第一讲勾股定理（1）讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025秋季初二讲义第一讲：勾股定理（1） 【复习巩固】 1、勾股定理、勾股定理的验证。 2、勾股定理逆定理、勾股数。 3、勾股定理的简单应用。 【精准突破】 一、勾股定理 例1：若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 例2：（求斜边上的高）（1）直角三角形的两边长分别是3和4，求斜边上的高（    ） A． B． C．5 D．或 （2）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 例3：（勾股树）（1）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 （2）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 例4：（垂美四边形）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则　　． 【实战演练】 1．如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 2．（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 （2）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为 ．    3. （勾股树）（1）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ． （2）如图：，的面积为20，在的同侧，分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 ． （3）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； （4）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为 ．    （5）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 4．如图，在四边形中，对角线分别为、，且AC⊥BD交于点，若，，则的值为　　 A．20 B．18 C．16 D．1 二、勾股定理的验证 例1：我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 例2：（赵爽弦图+完全平方公式）如图，“赵爽弦图”由个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为 ． 例3：（等面积法勾股定理证明）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【实战演练】 1．（1）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 （2）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（    ）    A．小正方形的面积为4 B． C． D． （3）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（    ） A．12 B．15 C．20 D．25 （4）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为 ． （5）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ （6）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将图①中的两个赵爽弦图中的八个直角三角形和两个正方形按图②方式摆放，围成正方形．记直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个结论：①，；②若，则；③；④，其中正确的结论有 ．（只填写序号即可） 2．把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．        (1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值. 3. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 三、直角三角形的判定 例1：如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．3，4，5 B．，， C．5，13，12 D．，，1 例2：满足的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（　　） A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．，， 例3：若，，为的三边，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【实战演练】 1．若的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 2. 给出下列四个说法： ①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形； ②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 四、勾股定理逆定理与勾股定理综合运用 例1：（凹凸四边形）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    (1)求边的长； (2)求这块空地的面积． 例2：如图，某小区有一块四边形的空地，物业计划在四边形区域内种植粉黛以供观赏．经测量，，米，米，米，求四边形的面积． 【实战演练】 1．如图有一块等腰三角形菜地，其中，，点为的中点．现需要开辟一块的空地用于堆肥，已知，． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【强化提升】 1．如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 2．如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 3．如图，在△中，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是　　 A．4.8 B．6 C．9.6 D．1 2025秋季初二讲义第一讲：勾股定理（1） 【复习巩固】 1、勾股定理、勾股定理的验证。 2、勾股定理逆定理、勾股数。 3、勾股定理的简单应用。 【精准突破】 一、勾股定理 例1：若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 【答案】8或10 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 例2：（求斜边上的高）（1）直角三角形的两边长分别是3和4，求斜边上的高（    ） A． B． C．5 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高的长度，分边长为4的边为斜边和直角边两种情况，根据勾股定理求出第三边的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：当边长为4的边为直角边为，则斜边为， 根据三角形面积计算公式可知，两直角边的乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半， ∴斜边上的高为， 当边长为4的边为斜边时，则另一直角边为， ∴斜边上的高为； 综上所述，斜边上的高或， 故选：D． （2）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 例3：（勾股树）（1）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：如图1，，，， ∵， ∴， 如图2， 同理可得，， ∵，，，， ∴， 故选：C． （2）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 例4：（垂美四边形）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则　　． 【实战演练】 1．如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理求出，当时，的值最小，利用等积法求出答案即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵当时，的值最小， 此时：， ∴， 故答案为：． 2．（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． （2）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，，，    ∴的面积， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 4. （勾股树）（1）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图：，的面积为20，在的同侧，分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 ． 【答案】20． 【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，，则阴影部分的面积为： ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，解题关键是利用面积和差表示阴影部分面积． （3）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． （4）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等是解题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式，结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分的面积，即可获得答案． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ， ∴． （5）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 4．如图，在四边形中，对角线分别为、，且AC⊥BD交于点，若，，则的值为　　 A．20 B．18 C．16 D．1 二、勾股定理的验证 例1：我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 例2：（赵爽弦图+完全平方公式）如图，“赵爽弦图”由个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为 ． 【答案】75 【分析】根据图形知， ，可求得，于是． 【详解】解：由图知，大正方形面积为，小正方形边长为，则， ∴ ∴． ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，完全平方公式；掌握完全平方公式是解题的关键． 例3：（等面积法勾股定理证明）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【实战演练】 1．（1）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． （2）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（    ）    A．小正方形的面积为4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，故B错误， ， ，故D错误， ，故A错误， ， ∴， ，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型． （3）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（    ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2-4m=60，进而得出S2的值． 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m， ∵S1+S2+S3=60， ∴4m+S2+S2+S2-4m=60， 即3S2=60， 解得S2=20． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用m表示出S1，S3，再利用S1+S2+S3=60求出是解决问题的关键． （4）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为 ． 【答案】 【详解】如图，延长BG交CH于点E，易证△ABG≌△BCE≌△CDH，所以AG=BE=CH，BG=CE=DH，所以GE=12-9=3，HE=12-9=3，Rt△GHE，由勾股定理得GH=. 故答案为. 点睛：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质及勾股定理，由于正方形是最特殊的四边形，它有所有四边形的性质，既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以正方形中的问题较多的通过全等三角形来解决，求线段的长通常要结合勾股定理求解. （5）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，三角形三边关系灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据三角形三边关系可判断①正确；根据完全平方公式即可得到②③正确；将不等式两边平方再相减即可得出④正确． 【详解】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知，故①正确； ②，， 即，故②正确； ③，， ，故③正确； ④， ， 、、都大于0， ，故④正确； 故选：D． （6）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将图①中的两个赵爽弦图中的八个直角三角形和两个正方形按图②方式摆放，围成正方形．记直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个结论：①，；②若，则；③；④，其中正确的结论有 ．（只填写序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查勾股定理，根据，，即可判断说法①；根据，即可判断说法②；根据， ，即可判断说法③；根据，，即可判断说法④． 【详解】∵，， ∴，，故①错误． ∵， ∴． ∴． ∴，故②正确． ∵，， ∴，故③正确． ∵，， ∴，． ∴，故④正确． 综上所述，说法正确的为②③④． 故答案为：②③④． 2．把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．        (1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积的计算公式． （1）根据，得出，求出，，，根据，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ， ， ， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 3. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、直角三角形的判定 例1：如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．3，4，5 B．，， C．5，13，12 D．，，1 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵32+42＝52，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、∵，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； C、∵52+122＝132，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、∵，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 例2：满足的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（　　） A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】A 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项分析即可． 【详解】A．7，24，25是满足的三个正整数，故本选项符合题意； B．，，是不满足的三个正整数，故本选项不符合题意； C．1.5，2，2.5不全是正整数，故本选项不符合题意； D．，，不全是正整数，故本选项不符合题意； 故选：A． 例3：若，，为的三边，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误． 【详解】解：A、，， ， ， 为直角三角形，不符合题意； B、，即， ， 能构成直角三角形，不符合题意； C、设，，， ， 解得：， 则， 不是直角三角形，符合题意； D、， 能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【实战演练】 1．若的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 2. 给出下列四个说法： ①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形； ②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 四、勾股定理逆定理与勾股定理综合运用 例1：（凹凸四边形）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    (1)求边的长； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)； (2)这块空地的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． （2）解：连接，如图，    ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 例2：如图，某小区有一块四边形的空地，物业计划在四边形区域内种植粉黛以供观赏．经测量，，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】这块四边形空地的面积是95平方米 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ，米， 米， 米，米， ，，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积是：（平方米）， 即这块四边形空地的面积是95平方米． 【实战演练】 1．如图有一块等腰三角形菜地，其中，，点为的中点．现需要开辟一块的空地用于堆肥，已知，． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由题意得，由勾股定理逆定理即可判断的形状是直角三角形； （2）连接，则，利用勾股定理可计算出的长，利用即可计算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴的形状是直角三角形，且； （2）连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， ， ∴ ． 【强化提升】 1．如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 3．如图，在△中，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是　　 A．4.8 B．6 C．9.6 D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 $