC＝2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为　 　 ，请说明理由． 25．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　 　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　 　 ； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A C D C B A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．4或． 12．25． 13．4． 14．6． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得：， ． 17．解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， ∵CD⊥AB， ∴， ∴； （2）在Rt△ADC中，由勾股定理得， ， ∴． 18．解：（1）∠ADB＝90°，理由如下： ∵BD＝8，CD＝2，， 而82+22＝68，， ∴BC2＝BD2+CD2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝90°； （2）在Rt△ABD中， 由勾股定理得， ∵CD＝2， ∴AC＝AD+CD＝15+2＝17， ∴． 19．（1）证明：∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为2ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴， ∴c2＝a2+b2． （2）解：∵大正方形面积为13， ∴c2＝13， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝13， ∵小正方形面积为3， ∴（a﹣b）2＝3， ∴2ab＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝23． 20．解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c． 由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即a2+b2＝c2， ∵，，， ∴S1+S2＝S3， ∴a2+b2＝c2， 故答案为：S1+S2＝S3，a2+b2＝c2； （2）以a为直径的半圆的面积为：， 以b为直径的半圆的面积为：， 以c为直径的半圆的面积为：， 由勾股定理得：a2+b2＝c2， ∴， ∴以a为直径的半圆的面积与以b为直径的半圆的面积之和等于以c为直径的半圆的面积． 21．解：（1）△ADE是直角三角形， 理由：△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵62+82＝102， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵AE垂直平分CD， ∴AC＝AD，CE＝DE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SSS）， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， ∴△ADE是直角三角形； （2）由（1）知AD＝AC＝6，CE＝DE，∠ADE＝90°， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，DE＝8﹣BE，∠BDE＝90°， ∵BD2+DE2＝BE2，即42+（8﹣BE）2＝BE2， 解得BE＝5， ∴BE的长为5． 22．解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝15m，AB＝CD＝1.5m，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，CE8（m）， ∴CD＝CE+CD＝8+1.5＝9.5（m）； （2）不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF＝12m， ∴EF＝CE+CF＝8+12＝20（m）， 在Rt△AEF中，AF25（m）， ∵AC＝17m，余线仅剩7.5m， ∴17+7.5＝24.5＜25， ∴不能上升12m，即不能成功． 23．（1）证明：∵a2+b2＝（m﹣n）22＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2， c2＝（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴a2+b2＝c2， ∴根据勾股定理逆定理，得△ABC为直角三角形； （2）解：不存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab． 理由：假设存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab， 由（1）知a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝3ab， ∴a2﹣3ba+b2＝0， 解得a， ∵是无理数，b是正整数， ∴a不可能是正整数， 故不存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab． 24．解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c，则c2＝a2+b2 （1）S1+S2＝S3，证明如下： ∵S3，S1，S2 ∴S1+S2S3； （2）S1+S2＝S3．证明如下： ∵S3，S1，S2 ∴S1+S2S3； （3）过D点作DE∥AB，交BC于E，设梯形的边AB、DC、AD的长 分别为a、b、c，可证EC＝AD＝c，DE＝AB＝a， ∠EDC＝180°﹣（∠DEC+∠BCD）＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝90°， 则c2＝a2+b2 ∵S1＝a2、S2＝b2、S3＝c2，表示，则S1+S2＝S3． 故答案为：S1+S2＝S3；S1+S2＝S3；S1+S2＝S3． 25．解：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC， ∴BD＝DC＝3， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝6﹣5＝1， 故答案为：1； （2）如图4中，作BH⊥AC于H， ∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12， ∴AC13， ∵•AC•BH•AB•BC， ∴13BH＝5×12， ∴BH， ∴h（AC）＝AC﹣BH＝13， 故答案为：； （3）如图3中，分两种情况讨论： 当△ABC是锐角三角形时： ∵AD⊥BC，AB＝25，AC＝17，AD＝15， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝252﹣152＝400，CD2＝AC2﹣AD2＝172﹣152＝64， ∴BD＝20，CD＝8， ∴BC＝BD+CD＝28， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝28﹣15＝13； 当△ABC是钝角三角形时： 同理可得BD＝20，C′D＝8， ∴BC′＝BD﹣C′D＝12， ∴h（BC）＝BC′﹣AD＝12﹣15＝﹣3， 综上所述：h（BC）的值为13或﹣3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $