第二十二章 二次函数综合练习 2025～2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 3．若点(0，a)，(4，b)都在二次函数y＝(x－2)2的图象上，则a与b的大小关系是（   ） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 4．抛物线的对称轴为（            ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 6．如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：；方程的根为，；当时，随着的增大而增大；.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 7．已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 8．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 二、填空题 9．写出一个顶点为的抛物线的表达式 ． 10．二次函数与y轴交点的坐标为 ． 11．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 12．二次函数的图象对称轴右侧上有两点，若，则 0． (填“＞”“＜”或“＝”) 13．将二次函数转化成的形式是 ． 14．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是 ． 15．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和． （1）求此二次函数的表达式； （2）设此二次函数图象的顶点为C，写出一个过点C的二次函数的表达式． 18．已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 19．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 20．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)该二次函数图象的对称轴为直线______； (2)______，_______； (3)根据表中信息分析，方程的解为______． 22．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … （1）求该二次函数的解析式； （2）当为何值时有最小值，最小值是多少？ 23．已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式____________； (2)写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________； (3)写出该函数图象与轴的交点坐标是____________，与轴的交点坐标是____________； (4)用五点法在平面直角坐标系中画出的图象； (5)结合函数图象，直接写出时的取值范围____________． 24．数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）．    某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y与x的关系式：_________（）； (2)列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位） x/ … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 ① 28.5 31.3 (3)在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省．    《第二十二章 二次函数综合练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D D C C C 1．C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：抛物线， 抛物线顶点为， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 3．C 【分析】根据二次函数解析式可知对称轴为，则点(0，a)，(4，b)关于对称轴对称，进而即可判断 【详解】二次函数y＝(x－2)2的对称轴为，点(0，a)，(4，b)都在二次函数y＝(x－2)2的图象上， 又点(0，a)，(4，b)关于对称, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，理解二次函数图象的性质是解题的关键． 4．D 【分析】由y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h可得答案． 【详解】解：抛物线y=-（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1， 故选：D． 【点睛】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 5．D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图象和性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数，当时，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图象，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号，根据对称轴确定b的符号； ②根据二次函数图象与x轴的交点解答； ③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断； ④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y的符号． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上， ∴a＞0，-＞0，c＜0， 即b＜0， ∴abc＞0，正确； ②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是（-1，0）、（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3 故本选项正确； ③函数对称轴是直线x=1， 根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大； ④根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0）， ∴当x=2时，y＜0 ∴当x=1时4a+2b+c＜0，正确． 共有四个正确的， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目． 9．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质；熟练掌握其性质并能能发现题干所给的两点关于对称轴对称是解决此题的关键．根据、两点纵坐标一样，且都在函数图象上，得出抛物线的对称轴为直线，得到，代入解析式即可得解． 【详解】解：二次函数的图象上有两点， 抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 故选：． 10．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 7．A 【分析】首先先确定的正负，对于二次函数的开口方向以及对称轴分析． 【详解】解：由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，故选项A正确； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，与图像不符，故选项B错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，与图像不符，故选项C错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝下，与图像不符，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图像性质是解题的关键． 8．C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称性、与坐标轴交点等性质逐条判断即可． 【详解】解：二次函数二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 当时，，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B正确，不符合题意； 二次函数，当和时对应的函数值相等，它的对称轴为，即，，抛物线解析式为，若抛物线与x轴有交点，则，解得，故C错误，符合题意； 两点关于抛物线对称轴直线对称，所以，故D正确,不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，根据相关性质准确进行推断． 9．（不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，写出一个对称轴为y轴，常数项为1的抛物线解析式即可． 【详解】解：符合题意的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（0，-1） 【分析】把x=0代入，即可求解． 【详解】解：当x=0时，y=-1． ∴二次函数与y轴交点的坐标为（0，-1）． 故答案为：（0，-1） 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了二次函数图象和性质的基础题，知识点单一而且简单．本题考查了二次函数的开口方向，是由系数决定的． 【详解】解：抛物线的开口向下， ． 故答案为：． 12．＜ 【分析】根据二次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：根据题意得二次函数的图象在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＜ 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 13． 【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式．利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴由此y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 【详解】解：当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为 16．或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，分别把点坐标代入函数解析求出的值，再根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当抛物线过点时，把代入 得，， 解得； 过点时，把代入得，， 解得； ∴当抛物线与线段没有交点时，由的大小与抛物线开口大小关系可知的取值范围为 或， 故答案为：或． 17．（1），（2） 【分析】（1）把点和代入解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线顶点坐标，根据顶点式写出解析式即可． 【详解】解：（1）把和代入得， ，解得，， 抛物线解析式为； （2）化成顶点式为，二次函数图象的顶点为C的坐标为（-1，4）； 抛物线经过点C． 【点睛】本题看出来待定系数法求二次函数解析式以及求二次函数顶点坐标，解题关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式并能化成顶点式． 18．（1），（2）， 【分析】（1）利用配方法化成顶点式即可； （2）根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）∵二次函数顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数解析式化为顶点式，解题关键是熟练运用配方法进行转化，明确顶点式的意义． 19．(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． 20．(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3） (2)﹣3≤n＜6 【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围． 【详解】（1）解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）解：如图所示： 由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上， ∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6． 【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型． 21．(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据表格得到二次函数上对称的两点求解即可； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）根据表格得到当时，；当时，，进而求解即可． 【详解】（1）∵当时，时，y的值都是0， ∴对称轴为； （2）∵二次函数图象的对称轴为直线， 由表格可得， 点和点关于对称轴对称， ∴， 点和点关于对称轴对称， ∴； （3）根据表格可得， 当时，；当时，， ∴方程的解为和． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键． 22．（1）；（2）x=1时，y有最小值为-4 【分析】（1）将表格中的两组对应值代入函数关系式求出b、c的值即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1）把（0，-3）（1，-4）代入二次函数y＝x2+bx+c得， c＝-3，1+b+c＝-4， 解得，b＝﹣2，c＝-3， ∴二次函数的关系式为； （2）＝（x﹣1）2-4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）， 即当x＝1时，y最小值＝-4， ∴当x＝1时，y有最小值为-4． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质以及二次函数的最值，掌握待定系数法求二次函数关系式是解决问题的前提，求出抛物线的顶点坐标是正确判断的关键． 23．(1) (2)直线；； (3)和； (4)见解析 (5) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）根据二次函数的性质可求解； （3）令，解方程可得x轴的交点坐标；令，可求解y轴坐标； （4）根据列表、描点、连线可画出函数图象； （5）根据图象，找出图象位于x轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：二次函数， 故答案为：； （2）解：由得，该二次函数图象的对称轴是直线；顶点坐标是； 故答案为：直线；； （3）解：当时，由得，， ∴该函数图象与轴的交点坐标是和； 当时，， ∴该函数图象与轴的交点坐标是； 故答案为：和；； （4）解：列表： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线，如图： （5）解：如图，当时，二次函数的图象位于x轴的上方， 故当时的取值范围为， 故答案为：． 24．(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据长方体表面积公式即可求解； （2）将代入（1）中所得函数关系式即可； （3）描点连线即可完成作图； （4）观察图象，找到图象最低点的横坐标即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：； （3）解：如图所示：    （4）解：观察图象可知，当约为时，需要的材料最省， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在几何中的实际应用．掌握函数的研究方法是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $