专题01 数的开方（期中知识清单）八年级数学上学期华东师大版2024

该初中数学知识清单系统梳理了“数的开方”单元的核心内容，涵盖平方根、立方根、无理数、实数及其运算等四大知识范畴，构建了从概念理解到题型训练再到易错辨析的完整学习支架，帮助学生建立清晰的知识脉络。 清单通过分类归纳、分级标注和关联整合的方式呈现知识体系，如将“平方根与算术平方根的区别”设为三星重点并配以对比表格，强化学生的逻辑思维和符号意识；设计“开方运算与数轴结合化简”专题，引导学生用几何直观理解代数表达，提升数学建模能力；特别设置“易错点警示卡”和“口诀记忆法”，例如“负数无平方根”用“负数不开方，零是唯一解”简化记忆，既降低认知负荷又增强应用意识。此清单不仅便于学生自主复习巩固，也为教师精准施教提供有力支持，实现教学评一体化。

专题01 数的开方（4知识&13题型&3易错&3方法清单） 【清单01】平方根的概念、性质及其运算 ①平方根的概念：如果一个数的 等于a，那么这个数叫做a的 （例如5的平方是25，所以5是25的平方根；0的平方是0，所以0的平方根是0） 符号表示：平方根用符号，a的平方根记作，a称为被开方数。 ②算术平方根的概念：正数a正的平方根叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a” 注意：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ③开平方运算：求一个非负数的平方根的运算，叫做 。求一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根。 两个重要公式：①；② 【清单02】立方根的概念、性质及其运算 ①立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，数a的立方根，记作 ，读作“三次根号a”，其中，a是被开方数，3是根指数。 注意：任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做 。 【清单03】无理数的概念 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，例如，，π等 常见无理数：①开不尽方的数，如，等；②无限不循环小数，如2.121121112......，3.142512......等；③化简后仍然含有π的数，如2π等。 【清单04】实数的概念、分类及其运算 ①实数的概念： 和 统称为实数。 ②实数的分类： ③实数与数轴的关系：‌实数与数轴上的点是 关系‌，即每个实数对应数轴上唯一一个点，反之每个点也对应唯一一个实数 ④实数的运算：实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方。运算顺序为先 ，再 ，最后算 ，有括号的先算括号里面的。 【题型一】利用平方根和立方根概念判断选项是否正确 【例1】（24-25八年级·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 【变式1-1】（24-25八年级·四川内江·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．是1的平方根 C．8的立方根是 D． 【变式1-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．的算术平方根是5 B．3是9的一个平方根 C．负数没有立方根 D．立方根等于它本身的数是0，1 【变式1-3】（24-25八年级·福建漳州·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 【题型二】已知一个数的平方根求这个数 【例2】（24-25八年级·安徽滁州·期中）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【变式2-1】（24-25八年级·江苏无锡·期中）一个正数的平方根为和，则这个正数为 ． 【变式2-2】（24-25八年级·湖南长沙·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【变式2-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【题型三】平方根和立方根的实际应用 【例3】（24-25八年级·广西桂林·期中）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【变式3-1】（24-25八年级·全国·期中）有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 【变式3-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【变式3-3】（2024八年级·广东佛山·期中）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【题型四】与立方根有关的规律问题 【例4】（24-25八年级·辽宁营口·期中）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【变式4-1】（24-25八年级·云南曲靖·期中）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【题型五】算术平方根和立方根的综合 【例5】（24-25八年级·安徽合肥·期中）已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【变式5-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【变式5-2】（24-25八年级·湖南永州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式5-3】（24-25八年级·江西吉安·期中）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【题型六】判断是否为无理数 【例6】（23-24八年级·宁夏银川·期中）在，π，3.14159，， ，中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25八年级·福建漳州·期中）下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式6-2】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】（24-25八年级·江苏苏州·期中）下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D． 【题型七】实数与数轴的综合 【例7】（24-25八年级·宁夏吴忠·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级·河北唐山·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级·四川绵阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D． 【变式7-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型八】实数比较大小 【例8】（24-25八年级·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型九】与实数运算相关的规律问题 【例9】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【题型十】实数的实际应用 【例10】（24-25八年级·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式10-1】（24-25八年级·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【变式10-2】（24-25八年级·福建厦门·期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【题型十一】新定义下实数的运算 【例11】（24-25八年级·江西南昌·期中）对有理数、，定义运算*如下：，如：．试求的值．（   ） A． B． C．6 D．8 【变式11-1】（24-25八年级·浙江衢州·期中）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①，②，③，其中推断正确的是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【变式11-2】（25-26八年级·全国·期中）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有 个． 【变式11-3】（24-25八年级·江苏无锡·期中）对于两个实数，我们定义：，那么 ； ． 【题型十二】程序设计与实数运算 【例12】（24-25八年级·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【变式12-1】（24-25八年级·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25八年级·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 【变式12-3】（24-25八年级·重庆开州·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ． 【题型十三】对无理数进行估算 【例13】（24-25八年级·河南郑州·期中）估算（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式13-1】（24-25八年级·广东深圳·期中）估算的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式13-2】（24-25八年级·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 有多大呢？，，，，，；，，；又，， (1)的近似值为__________结果保留两位小数 (2)用上述方法估算的计算值结果保留两位小数 (3)若的整数部分为，小数部分为，，均为有理数且满足，求的值 【变式13-3】（24-25八年级·浙江宁波·期中）在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题： (1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； (2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________； ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； ③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根． 【题型一】利用平方根和立方根解方程时容易忽略开平方需要添加“±” 【例1】（25-26八年级·全国·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25八年级·湖北武汉·期中）求下列式子中的x的值： (1) (2)． 【变式1-2】（2025八年级·全国·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【题型二】对实数的分类混淆 【例2】（24-25八年级·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{            }； 负分数：{           }； 无理数：{           }． 【变式2-1】（24-25八年级·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【变式2-2】（24-25八年级·广西南宁·期中），6，，，，0，，，， 有理数集合：{           ……} 无理数集合：{           ……} 正有理数集合：{           ……} 负有理数集合：{           ……} 【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④，⑤3.5，⑥，⑦，⑧，⑨0.010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）． 负数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 分数集合：{__________________…}； 非负数集合：{__________________…}． 【题型三】实数综合运算中错看（-1）2和-12，开绝对值错误等 【例3】（24-25八年级·福建莆田·期中）计算： (1) (2) 【变式3-1】（23-24八年级·广东广州·期中）计算： 【变式3-2】（24-25八年级·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】（24-25八年级·云南昆明·期中）计算：． 【题型一】利用算术平方根的非负性求解 ①题型：算术平方根的非负性通常结合到平方的非负性、绝对值的非负性一起考查，通常以=0等形式出现 解决方法：分别令a=0，b=0即可 【例1】（24-25八年级·四川巴中·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级·全国·期中）若，则 ． 【变式1-2】（24-25八年级·四川德阳·期中）已知a满足，则的值为 ． ②题型：当题目中出现两个根号且根号里面的被开方数互为相反数，例如即可得到x=1 解题方法：当出现以上所说题型时可直接令被开方数为0即可 【例2】（24-25八年级·河南许昌·期中）已知，，求的值． 【变式2-1】（24-25八年级·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【变式2-2】（24-25八年级·山东烟台·期中）若，则的算术平方根为 ． 【变式2-3】（24-25八年级·四川眉山·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【题型二】开平方运算与数轴结合进行化简求值 题型：一般是题目给出一条数轴和一个需要进行开平方运算的式子，让我们化简求值 解决方法：1.利用开平方公式①；② 2.去绝对值方法：①判断绝对值里面的数（式子）与0的大小；②如果大于0，则直接将绝对值变为括号，如果小于0，则先将绝对里面的数变为相反数，再将绝对值变为括号；③最后开括号，合并同类项即可。 【例3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级·云南昭通·期中）实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（24-25八年级·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【变式3-3】（24-25八年级·全国·期中）根据图象所示化简： a，b为实数，试化简：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方（4知识&13题型&3易错&3方法清单） 【清单01】平方根的概念、性质及其运算 ①平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（例如5的平方是25，所以5是25的平方根；0的平方是0，所以0的平方根是0） 符号表示：平方根用符号，a的平方根记作，a称为被开方数。 ②算术平方根的概念：正数a正的平方根叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a” 注意：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ③开平方运算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。求一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根。 两个重要公式：①；② 【清单02】立方根的概念、性质及其运算 ①立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，数a的立方根，记作，读作“三次根号a”，其中，a是被开方数，3是根指数。 注意：任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 【清单03】无理数的概念 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，例如，，π等 常见无理数：①开不尽方的数，如，等；②无限不循环小数，如2.121121112......，3.142512......等；③化简后仍然含有π的数，如2π等。 【清单04】实数的概念、分类及其运算 ①实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 ②实数的分类： ③实数与数轴的关系：‌实数与数轴上的点是一一对应关系‌，即每个实数对应数轴上唯一一个点，反之每个点也对应唯一一个实数 ④实数的运算：实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方。运算顺序为先乘方和开方，再乘法和除法，最后算加法和减法，有括号的先算括号里面的。 【题型一】利用平方根和立方根概念判断选项是否正确 【例1】（24-25八年级·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项． 【详解】解：A. 25的算术平方根是5，正确． B. ，9的平方根是，正确． C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确． D. ，16的平方根是，但选项仅指出，错误． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级·四川内江·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．是1的平方根 C．8的立方根是 D． 【答案】B 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可得． 【详解】解：A、1的平方根是，故此选项错误； B、和1都是1的平方根，故此选项正确； C、8的立方根是2，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．的算术平方根是5 B．3是9的一个平方根 C．负数没有立方根 D．立方根等于它本身的数是0，1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟记概念是解题的关键． 【详解】解：A. 的算术平方根是，说法错误； B. 3是9的一个平方根，说法正确； C. 负数的立方根是负数，说法错误； D. 立方根等于它本身的数是0，1，，说法错误； 故选B． 【变式1-3】（24-25八年级·福建漳州·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的概念，根据平方根与立方根的概念逐一分析各选项即可，正确理解平方根与立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意； 、的立方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【题型二】已知一个数的平方根求这个数 【例2】（24-25八年级·安徽滁州·期中）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的概念是解题的关键；由题意易得，然后可得a的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这个数为； 故选C． 【变式2-1】（24-25八年级·江苏无锡·期中）一个正数的平方根为和，则这个正数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平方根、一元一次方程的应用等知识点，掌握一个正数有两个平方根且它们互为相反数成为解题的关键． 先根据平方根求得m的值，再求得，最后求出这个整数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个数是． 故答案为9． 【变式2-2】（24-25八年级·湖南长沙·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出m的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得， ∴． 故答案为：4． 【变式2-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； 即a的值为，x的值为49； （2）解：由（1）可知：，， ， 的算术平方根为5． 【题型三】平方根和立方根的实际应用 【例3】（24-25八年级·广西桂林·期中）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级·全国·期中）有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 【答案】6 【分析】本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 【变式3-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 【变式3-3】（2024八年级·广东佛山·期中）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 【题型四】与立方根有关的规律问题 【例4】（24-25八年级·辽宁营口·期中）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 【变式4-1】（24-25八年级·云南曲靖·期中）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 【变式4-2】（24-25八年级·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式4-3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 【题型五】算术平方根和立方根的综合 【例5】（24-25八年级·安徽合肥·期中）已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根、算术平方根的定义得出，即可求出m、n的值，进而可求出、，从而问题得解． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【变式5-2】（24-25八年级·湖南永州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 【变式5-3】（24-25八年级·江西吉安·期中）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 【题型六】判断是否为无理数 【例6】（23-24八年级·宁夏银川·期中）在，π，3.14159，， ，中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的立方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：， 无理数有，，，因此无理数有3个， 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级·福建漳州·期中）下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，为有理数； ，为有理数； ，为无理数； ，为无理数； ，为有理数； （相邻两个1之间0的个数逐次加1），为无理数． ∴无理数有：，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）在实数，0，，，，，（相邻的两个2之间依次多1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，，都是整数，是无限循环小数，都是有理数，是分数，是有理数， 无理数有，，（两个2之间依次多1个，共3个． 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级·江苏苏州·期中）下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数，算术平方根，立方根，根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：A. 是整数，不是无理数，故该选项不符合题意；         B. 是有理数， 不是无理数，故该选项不符合题意；     C. 是分数，不是无理数，故该选项不符合题意；     D. 是无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型七】实数与数轴的综合 【例7】（24-25八年级·宁夏吴忠·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及绝对值、有理数加减法的相关知识，解题的关键是根据数轴上、的位置确定其取值范围，再逐一分析选项． 先由数轴得出、的取值范围，再分别分析每个选项：根据的位置判断是否正确；根据的位置判断是否正确；根据、大小判断符号；根据、取值范围判断符号． 【详解】解：从数轴上可知，在和之间，即；在2和3之间，即． A、因为，所以，该选项正确，不符合题意； B、由于，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，所以，那么，该选项正确，不符合题意； C、因为，且，所以（减去一个负数等于加上它的相反数，是正数），该选项错误，符合题意； D、由，两个数相加，的正数部分大于的负数部分绝对值，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级·河北唐山·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级·四川绵阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，据此计算算术平方根和合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式7-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数和数轴，根据点在数轴上的位置，确定数的大小关系，根据不等式的性质，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， 综上，只有选项C正确， 故选：C． 【题型八】实数比较大小 【例8】（24-25八年级·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D 【变式8-1】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂. 当时，比较、、的大小关系可得出三者的大小顺序． 【详解】比较和： 由于，故两边乘以得：， ∴． ∴，即． 因此，，即； ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式8-2】（24-25八年级·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法，熟练掌握利用乘方比较根式大小、负数比较大小的规则是解题的关键．分别对每个选项中的数，利用立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法来判断． 【详解】解： A、因为，，且，根据“若（为实数），则”，可得，故此选项不符合题意； B、因为，，且，根据“若（为非负实数），则”，可得，故此选项不符合题意； C、因为，，又，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得，故此选项符合题意． D、因为，，且，所以，故此选项不符合题意；． 故选：C． 【题型九】与实数运算相关的规律问题 【例9】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 【变式9-1】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【变式9-2】（23-24八年级·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 【变式9-3】（24-25八年级·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 【题型十】实数的实际应用 【例10】（24-25八年级·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【变式10-1】（24-25八年级·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【变式10-2】（24-25八年级·福建厦门·期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【答案】2块 【分析】利用算术平方根的性质求出矩形的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木条数. 【详解】解：∵， ∴矩形的长为7和宽为4， 剩余的木料的长为3与宽， ∵2＞＞1，4.5＞3＞3 ∴可以截出2块这样的木条. 【题型十一】新定义下实数的运算 【例11】（24-25八年级·江西南昌·期中）对有理数、，定义运算*如下：，如：．试求的值．（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，理解题目的意思是解题的关键． 根据定义的新运算规则，代入计算即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：D． 【变式11-1】（24-25八年级·浙江衢州·期中）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①，②，③，其中推断正确的是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算的性质判断，逐一验证各推断是否符合运算规则即可． 【详解】解：①：，．由于平方的非负性，，故①正确； ②：，而．因平方结果相同，，故②正确； ③：，而．取反例，，，左边为，右边为，显然不等，故③错误； 综上，正确推断为①②， 故选B． 【变式11-2】（25-26八年级·全国·期中）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则n是“好数”，据此判断即可． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴8是好数； ∵， ∴9是好数； ∵，11是一个质数， ∴10不是好数； ∵， ∴11是好数； ∵，13是一个质数， ∴12不是好数． 综上，可得在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有3个：8、9、11． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25八年级·江苏无锡·期中）对于两个实数，我们定义：，那么 ； ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，实数的混合运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键．根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ∵， ∴ ； 故答案为： 【题型十二】程序设计与实数运算 【例12】（24-25八年级·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 【变式12-1】（24-25八年级·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与流程图计算，根据流程图计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：当为时，，， ∵不是无理数， ∴输入，， ∵的算术平方根是，是无理数， ∴的值是， 故选：． 【变式12-2】（24-25八年级·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25八年级·重庆开州·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出81的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 【详解】解：第一次输入81时，计算的结果为，是有理数 第二次输入9时，计算的结果为，是有理数 第二次输入3时，计算的结果为，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 【题型十三】对无理数进行估算 【例13】（24-25八年级·河南郑州·期中）估算（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解： ， ， 的值在3和4之间． 故选：C． 【变式13-1】（24-25八年级·广东深圳·期中）估算的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，正确得出是解此题的关键,根据无理数的估算方法估算即可得解． 【详解】解：， ，即， ∴即， 的值在5到6之间， 故选：D． 【变式13-2】（24-25八年级·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 有多大呢？，，，，，；，，；又，， (1)的近似值为__________结果保留两位小数 (2)用上述方法估算的计算值结果保留两位小数 (3)若的整数部分为，小数部分为，，均为有理数且满足，求的值 【答案】(1)1.41 (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法，是解题的关键． （1）直接根据题干给出的范围，进行作答即可； （2）利用题干的方法进行判断即可； （3）先根据题干给定的方法，确定的值，再结合，求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的近似值为1.41； 故答案为：1.41； （2）∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴． （3）∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式13-3】（24-25八年级·浙江宁波·期中）在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题： (1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； (2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________； ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； ③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2)①4，；②1；③． 【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）①求出，进而可得答案； ②根据，，求出a，b的值，然后代入计算即可； ③估算出的取值范围，求出x，y的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； ②∵，， ∴，， ∴，， ∴； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【题型一】利用平方根和立方根解方程时容易忽略开平方需要添加“±” 【例1】（25-26八年级·全国·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用立方根解方程； （1）利用立方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ， ， ． 【变式1-1】（24-25八年级·湖北武汉·期中）求下列式子中的x的值： (1) (2)． 【答案】(1)4或 (2)4或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）原方程化为，进而利用平方根定义求解即可； （2）原方程化为，然后利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ∴， 故x的值为4或； （2）解：原方程化为， ∴， ∴或， 故x值为4或． 【变式1-2】（2025八年级·全国·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 【题型二】对实数的分类混淆 【例2】（24-25八年级·浙江温州·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{            }； 负分数：{           }； 无理数：{           }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故整数：{ ①④⑥}； 负分数：{ ②⑤}； 无理数：{}． 【变式2-1】（24-25八年级·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【答案】(1)、、0 (2)、、 (3)、、（每两个1之间依次多一个0） 【分析】本题主要考查了实数的分类、无理数、有理数之间的关系，立方根，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． （1）根据整数的定义进行填空即可； （2）根据分数的定义进行填空即可； （3）根据无理数的定义进行填空即可． 【详解】（1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 【变式2-2】（24-25八年级·广西南宁·期中），6，，，，0，，，， 有理数集合：{           ……} 无理数集合：{           ……} 正有理数集合：{           ……} 负有理数集合：{           ……} 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的分类，根据有理数，无理数，正有理数，负有理数的概念分类即可. 【详解】解：，， 有理数集合：{6，，，0，，，……} 无理数集合：{，，……} 正有理数集合：{6，，……} 负有理数集合：{，，……} 【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④，⑤3.5，⑥，⑦，⑧，⑨0.010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）． 负数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 分数集合：{__________________…}； 非负数集合：{__________________…}． 【答案】①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑦⑨ 【分析】此题主要考查了实数的相关概念及其分类方法，正确把握相关定义是解题关键． 根据有理数、负数、整数的定义分别填空即可． 【详解】，， 负数集合：{　①⑤⑧…} 整数集合：{　①③④…} 分数集合：{　②⑤⑦⑧…} 非负数集合：{　②③④⑥⑦⑨…} 故答案为：①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑦⑨． 【题型三】实数综合运算中错看（-1）2和-12，开绝对值错误等 【例3】（24-25八年级·福建莆田·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）先化简绝对值、开方、乘方，再算加减即可； （2）先化简绝对值、开方，再算加减即可； 【详解】（1） （2） 【变式3-1】（23-24八年级·广东广州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、乘方），解题的关键是熟练掌握各类运算的法则：绝对值的非负性、立方根的符号性质、平方根的定义及乘方的符号规则，再按从左到右的顺序依次计算． 先分别计算式子中每一项的值：根据绝对值法则求，根据立方根定义求，根据平方根定义求，根据乘方规则求；再将各项结果代入原式，进行加减运算得到最终结果． 【详解】解： 【变式3-2】（24-25八年级·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)10(2)7(3)(4) 【分析】（1）根据混合运算步骤，先省略加号，再同号相加即可得到结果； （2）根据乘法的分配律运用简便运算即可得到答案； （3）根据立方根和算术平方根以及二次根式的性质化简式子，再进行计算即可得到答案； （4）根据立方根、算术平方根和取绝对值得到答案即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-3】（24-25八年级·云南昆明·期中）计算：． 【答案】7 【分析】利用绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义，二次根式的性质，有理数的乘方法则计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。 【详解】解：原式． 【题型一】利用算术平方根的非负性求解 ①题型：算术平方根的非负性通常结合到平方的非负性、绝对值的非负性一起考查，通常以=0等形式出现 解决方法：分别令a=0，b=0即可 【例1】（24-25八年级·四川巴中·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、平方根和二次方根的非负性，根据非负性列方程组求解即可． 【详解】解：，， ， 即： 解得： 故选：A ． 【变式1-1】（24-25八年级·全国·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了偶次方，绝对值，二次根式的非负性，乘方运算，解题的关键是熟练掌握非负性． 先利用非负性求出各未知数的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：由得， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级·四川德阳·期中）已知a满足，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】根据算术平方根的非负性可得，进而得到，则可求出 本题考查了算术平方根的非负性，解一元一次不等式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． ②题型：当题目中出现两个根号且根号里面的被开方数互为相反数，例如即可得到x=1 解题方法：当出现以上所说题型时可直接令被开方数为0即可 【例2】（24-25八年级·河南许昌·期中）已知，，求的值． 【答案】55 【分析】本题考查了二次根式的定义，求代数式的值，根据算术平方根的被开数非负求出x的值是解题的关键．根据算术平方根的定义得出，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∴. ∴. ∵， ∴， ∴， ∴．. 【变式2-1】（24-25八年级·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 【变式2-2】（24-25八年级·山东烟台·期中）若，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 【变式2-3】（24-25八年级·四川眉山·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题意得到，，求出，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【题型二】开平方运算与数轴结合进行化简求值 题型：一般是题目给出一条数轴和一个需要进行开平方运算的式子，让我们化简求值 解决方法：1.利用开平方公式①；② 2.去绝对值方法：①判断绝对值里面的数（式子）与0的大小；②如果大于0，则直接将绝对值变为括号，如果小于0，则先将绝对里面的数变为相反数，再将绝对值变为括号；③最后开括号，合并同类项即可。 【例3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，， 原式 ， 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级·云南昭通·期中）实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，绝对值，数轴，有理数的加减， 根据数轴上点的位置可得，且，再根据有理数的加减法法则计算判断，然后去掉绝对值计算即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 原式． 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 【变式3-3】（24-25八年级·全国·期中）根据图象所示化简： a，b为实数，试化简：． 【答案】b 【点睛】本题考查了绝对值的性质、二次根式的化简（）以及根据数轴判断实数的大小与符号，解题的关键是根据数轴信息确定a、b的正负性及的符号，再结合绝对值和二次根式的性质进行化简． 由数轴可知：a 在原点左边，故；b在原点右边，故；且，则；根据绝对值性质“正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数”，得，；又，据此代入原式化简计算． 【详解】解：由数轴信息可知，，且， ∴ （负数减正数结果为负）， 根据绝对值性质：（负数的绝对值是其相反数）， 根据二次根式性质：（ 时，绝对值是其相反数）， ∴ ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $