精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学开学考试数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短. 【详解】令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 故选：A 5. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 96 B. 144 C. 480 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择， 所以共有种涂色方案. 故选：B 6. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 【答案】C 【解析】 【分析】求得样本中心点，得到，即可求解. 【详解】由， 可得数据可得样本中心点为： 代入回归方程，解得：， 所以当时，． 故选：C 7. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式分别求出和，进而求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 可能有2个零点 B. 没有极小值 C. 时， D. 若存在极大值点，其中，则 【答案】D 【解析】 【分析】讨论的范围，根据不同的取值讨论函数的单调性及极值和零点，即可判断A、B两项；再根据得到，根据时的单调性即可判断C；根据分析已知，，解关于的方程即可，得，即可判断D. 【详解】函数的定义域为，. 当时，，根据二次函数性质可知最低点坐标为，此时函数与轴无交点，即函数无零点； 当时，令，或. 当时，在时，，在上，即在上单调递增，在和上单调递减. 故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点. 当时，在时，，在上，即在和上单调递增，在上单调递减. 故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点. 对于A，当时，函数无零点；和时有一个零点；故A错误； 对于B，当时，函数有极小值，故B错误； 对于C，时，，此时在上单调递减，又，所以，故C错误； 对于D，由上述分析可知，则，，即. 已知方程已有一根为，故可因式分解得，解得与相异的根，则，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项即可求解. 【详解】因为在等比数列{}中，， 设等比数列的公比为，则，所以， 故选：. 10. 已知是定义在上的可导函数，则（ ） A. 若，则是增函数 B. 若，则0是的极值点 C. 若，则 D. 若，则是减函数 【答案】AD 【解析】 【分析】易判断A；由，可判断B；利用复合函数的求导法则可判断C；对求导可判断D. 【详解】若，则是增函数，故A正确； 当时，0不一定是的极值点，如，，但没有极值，故B错误； 若，则，故C错误； 因为，所以， 所以在上是减函数，故D正确. 故选：AD. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D. 若随机变量，满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据残差图的意义可判断A的真假；根据相关系数的意义判断B的真假；根据决定系数的意义判断C的真假；根据两个变量之间的关系，求其方差的关系，判断D的真假. 【详解】对于A，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误； 对于B，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确； 对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误； 对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】, 故答案为： 13. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________． 【答案】12 【解析】 【分析】有排列组合即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】每个小组安排一个女生，有种方法， 每个小组安排一名男生，有种方法， 故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有种方法， 故答案为：12 14. 将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再根据组合数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得， 则 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意得出是解决本题的关键. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和（）． （1）求的值； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）65 （2） 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. （3） 由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得：. 即. 【解析】 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 如图，在三棱锥中，，，，． （1）证明：平面PAB； （2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在中，，，所以. 在中，，，，因为，所以.即， 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 又，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证与平面内的两条相交直线，分别垂直，再根据线线垂直，得到线面垂直. （2）根据（1）的有关结论，建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为平面平面，且为中点，则为中点. 则,,,,,. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取； 设平面的法向量为， 则，取. 设二面角为，则， 所以. 17. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 【答案】（1） （2）选择哪种方案都一样.理由：选择方案一：X可能的取值为0，20，40，60，              ， ，       ， 所以， 所以 若选择方案二，设他所获奖品的总件数为Z，则，          ，，，           因为，所以选择方案一和方案二一样． 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式代入计算； （2）列出随机变量的分布列，计算方案一的期望，由二项分布期望公式代入计算方案二的期望，再比较大小可得. 【小问1详解】 记小张分别操作，，抓娃娃机能中奖为事件A，B，C， 则，，，，，．     因为每次的结果互不影响，所以小张分别操作，，抓娃娃机能中奖的概率为：． 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且，的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 【答案】（1）（2）面积为定值 【解析】 【分析】（1）由已知条件推导出，结合及椭圆的定义由余弦定理得，从而求出椭圆方程． （2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，化简整理，即可得到三角形的面积为定值． 【详解】（1）依题意有， 由及椭圆的定义得 由余弦定理得 即 又， 故椭圆的方程为. （2）联立， 可得， 则① 又 由， 可得， ， ，满足① 设原点到直线的距离为，， 为定值. 【点睛】考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题考查逻辑推理，数学运算，数据分析的数学素养，难度较大． 19. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）当时，求证在上恒成立. 【答案】（1） （2）证明：由题意知，要证在上，， 令，则， 显然在上单调减，， 所以存在，则， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以， 因为，所以，则 故在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，问题转化为，恒成立，用分离参数法再转化为求函数的最值． （2）求出在时的最大值，由最大值小于1证得结论成立，注意令，由单调性得有唯一零点，然后得出是最大值，再由的性质证明即可． 【小问1详解】 函数，则， 对任意的恒成立，所以， 故，,， 所以，所以在上为单调递增函数， 所以，所以， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学开学考试数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 96 B. 144 C. 480 D. 600 6. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 7. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 可能有2个零点 B. 没有极小值 C. 时， D. 若存在极大值点，其中，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 已知是定义在上的可导函数，则（ ） A. 若，则是增函数 B. 若，则0是的极值点 C. 若，则 D. 若，则是减函数 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D. 若随机变量，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________． 13. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________． 14. 将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和（）． （1）求的值； （2）证明：； （3）证明：． 16. 如图，在三棱锥中，，，，． （1）证明：平面PAB； （2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值． 17. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 18. 已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且，的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 19. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）当时，求证在上恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $