河北省衡水市桃城区2025-2026学年高二上学期暑假开学考试数学试卷

高二暑假开学考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：假期作业。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.复数20i-25的虚部是 A.20 B.20i C.-25 D.25 2.已知向量m=(a,1),n=(一1,2)，若(m一n)⊥n,则a= 入-吉 B司 C.-3 D.3 3.设a=0.35,b=706,c=1og0.4,则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 3+cos0 4.已知sin0=-2cos0, sin Ocos A.-6 B一司 C.8 D.-8 5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA=a.CB=b.CC=c,则AB= A.a+b-c B.b-a-c C.-a-b+c D.b-a+c 6.已知正数a,b满足5×27=3，则3a+2b的最小值为 A.9 B.12 C.18 D.24 7.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件， 与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为 ①2张卡片都不是红色： ②2张卡片恰有1张是红色： ③2张卡片至少有1张是红色： ④2张卡片都为绿色 A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图所示，A,B,C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.7,0.8， 0.9,则该系统的可靠性(3个开关只要有1个开关正常工作即可靠)为 A.0.504 B.0.994 C.0.996 D.0.964 【高二数学第1页（共4页）】 26-21B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题不正确的是 A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直 B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行 C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行 10.已知f(x)是定义在（一∞，+∞）上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是减函数，则 A.f(5)>f(-6) B.f(-4)>f(3) C.f(-2)>f(2) D.f(-8)=f(8) 11.三棱锥P-ABC中，已知PO⊥平面ABC,垂足为O,连接OA,OB,OC,则下列说法正确 的是 A.若1OAI=|OB1=|OC1,则O为△ABC的外心 B.若PA·PB=PB·PC=PA·PC,则O为△ABC的垂心 C.若PA=PB=PC,则O为△ABC的重心 D.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O为△ABC的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,17.15,11,16,17,18,16,15,13，则众 数为▲一 13.若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8，母线长为13，则该圆台的体积 为▲一 14.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），其底面半径为8cm,高度为120cm,现往里面 装半径为4cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装▲一个球.（附：√2≈1.414， √5≈1.732，√5≈2.236) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bcos A+ccos A+acos C=0. (1)求A的大小： (2)若AB·AC=-5,b+c=7,求a的值 【高二数学第2页（共4页）】 26-21B 16.(15分) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD,PDMA,E,F分别 为MB,PC的中点，且AD=PD=2MA=4. (1)证明：EF平面ADPM. (2)求点E到平面ABF的距离. 12 17.(15分) 已知函数f(x)=一5cos(2ax-)-1(w>0)的最小正周期为元 (1)求f(x)的单调递减区间： (2)将fx)的图象向左平移(0<<交)个单位长度，再响上平移1个单位长度得到的图象关 于原点对称，求的值： (3)若x∈(-至，)，求f(x)的值域。 【高二数学第3页（共4页）】 26-21B 18.(17分) 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竟赛的 成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组 (50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第二组的频数是 第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题。 (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰90%的学生，仅留10%的学生进入下一轮竞赛，请问晋 级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1,x2,x3…,xo.已知这10个分数 的平均数x=90,标准差s=5,若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平 均数与方差 (3)从样本数据在50≤x<60,80≤x<90,90≤x≤100这三个组内的学生中，用分层抽样的 方法抽取7名学生，再从这？名学生中随机选出2人，求选出的2人来自于不同组的 概率 ↑频率/组距 0.040 0 0.016 0.008 5060708090100成绩/分 19.(17分) 如图1，在△ABC中，BC=2√2，∠B=60°，AC的垂直平分线DE与AC,AB分别交于点 D,E,且DE=√3，沿DE将△AED折起至△FED的位置，得到四棱锥F-BCDE,如图2. (1)设FC=√6」 ①证明：FD⊥BE ②已知FD=入DP,是否存在实数入，使得CP伻面BEF?若存在，请求出A;若不存在， 请说明理由。 (2)若CF与平面BCDE所成的角为60°，求二面角F-EC-D的余弦值 图1 图2 【高二数学第4页（共4页）】 26-21B 高二暑假开学考试 数学参考答案 1.A20i-25的虚部是20. 2.C因为(m-n)⊥n,所以(m-n)·n=m·n-n2=0,所以-a+2一5=0，解得a=一3. 3.B因为a=0.33∈(0,1)，b=7>1,c=log0.4<0,所以b>a>c. 4.D因为sin0=-2cos0,所以tan0=-2,所t以3+cos0=3sin0+4cos0_3am0+4_ sin Ocos 0 sin dcos 0 tan -8. 5.B AB;=AB+BB=CB-CA+CC:=b-a-c. 6.D因为5×河=3产×3=3#=3，所以2+2=1.所以3a+26=(3a+26(2+) =12+兽+岩因为兽+岩≥2√巴，芒=12，当且仅当尝-尝.即a=4,6=6时，等号成 立，所以3a+2b的最小值为24 7.C6张卡片中一次性任意取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张 都为蓝色”“1张为红色，1张为绿色”“1张为红色，1张为蓝色”“1张为绿色，1张为蓝色”.给 出的四个事件中，与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的是“2张卡片都不是红色”“2张卡片 恰有1张是红色”“2张卡片都为绿色”，“2张卡片至少有1张是红色”包含“2张卡片都为红 色”，因此二者不互斥 8.B由题意知.所求概率为1一(1一0.7)(1一0.8)(1一0.9)=1-0.006=0.994. 9.ABD过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直，所以A错误：过平面外一点有且只 有一个平面与这个平面平行，所以B错误：过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直， 而过这条直线的平面有无数个，所以由平面与平面垂直的判定定理，可知这无数个平面都与 这个平面垂直，故C正确：过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，所以D错误 10.AD因为f(x)为偶函数，且在[0，十o∞)上是减函数，所以f(x)在（一∞，0）上是增函数 所以f(5)>f(6)=f(-6),f(-4)=f(4)<f(3),f(-2)=f(2),f(-8)=f(8). 11.AB因为1OA1=|O1=|OC1,即点O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC 的外心，故A正确： 因为PA.PB=P馆.P心，所以P0+OA)·Pi+O)=(Pd+O)·P0+O心). 化简得OA·OB=OB.OC,即CA·OB=0,即OB⊥CA, 同理得OA⊥BC,OC⊥AB,则O为△ABC的垂心，故B正确： 因为PA=PB=PC,所以可刻画一个圆锥（点A,B,C均在圆锥底面圆上，顶点为P),因为 PO⊥平面ABC,所以O为△ABC的外心，故C错误： 结合B选项可知O为△ABC的垂心，但不一定是内心，故D错误 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 26-21B 12.16 13.388π 因为圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8，母线长为13，所以该圆台的高为12， 故该圆台的体积为3x(32+8+3×8)×12=388元， 14.40由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻4个球两两相切，这样相 邻的4个球球心的连线构成棱长为8cm的正四面体，易求正四面体相对棱间的距离为 4√2cm,每装2个球称为“一层”，这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为[8十 4√2(n一1)]cm,若想要盖上盖子，则需要满足8+4√2(n-1)≤120，解得n≤1+14√反≈ 20.796,所以最多可以装20“层”球，即最多可以装40个球 15.解：(1)因为2 bcos A+ccos A+acos C=0, 所以2 sin Bcos A+sin Ccos A+sin Acos C=0, 所以2 sin Bcos A+sin(A+C)=2 sin Bcos A+sinB=0. …3分 因为sinB≠0，所以cosA=- 2 …5分 因为AE(0,.所以A=号 ……7分 2因为弦·AC=eosA=-c=-5,所以x=10. 10分 因为a2=b2+c2-2 bccos A,b+c=7. 所以a2=(b+c)2一2bc+bc=49-10=39,所以a=√39.…13分 16.(1)证明：取PB的中点G,连接EG,FG.…1分 因为E,G,F分别为MB,PB,PC的中点，所以EG∥PM,GFBC 因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD,所以GFAD.… 3分 因为EG,GF在平面ADPM外，PM,ADC平面ADPM, 所以EG平面ADPM,GF平面ADPM.…4分 因为EG,GF都在平面EFG内且相交， 所以平面EFG平面ADPM. 因为EFC平面EFG,所以EF平面ADPM.…7分 (2)解：取PD的中点N,连接AN,FN.…8分 因为N,F分别为PD,PC的中点，所以NFDC∥AB, 所以平面ABF即为平面ABFN.…9分 因为MA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以AM⊥AB, 因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD.… 11分 因为AD∩AM=A,所以AB⊥平面ADPM, 所以点M到直线AN的距离即为点M到平面ABFN的距离. 13分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 26-21B 因为AD=PD=2MA=4,所以AN=25,所以点M到直线AN的距离为 4-4 25 5 14分 因为E为MB的中点，所以点E到平面ABF的距离为 W5 0400t04000t0g000000000080000g 5 15分 17解：由T-无=得w=1. 2分 令-+2kr<2r-若≤2xk∈Z.解得kx-登<r<x+k∈乙。 所以fx)的单调递减区间为[kx一受kx+登】k∈Z.… 5分 (②)将f(x)的图象向左平移(0<9<)个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 g(x)=-3cos(2x+2e-)的图象. 7分 因为g()的图象关于原点对称，所以2g-吾=受+kx,k∈乙.即9=子+经，k∈乙 … …9分 因为0<9<受，所以9=子 10分 (3)油x(-年受》，得2x-若∈(-经) 12分 因为os(2x-)(-]所以fx)∈[-5-1，》. 15分 18.解：(1)由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍， 所以a=8b,… …1分 又(0.008+0.016+a+0.04+b)X10=1,所以a=0.032,b=0.004.…2分 因为成绩落在[50,90)内的频率为0.16+0.32+0.40+0.08=0.96，所以第90百分位数在 [80,90)内. …3分 设第90百分位数为m,则(m一80)×0.008=0.9一0.88， 解得m=82.5,所以晋级分数线划为82.5分合理.…5分 (2)因为x=90,所以x1十x2十…十x10=10X90=900,… 6分 所以s2=(x+x+…+zo)-902=5,所以x++…+xi。=81250.…8分 别除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为x1,x2,x3…,x8, 平均数与标准差分别为xo,5o, 则剩余8个分数的平均数。=1十2：十x十…十x=900-96-84 8 8 90,…9分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 26-21B 方差号=日（xi+z号++x)-902=日(81250-96-84)-902=2.25.…11分 (3)由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，分别记为A,B,C,D:a,b: E.所有的抽样情况2={AB,AC,AD,Aa,Ab,AE,BC,BD,Ba,Bb,BE,CD,Ca,Cb, CE,Da,Db,DE,ab,aE,bE},共21个样本点，M=“选出的2人来自于不同组”，…14分 则M={Aa,Ab,AE,Ba,Bb,BE,Ca,Cb,CE,Da,Db,DE,aE,bE},共14个样本点， 16分 所以PMD= 42 =3 17分 19.(1)①证明：如图，在△ABC中，记AB的中点为G,连接GD, 由题意，GD是△ABC的中位线， 因为BC=2√2，∠B=60°，所以GD=√2，∠EGD=120°， GD ED 在△EGD中，由正弦定理得 sin∠GED sin,∠EGD' in∠GED-sini2o,解得sin∠GED= 即 2 5 2 因为∠EGD=120°，所以∠GED=45°，…3分 又DE是AC的垂直平分线，所以△ADE是等腰直角三角形， 所以DE=AD=DC=√5.… 4分 在翻折的过程中，DE与AC的垂直关系保持不变， 若FC=√6，则△FDC是以D为直角顶点的等腰直角三角形，…5分 所以FD⊥ED,FD⊥DC,ED∩DC=D,所以FD⊥平面BCDE. 因为BEC平面BCDE,所以FD⊥BE.…6分 ②解：由①知在四棱锥F-BCDE中，DE,DF,DC两两垂直， 延长ED至点Q(图略)，使得DQ=ED=√3，则∠DQC=45°.…7分 延长FD至点P(图略)，使得PD=FD=√3，则∠DPQ=45°.…8分 因为∠BED=135°，所以CQBE.因为∠EFD=45°，所以PQEF 因为CQ∩PQ=Q,BE∩EF=E,所以平面BEF∥平面CPQ. …9分 因为CPC平面CPQ,所以CP平面BEF. 此时FD=Dp,即入=1.… 10分 (2)解：过D作DM⊥CE于M,过M作MN⊥CE,交CF于N,连接DN(图略)， 则∠DMN即为二面角F-EC-D的平面角. 11分 因为ED⊥FD,ED⊥CD,所以ED⊥平面CDF, 所以∠FCD即为CF与平面BCDE所成角的平面角，所以∠FCD=60°.…12分 因为FD=DC=√5，所以FC=√5. 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 26-21B 因为DE=DC=B,ED⊥CD,所以M为CE的中点，且CM= 21 …13分 因为EF=CE=√6，FC=3,所以cos∠ECF= =② 2 6 41 …14分 在△CMN中，∠CMN=90',cos∠MCN=g,CM=V6 号，所以MN=里，CN=2,E. 2 15分 在△CDN中，∠DCN=60°，CN=25,CD=3,所以DN=3.… 16分 在ADMN中，DN=3,DM-5MN=受。 2, 所以cos∠DMN=DM+MN:-DN: +号-9 万 2DM·MN 71 2 即二面角F-EC-D的余弦值为只 17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】 26-21B