精品解析：重庆市实验外国语学校2025-2026学年上学期八年级入学数学试题

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，解题关键是掌握无理数的意义并能运用求解． 根据无理数的意义，对4个数分别作出判断，再作选择． 【详解】解：2是有理数，故A不符合； 是无理数，故B符合； 是有理数，故C不符合； 是有理数，故D不符合， 故选：B． 2. 估算的值是在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．首先估算的范围，再减去2确定结果所在的区间． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 3. 统计学是一门通过数据来研究和解决问题的科学．以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查黄河的水质情况 B. 检测某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某市中学生课外阅读的情况 D. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，掌握普查和抽样调查的特点是解题的关键．普查适用于范围小、要求准确度高或无破坏性的情况，而抽样调查适用于范围大、有破坏性或无法全面调查的情况，据此判断即可求解． 【详解】解：A、调查黄河的水质情况，适宜采用抽样调查方式，不符合题意； B、检测某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查方式，不符合题意； C、了解某市中学生课外阅读的情况，适宜采用抽样调查方式，不符合题意； D、调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，适宜采用普查方式，符合题意； 故选：D． 4. 已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的内角公式“”进行计算即可得． 【详解】解：由题意得， 即这个正多边形的边数是10， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，解题的关键是掌握正多边形的内角公式． 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原不等式不成立； B、若，不能得到，比如，但是，原不等式不一定成立； C、若，则，故，原不等式成立； D、若，则，故原不等式不一定成立； 故选：C． 6. “重庆沙坪坝全球校友半程马拉松”在4月20日激情开跑．一中校友踊跃奔赴赛场，共赴母校之约，参赛人数高居中学榜第一为了迎接校友归来，学校为每位校友准备了一套纪念品，包括1件定制运动衫和3枚金属校徽．若1件运动衫的价格为52元，1枚校徽的价格是6元，本次总共花费了20300元．设购买运动衫一共花了x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设运动衫总费用为x元，则校徽总费用为元．根据题意，每位校友获得1件运动衫和3枚校徽，总花费20300元．利用数量关系建立方程，即可． 【详解】解：设购买运动衫一共花了x元，根据题意得： ． 故选：A 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 不相交的两条直线是平行线 B. 过直线外一点能画无数条直线与已知直线平行 C. 三个角分别相等的两个三角形全等 D. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、全等三角形的判定，属于基础题，难度不大． 根据真命题的定义，利用平行线的定义及确定平行线的方法，全等三角形的判定，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、在同一平面内，不相交的两条直线平行，原命题为假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题，不符合题意； C、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题为假命题，不符合题意； D、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，是真命题，符合题意； 故选：D 9. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律问题，解决问题的关键是判断点在第254个循环中的第1个点的位置． 根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第 254个循环中的第1个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为； 根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环， ， ∴点在第 254个循环中的第1个点的位置， ∴故点的纵坐标为0 ， 又 ∵的横坐标为的横坐标为的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 10. 已知，其中为正整数，n，为非负整数且不全为0．规定：，，整式的所有系数的绝对值之和记作．如：因为，所以；因为，所以．以上说法： ①若，则； ②若，，，则； ③若，则所有满足条件的整式的和为； ④若，则所有满足条件的整式有5个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解新定义是解题的关键． 根据规定可得的表达式，可判断①；根据的定义，代入，，求值可判断②；根据可得，求出可能的值，分类讨论整式可能的情况，可判断③；分和讨论，得出对应的的值，进而分类讨论整式的个数，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：，故①正确； 若，，，则， ∴，故②正确； ∵，为正整数，为非负整数且不为0， ∴或或， ∴满足条件的整式为或或， ∴所有满足条件的整式的和为，故③错误； 当时，，即， 又∵为正整数，为非负整数且不为0， ∴或或或或， ∴满足条件的整式有5个； 当时，，则， 又∵为正整数，为非负整数且不全为0， ∴或或或或， ∴满足条件的整式有5个； 此时满足条件的整式已有个， ∴所有满足条件的整式至少有10个，故④错误； 综上所述，正确的个数是2． 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式结合已知求出，再将原式变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，是ABC的高，，且，则______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】∵是ABC的高， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O；若，的度数______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 根据全等三角形的判定先判断，得到，根据等腰三角形的性质即可知的度数． 【详解】解： ∵， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分交于点．若，且，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB，利用角平分线的性质可得CD＝DE，再利用线段的比求得线段DC的长度，进而即可求解． 【详解】过点D作DE⊥AB， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC ∴CD＝DE 又∵，且BD：DC＝5：4， ∴DE＝DC＝3÷（5＋4）×4＝． ∵， ∴的面积=×5÷2= 故答案是： 【点睛】本题考查了角平分线的性质，添加辅助线，是解题的关键． 16. 已知关于x的不等式组至少有2个奇数解，且关于y的一元一次方程有非正整数解，则所有满足条件的整数a之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 根据不等式组至少有2个奇数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据有非正整数解，确定a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵该不等式组至少有2个奇数解， ∴该不等式组至少有2个奇数解为，， ∴， 解得， 由可得， ∵关于y的一元一次方程有非正整数解， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 17. 如图，长方形纸片中，点E，F分别在，边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片，使点F与点重合，点C落在点处，折痕为，若，则______°． 【答案】145 【解析】 【分析】根据将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，得出，可得，根据四边形为矩形，得出，可得，可求，根据为对称轴，可得，可得，根据，列方程，解方程即可． 【详解】解：∵将纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ， ，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为对称轴， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：145． 【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键． 18. 如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二元一次方程的解，数字问题(二元一次方程组的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用定义可以求得当时m的值；根据为整数，可得出可取，，，，再分这8种情况，分别求出M最大值与最小值，最后求出它们的差即可． 【详解】解：，满足，其“同心数”m为， 当时，设， ∵， ∴， ∵将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n， ∴， ∴， ∵为整数， ∴可取，，，， 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，，，，，，， 显然，此时当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，…，， 当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合， 综上所述，最大为，最小为， ∴M最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 三、解答题（解答每小题都必须写出必要演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上） 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 故原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 方程组整理，得， ，得③， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 20. 解下列不等式组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共部分． （1）分别解两个不等式，再找公共解集； （1）分别解两个不等式，再找公共解集． 【小问1详解】 解：解不等式： 解得， 解不等式， 解得， 两个不等式解集的公共部分是， 该不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：解不等式， 解得， 解不等式， 解得， 两个不等式解集的公共部分是， 该不等式组的解集为． 21. 某学校为了解七年级学生暑假期间运动锻炼的情况，从本校七年级学生中随机抽取了部分学生，调查他们暑假期间一周的运动时长t（单位：小时），将收集到的数据整理分组：A．，B．，C．，D．，E．，并绘制了两幅不完整的统计图．已知暑假每周运动时间不少于4小时为达标． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；在扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为 ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）若该校七年级有800名学生，估计运动时间不达标的七年级学生有多少名？ 【答案】（1）120； （2） 补全频数分布直方图如下： （3）200名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用C组的频数除以对应的占比，得到调查的总人数；再利用调查的总人数乘以B组的占比得到B组的频数，进而得到D组的频数，再计算D组所对应的圆心角的度数即可； （2）根据B组和D组的频数补全频数分布直方图即可； （3）将每周运动时间少于4小时的学生占比乘以800即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴共调查了120名学生； ， ， ， ∴D组所对应的圆心角的度数为； 故答案为：120；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计运动时间不达标的七年级学生有200名． 22. 如图，在中，，，，，，垂足为D，E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）根据题意证明，即可证出； （2）先求解，求解，继而根据即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 23. 阅读下列材料，回答问题： 材料一：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．若(且)，则n叫作以a为底b的对数，记为，即，如，则2叫作以3为底9的对数，记为，． 材料二：对数的一个性质为： ，) 如． （1）填空： ； （2）计算：； （3）若m，n满足，化简求值：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，整式的化简求值，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据，结合新定义可得答案； （2）由可得，据此可得答案； （3）根据题意可得，则，再把所求式子先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 24. 据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； （1）根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； （2）受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】（1）星曜生产台，则雷霆生产台． （2）该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． 【小问2详解】 解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 25. 【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长． 【答案】【尝试探究】， 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； 【拓展应用】16 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究] 略 [模型建立]略 [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 26. 已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． （1）如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； （3）如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， 设， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，在判定，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， 由题，为的外角， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点A作且使得，连接，， 为等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， （）， ， ， 为等腰直角三角形，因此最小则最小， 当时，最小，此时为等边的高， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等；掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，能构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 估算的值是在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 3. 统计学是一门通过数据来研究和解决问题的科学．以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查黄河的水质情况 B. 检测某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某市中学生课外阅读的情况 D. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 4. 已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. “重庆沙坪坝全球校友半程马拉松”在4月20日激情开跑．一中校友踊跃奔赴赛场，共赴母校之约，参赛人数高居中学榜第一为了迎接校友归来，学校为每位校友准备了一套纪念品，包括1件定制运动衫和3枚金属校徽．若1件运动衫的价格为52元，1枚校徽的价格是6元，本次总共花费了20300元．设购买运动衫一共花了x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 不相交的两条直线是平行线 B. 过直线外一点能画无数条直线与已知直线平行 C. 三个角分别相等的两个三角形全等 D. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 9. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，其中为正整数，n，为非负整数且不全为0．规定：，，整式的所有系数的绝对值之和记作．如：因为，所以；因为，所以．以上说法： ①若，则； ②若，，，则； ③若，则所有满足条件的整式的和为； ④若，则所有满足条件的整式有5个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8个小题，每题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 12. 若，，则________． 13. 如图，是ABC的高，，且，则______． 14. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O；若，的度数______． 15. 如图，在中，，平分交于点．若，且，，则的面积是______． 16. 已知关于x的不等式组至少有2个奇数解，且关于y的一元一次方程有非正整数解，则所有满足条件的整数a之和为______． 17. 如图，长方形纸片中，点E，F分别在，边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片，使点F与点重合，点C落在点处，折痕为，若，则______°． 18. 如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 三、解答题（解答每小题都必须写出必要演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上） 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 解下列不等式组． （1） （2） 21. 某学校为了解七年级学生暑假期间运动锻炼的情况，从本校七年级学生中随机抽取了部分学生，调查他们暑假期间一周的运动时长t（单位：小时），将收集到的数据整理分组：A．，B．，C．，D．，E．，并绘制了两幅不完整的统计图．已知暑假每周运动时间不少于4小时为达标． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；在扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为 ； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）若该校七年级有800名学生，估计运动时间不达标的七年级学生有多少名？ 22. 如图，在中，，，，，，垂足为D，E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 23. 阅读下列材料，回答问题： 材料一：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．若(且)，则n叫作以a为底b的对数，记为，即，如，则2叫作以3为底9的对数，记为，． 材料二：对数的一个性质为： ，) 如． （1）填空： ； （2）计算：； （3）若m，n满足，化简求值：． 24. 据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； （1）根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； （2）受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 25. 【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长． 26. 已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． （1）如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； （3）如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $