江苏省南通市海安市2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.满足x2-3x<10的整数x的个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知复数z=(1+i)i,则z在复平面内对应的点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知集合A={9号，1g,27,F32,B=(-2,分，多)，则AnB= A.(-2,) B.份，多) c.(-2,} D.{-2,g,2) 4.曲线y=2x-c0s2x在x=平处的切线方程是 A.y=x+罩 B.y=2x C.y=3x-牙 D.y=4x-罗 5. 在以下四个区间中，函数y=2+1og2x的零点所在的区间是 A.(0,) B.(,) c.（2,1) D.(1,2) 6.某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为18m2的矩形机器人表演区，为了保证观演效果， 表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽3m的观演区，则表演区与观演区所形成的矩 形演区面积的最小值是 A.60m2 B.72m2 C.84m2 D.96m2 高三数学试卷，第1页（共4页) 扫描全能王创建 7.已知函数f(x)=3,不等式f(x)+(1-2x)<0的解集为 2+11 A.(-0,) B.(-o,1) C.（1,+o) D.(,+∞) 8.设函数f(x)=(x-1)lnx+ax2+2x.若f(x)满足对任意的t>0,都存在唯一实数x使 得(x-t)[f(x)-f(t)]=0,则实数a的取值范围是 A.(-0,8) B.(-0,」 C.(-o,-1) D.（-∞，-1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设α，B,y表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是 A.若a∥B,B∥y,则a∥Y B.若a⊥B,B⊥y,则a⊥Y C.若a⊥B,B∥y,则a⊥y D.a,B,y可能交于一点 10.设二次函数f(x)满足：2x≤f(x)≤x2+1,且f(-1)=0,则 A.f(1)=2 B.f'(1)=2 C.f'(-1)>0 D.f(x)≥0 11.已知定义域为R的函数f(x)不恒为0，f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y),且 f(-1)=f(1),则 A.f(1)=0 B.f(0)=1 C.f(1-x)=f(1+x) D.f(1)+f(2)+…+f(2026)=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知二项式(2x+1)"的展开式中，x2的系数为24，则n= 13.据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额 将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍.设该期间月度投资额的月均增长率为，则 1og2(1+r)=- 14.设集合X={x∈Z1≤x≤10}，函数fX+X同时满足条件：①当1<x≤5时，f(x)<x: 当6≤x<10时，f(x)>x:②x≤9，f(x)≤f(x+1):③f(6)=f5)+6,则f(1)+ ∫(2)+(9)+f(10)=,所有符合题设的函数f(x)的个数是 高三数学试卷，第2页（共4页) 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 在平面凸四边形ABCD中，AC=3,BD=3V2,AC与BD相交于点O,∠AOD=45°， (1)若∠AD0=30°，求0A: OD (2)若AD=BC,OA=1,求OD. 16.(15分) 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，甲同学从这8门课中随机选修4 门，要求每类选修课至少选修1门. (1)甲同学恰好选修1门体育类选修课的概率： (2)在已知甲同学首选1门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中 选修艺术类选修课门数X的数学期望， 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，D为BC的中点，BC=DC=2,二面角C:一AD一C 的平面角∠CDC的大小为60°. A (1)证明：A1B∥平面ADC: B (2)证明：CC⊥平面ABC (3)求点A1到平面ADC的距离. D 高三数学试卷，第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(17分) 已知aeR,函数f(x)=2十coSx sinx-ax. (1)求函数f(x)的所有零点之和： (2)证明：Vx≥0，血x≥x-若： (3)x≥0，f(x)≤0，求a的取值范围. 19.（17分) 已知函数f(x)的定义域和值域均为R.对于t∈R,定义集合M={x|f(x)≥t}. （①若fx)=x-lx>0求w x+1,x≤0， (2)若Vx∈A,总有-x∈A,则称A是对称集.证明：“f(x)是偶函数”的充要条件是 “Vt∈R,M,是对称集”； (3)设a,b∈R,函数g(x)的定义域和值域均为R,非空点集P={(a,b)川f(a>g(b)} 满足(a,b)∈P,总有(-a,-b)∈P,判断并证明g(x)的奇偶性. 高三数学试卷，第4页（共4页） 扫描全能王创建 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1~4 CBAD 5-8 BBCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.ACD 10.ABD 11.AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 13.号人 14.22,40 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分) 在平面凸四边形ABCD中，AC=3,BD=3√2，AC与BD相交于点O,∠AOD=45°， (1)若∠4D0=30°，求8器： (2)若AD=BC,OA=1,求OD. 体 解：(1)依题意，在△AD0中，∠DA0=180°-30°-45°=105°. 由正弦定理得，9兰=n∠AD0=sn30 OD sin.∠DA0sin105 …3分 因为sin105'°=sin(60°+45)=sin60cos45+cos60°sin45=Y6+2 4 所以器=6，互 - 2 …6分 (2)由0A=1,AC=3,得0C=2.设0D=m,则0B=32-m. 在△ADO中，由余弦定理得， AD2=042+OD2-204.OD.cos LAOD=m2-2m+1. …9分 在△BCO中，由余弦定理得， N-2 BC2=0B2+0C2-20B.0C.cos∠B0C=m2-4√2m+10. …11分 因为A0=BC,所以m2-V2m+1=m2-42m+10,解得m=号反， 所以oD=5. …13分 参考答案与评分建议，第1页（共6页） 扫描全能王创建 16.(15分) 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，甲同学从这8门课中随机选修4 门，要求每类选修课至少选修1门. (1)甲同学恰好选修1门体育类选修课的概率： (2)在已知甲同学首选1门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中 选修艺术类选修课门数X的数学期望， 解：(1)满足“每类至少选修1门”的选法总数为C。-2=68. …2分 1 恰好选修1门体有类、3门艺术类的选法数为C,C=16. …4分 所以甲同学恰好选修1门体有类选修误的概率P-治总一青 4 答：甲同学拾好选修1门体有类选修课的概率为号次、为丛…6分 (2)满足“已知甲同学已选篮球，则还需从剩余3门体育类、4门艺术类共7门中选 3门，且至少选1门艺术类.”的选法总数为C-1=34. …8分 依题意，X的可能取值为1,2,3. …9分 Cic.=6 则Px=)=x=司 PX=2)=-S 34 网决趋- …12分 所以0-=1x号+2×号+3×号-9 9 答：甲同学彩余三课中艺术类选修课门数X的数学期望为号 …15分 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，BC=DC1=2,二面角C1一AD-C 的平面角∠CDC的大小为60°. A (1)证明：AB∥平面ADC1: (2)证明：CC1⊥平面ABC: (3)求点A1到平面ADC的距离. 参考答案与评分建议，第2页（共6页） 器 扫描全能王创建 证明：(1)连接A1C,与AC1交于点O,连接OD, 易知0为4C的中点，又因为D为C的中点，对- 所以OD为△A1BC的中位线，所以ODMA1B. …2分 又因为A1Bt平面ADC1,ODc平面ADC, 所以AB/平面DG. …4分 (2)因为∠CDC是二面角C1一AD-C的平面角， 所以ADLDC,AD⊥DC./I 又因为DCnDC1=D,DC,DC1C平面CCD, 所以AD⊥平面DCC1·/ 又因为CCC平面DCC1,所以AD⊥CC· …7分 在△CDC中，CD=2,CD=2BC=1,∠CDC=60, 由余弦定理得CC=CD2+CD-2-CD-CD:cos60=3.1J 过混 所以CD+CC=CD,得CDLCC.11 又因为ADNCD=D,AD,CDC平面ABC, 所以CC⊥平面ABC. …10分 (3)以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，CC方向为z轴，建立空间直角坐标系. 则D0,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0) 代 设A(a,0,0(a>0),则C1(0,一1，V),A1(a,0,√) A 码牛 所以DA=(a,0,0),DC=(0,-1,V3), 设平面ADC1的法向量为n=(c,y,, 所以 rDi=x=0,元- nDC=-y十V3z=0. 令z=1,得x=0,y=5,所以n=(0,V5,1), …12分 又因为a材=0,0，V),1 所以点A到平面ADC的距离为d=iu= …15分 川2 参考答案与评分建议，第3页（共6页） 扫描全能王创建 18.(17分) 已知aeR,函数x)=z0a。 (1)求函数f(x)的所有零点之和： 2)证明：Vx≥0，s血x≥x-若： (3)Vx≥0，f(x)≤0，求a的取值范围. 解：(1)依题意，函数f(x)的定义域为R. 因为)=2z0620+x=-w,2 所以f(x)为R上的奇函数. …3分 若(x)=0,则必有f(-x)=-(x)=0. 又f(0)=0,故函数f(x)的所有零点之和为0. …6分 (2)令8树=sinx-x+若.11 …7分 则g'(倒=cosx-1+2x，g'y)=-sinx+x,g()=-cosx+1. 因为cosx≤-1，所以g"(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，故g"(x)在[0，+o)上单 调递增，有g"(x)≥g"(0)=0,故g'(x)在[0，+∞)上单调递增，有 g'(x)≥g'(0)=0,故g(x)在[0，+∞)上单调递增，有g(x)≥g(0)=0, 所以vx≥0，sinx≥x-x …10分 6 （3)依题意，ax产2平06· -x 因为cosx≤1，又由(2)可得， sinx≥ 6 2+cosx 3 所以x≥0，a≥写菊，有a≥号 蹄上%好2 …14分 当号时，四=名平持-0， 令1=2+sx则k0=23-代-到+号≤分 2 故∫'(x)≤0在[0，+∞)恒成立， 所以f(x)在[0，+∞)上递减，故f(x)≤∫(O)=0. 所以a的取值范围是片，+∞). …17分 参考答案与评分建议，第4页（共6页） 扫描全能王创建 19.(17分) 已知函数f(x)的定义域和值域均为R.对于1∈R,定义集合M={x|J(x)≥1). (1)若f(x)= x-1,x>0,求M: x+1,x≤0， (2)若Vx∈A,总有-x∈A,则A是对称集.证明：“f(x)是偶函数”的充要条件是 “Vt∈R,M是对称集”； (3)设a,b∈R,函数g(x)的定义域和值域均为R,非空点集P={(a,b)lf(a)>g(b) 满足V(a,b)eP,总有(-a,-b)eP,判断并证明g(x)的奇偶性。 解：(1)当x>0时，∫(x)=x-1≥0，解得x≥1： 当x≤0时，f(x)=x+1≥0，解得-1≤x≤0， 所以M。=[-1,0]U1,+∞).川 …3分 (2)必要性：m∈M,则f(m)≥t, 因为f(x)是偶函数，则f(-m)=f(m)≥1，所以-meM,. 所以M,是对称集。 …5分 充分性：x∈R,记f(x)=马： 由f(x。)≥f(x)=马，则x∈M,,又M,是对称集， 所以-∈M,从而f(-)≥(x): …7分 记∫(-x)=, 由f(-x)≥f(-x)=2,则-∈M，又M,是对称集， 所以x。eM,从而f(x。)≥f(-x)· …9分 所以f(-x)=f(x) 所以∫(x)是偶函数。 …11分 参考答案与评分建议，第5页（共6页） 扫描全能王创建 (3)g(x)是偶函数，证明如下： 设b∈R,假设g(b)≠g(-b),不妨设g(b)>g(-b) 因为函数f(x)的值域为R, 所以存在aeR,使得f(a)=(b)+8(-b 2 从而g(b)>f(a)>g(-b): …14分 因此(a,-b)eP,所以(-a,b)eP. 则有f(-a)>g(b): 又g(b)>g(-b), 所以f(-a)>g(-b) 因此(-a,-b)eP,所以(a,b)eP. 则有f(a)>g(b),这与g(b)>f(a)矛盾， 故假设不成立，即有g(b)=g(-b), 所以g(x)是偶函数. …17分 参考答案与评分建议，第6页（共6页） 扫描全能王创建