精品解析：江苏省海门中学附属学校2023-2024学年七年级上学期全科竞赛数学试卷

海中附校2023-2024学年度第一学期全科竞赛 初一数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列实数中：0，，，，，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义以及算术平方根，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数． 先将能化简的数化简，再根据无理数的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴无理数有：，，共2个， 故选：B． 2. 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，可以使路程变长，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解： 公园湖面上架设曲桥，可以增加游客在桥上行走的路程，从而使游客观赏湖面景色的时间变长， 其中数学原理是：两点之间，线段最短. 故选A. 【点睛】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，属基础题. 3. 若两个连续整数x，y满足x＜﹣1＜y，则这两个整数是（　　） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】直接得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：∵4＜＜5， ∴3＜﹣1＜4， ∴x＝3，y＝4， 故选C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 5. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】应用等式的性质即可． 【详解】A. 如果，那么 ，选项错误； B. 若，则，选项正确； C. 若，则，选项错误； D. 若，则当，或，选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，关键是正确应用等式的性质转化并解决问题． 6. 如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意； （2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意； （3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意； （4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 7. 下列说法：①单项式的次数是3；②若，且，则；③几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；④当时，有最大值为2；⑤若，互为相反数，则；⑥若，则与互为相反数．其中错误的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，绝对值的性质，相反数的定义，有理数的乘方法则，单项式的字母指数之和为单项式的次数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可． 【详解】解：单项式的次数是4， 故①是错误的； ∵若，且， ∴，则， 即， 故②是正确的； ∵几个有理数（因数不含有0）相乘，负因数的个数是奇数时， ∴积是负数； 故③是错误的； 当时，， 即， 当时，， ∴当时，有最大值为2， 故④是正确的； ∵若a，b互为相反数且不为零， ∴，则， 故⑤是错误的； ∵， ∴，结合一个负数的立方根是负数， ∴， 即，则a与b互为相反数， 故⑥是正确的； ∴错误的是①③⑤， 故选C． 8. 已知一列数，满足（m，n为正整数）．例如，．若，，则的值是（ ） A. 4042 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求出-2，再利用公式求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴-2， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数乘方的运算，正确理解题中的运算公式求出-2是解题的关键． 9. 将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设右上角与左下角阴影部分的周长的差为l．若知道l的值，则不需测量就能知道周长的正方形的标号为（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式加减运算的应用，根据图形正确表示出右上角、左下角阴影部分的周长是解题的关键． 设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d，用a、b、c、d表示出右上角、左下角阴影部分的周长，利用整式的加减混合运算法则计算，得到答案． 【详解】解：设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d， 由题意得，， 整理得，， 则知道l的值，则不需测量就能知道正方形④的周长， 故选：D． 10. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如， ， 则的值分别是（ ） A. B. 4，20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式加减的应用，解题的关键根据题意得出，求出，整理得出，从而得出，，求出结果即可． 【详解】解：根据题意知： ， 则， ∴， 整理得：， ∴，， 解得：，． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知无论，取何值，多项式的值都等于18，则等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查整式的加减，解题的关键是明确整式加减的计算方法． 先将化简，然后令含x、y的项的系数为零，即可求得m、n的值，从而可以得到的值． 【详解】解： ， ∵无论，取何值，多项式的值都等于18， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，比较，，的大小是___________（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含绝对值方程的解和绝对值的化简，解决本题的关键是要熟练掌握绝对值的意义，数的大小比较． 先分别求出，，，再根据关于的方程无解，有两个解，只有一个解，推导出 ，即可解答． 【详解】解：由，，，得 ，，， ∵关于的方程无解，有两个解，只有一个解， ∴，，， 即， ∴． 故答案为：． 14. 已知，为实数，其中，则的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的平方根．掌握相关结论即可． 根据算术平方根和乘方的非负性求出，，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 则的平方根是． 故答案为：． 15. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将待求方程变形为，再根据关于的一元一次方程的解为，得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴，解得：， ∴关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 16. 甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页，若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了____________页． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查工程问题，设当甲、乙打的字数相同时，乙打了页，根据甲、乙打的字数相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设当甲、乙打的字数相同时，乙打了页，甲、乙的工作效率（页/时间）之比为，故当乙打页时，甲在同期打了页，此期间甲打的字数为，由题意，得： ， 解得：； 故答案为：． 17. 如图，，点C是线段延长线上一动点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系． 18. 如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．其中正确的是______． 【答案】① 【解析】 【分析】①依据，，可得； ②依据，即可得到； ③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； ④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：， ， 即；故①正确； ， ， 所以的大小不随着的变化而变化，故②错误； 当旋转角小于时，如图所示： ∵， ， ． 当旋转角大于时，如图所示， ∵， ， ，故③错误； 由②知，， ， ， 当旋转角小于时，如图所示： ， 又， ． 当旋转角大于时，如图所示： ， ， 又， ， ∴，故④错误． 综上分析可知，正确的只有①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，几何图形中角度的计算，余角的性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填在答题纸相应的位置上．） 19. 计算（解方程） （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解一元一次方程： （1）先根据算术平方根，立方根，二次根式的乘法，有理数的乘方以及有理数的除法计算，再计算加减，即可求解； （2）先整理，然后按照解一元一次方程的解法解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 20. 先化简，再求值． ，其中满足． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 当时 原式 ． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键． 21. （1）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体． ①请在方格中分别画出它的主视图、左视图； ②如果在这个几何体上再添加一些正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体． （2）如图，，点为射线上一点，且，点为平面上任一点．且． ①如果点在直线上，是的中点，则的长度为 cm； ②如果的值最小，请指明点的位置 ，此时最小值是 cm． 【答案】（1）①如图所示： ②3； （2）①5或2．；②点线段上， 【解析】 【分析】本题考查了作三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．还考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将转化为是解题的关键． （1）①根据从正面和左面看到的图形解答即可．②保持主视图和左视图不变，可以在第1排空余位置添加3个，最多添加3个小正方体． （2）①点E在直线上有3种情况，点E在线段上、在线段的延长线上、在线段的延长线上，显然在射线上不合题意，分别就剩余两种情况求得的值，进而求出的长度；②结合知，在中知当点E在线段上时，最小，可求得的最小值； 【详解】解：（1）①略 ②若保持主视图和左视图不变，最多可以再添加3块小正方体． 故答案为：3 （2）①∵， ∴当点E在线段上时，，即，解得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点E在线段的延长线上时，，即，解得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 即的长度为或； 故答案为：5或2． ②∵， ∴， 当点E在线段上时，最小，， 故的最小值为， 故答案为：点线段上，． 22. 已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同． （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值． 【答案】（1） ；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值； （2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1，m+3≠0， 解得：m＝3， 当m＝3时，方程为：6x+6n＝0， 解得：x＝﹣n， ， 2（2x+1）﹣10＝5（x+n）， 4x+2﹣10＝5x+5n， 4x﹣5x＝5n+8， ﹣x＝5n+8， 解得：x＝﹣5n﹣8， ∴﹣5n﹣8＝﹣n， ∴n＝﹣2； （2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y， ∴y＝， ∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解， ∴， ∴a＝﹣4． 【点睛】本题考查一元一次方程、同解方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 23. 对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： （1）若，求的值； （2）若，，且，求的值； （3）若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 【答案】（1） （2）20 （3）3 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键． （1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得； （2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可； （3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， 解得，与矛盾，舍去； 当时，， ， ， 解得，符合题意； 综上可知，x的值为． 【小问2详解】 解：，， ，即， ， ， ； 【小问3详解】 解： 和均为正整数， ， ， ， 解得， 和均为正整数， 是5的因数，且只能是， 此时，，， 即k的值为3． 24. 如图，点是直线上一点，，平分． （1）作射线，求的度数． （2）若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 【答案】（1）或． （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和角的计算，能熟练地运用角的和差列式计算是解此题的关键． （1）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可； （2）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分 ∴ 如图，当在上方时， ∵， ∴， ∴， 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为或． 【小问2详解】 当在上方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 当在下方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即的度数为或． 25. 如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： （1）已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； （2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 【答案】（1） （2）12:00时或10:30时两车相距 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． （1）设两地之间的距离为，由等量关系得到方程，解方程即可得到答案； （2）由两车相距，分三种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设两地之间的距离为， 由题意可得：， 解得， 答：两地之间的距离为； 【小问2详解】 解：由两车相距，分三种情况： 当高铁、动车在路上行驶时， 设高铁出发小时， ①， 解得； 即高铁出发后，两车相距； ②， 解得； 在（1）的条件下，， 即高铁仅需到达地，不符合实际，舍去； ③当动车在路上行驶，高铁没有出发时， 设动车出发小时， 即， 解得， 即高铁未动，动车出发后，两车相距； 综上所述，12:00时或10:30时两车相距． 26. 平行直线AB与CD被直线MN所截． （1）如图1，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，若∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，求∠PEQ的值； （2）如图2，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ．若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数． 【答案】（1）∠PEQ＝50° （2） 解：结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°． 理由：作EH∥AB． ∵AB∥CD，EH∥AB， ∴EH∥CD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝∠1+∠4， ∴∠PEQ＝∠2+∠3＝∠1+∠4， 同理可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD， ∵PF平分∠BPE、QF平分∠EQD， ∵∠BPE＝2∠BPF，∠DQE＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°， ∴∠1+∠BPE+∠4+∠EQD＝∠1+∠4+∠BPE+∠EQD＝∠PEQ+2（∠BPF+∠FQD）＝∠PEQ+2∠PFQ＝360°， ∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°． （3）∠PHQ＝30° 【解析】 【分析】（1）过点E作EM∥AB，根据平行线的性质求解即可； （2）作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠PEQ+2∠PFQ＝360°； （3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，利用角之间的关系构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴∠BPE+∠PEM＝180°，∠QEM＝∠EQC， ∵∠BPE＝160°，∠EQC＝30°， ∴∠PEM＝180°﹣160°＝20°，∠QEM＝30°， ∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝50°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z， ∵QF平分∠EQD，∠QPF：∠EQF＝1：5， ∴∠EQF＝∠FQH＝5y， ∵EQ∥PH， ∴∠EQC＝∠PHQ＝x， ∴∠EQC＋∠EQF＋∠FQH＝ x+10y＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠BPH＝∠PHQ＝x， ∵PF平分∠BPE， ∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH， ∴∠FPH＝y+z－x， ∵PQ平分∠EPH， ∴∠EPQ＝∠QPF+∠FPH， ∴z＝y+y+z-x， ∴x＝2y， ∴12y＝180°， ∴y＝15°， ∴x＝30°， ∴∠PHQ＝30°． 【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟记平行线的性质并作出合理的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海中附校2023-2024学年度第一学期全科竞赛 初一数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列实数中：0，，，，，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 3. 若两个连续整数x，y满足x＜﹣1＜y，则这两个整数是（　　） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列说法：①单项式的次数是3；②若，且，则；③几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；④当时，有最大值为2；⑤若，互为相反数，则；⑥若，则与互为相反数．其中错误的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 8. 已知一列数，满足（m，n为正整数）．例如，．若，，则的值是（ ） A. 4042 B. C. D. 9. 将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设右上角与左下角阴影部分的周长的差为l．若知道l的值，则不需测量就能知道周长的正方形的标号为（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如， ， 则的值分别是（ ） A. B. 4，20 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知无论，取何值，多项式的值都等于18，则等于___________． 12. 已知，，则的值为________． 13. 已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，比较，，的大小是___________（用“”表示）． 14. 已知，为实数，其中，则的平方根是___________． 15. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为____________． 16. 甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页，若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了____________页． 17. 如图，，点C是线段延长线上一动点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则________． 18. 如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填在答题纸相应的位置上．） 19. 计算（解方程） （1）； （2） 20. 先化简，再求值． ，其中满足． 21. （1）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体． ①请在方格中分别画出它的主视图、左视图； ②如果在这个几何体上再添加一些正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体． （2）如图，，点为射线上一点，且，点为平面上任一点．且． ①如果点在直线上，是的中点，则的长度为 cm； ②如果的值最小，请指明点的位置 ，此时最小值是 cm． 22. 已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同． （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值． 23. 对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： （1）若，求的值； （2）若，，且，求的值； （3）若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 24. 如图，点是直线上一点，，平分． （1）作射线，求的度数． （2）若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 25. 如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： （1）已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； （2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 26. 平行直线AB与CD被直线MN所截． （1）如图1，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，若∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，求∠PEQ的值； （2）如图2，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ．若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $