精品解析：甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷

甘肃省武威市凉州区洪祥九年制学校2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，三角形的顶点都在格点上，将三角形绕点O按顺时针方向旋转得到三角形，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数条 5. 数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签的办法确定一个小组进行展示活动，则第2小组被抽到的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形ABCD内接于，，则的度数为（ ）． A. 30° B. 60° C. 120° D. 140° 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝1056 B. x（x﹣1）＝1056×2 C. x（x﹣1）＝1056 D. 2x（x+1）＝1056 8. A(-3，2)关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ） A. (3，2) B. (-3，2) C. (3，-2) D. (-2，3) 9. 若x＝1是关于x一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣2 10. 如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分） 11. 二次函数的对称轴是直线__________． 12. 关于x的一元二次方程(a-2)x2-2x+a2-4 =0有一个根为x= 0，则a=_______． 13. 点与点关于原点对称， 则点坐标_________． 14. 若，是方程的两个根，则________． 15. 已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y=2x2-3上，则y1___y2（填“＞”或“＜”）． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______. 17. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为_________． 18. 在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm． 三、解答题（本题共计10小题，共计66分） 19 解方程：（1）； （2） 20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点 A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）． （1）将△向下平移3个单位后得到△，则点的坐标是 ； （2）将△绕点O逆时针旋转90°后得到△，请在图中作出△，这时点的坐标为 ． 21. 如图，是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若，求． 下面是小雯的解法，请帮他补充完整． 解：⊙O中， ∵D是的中点， ∴， ∴（ ）（填推理的依据） ∵， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴，（ ）（填推理的依据） ∴， ∵A、B、C、D四个点都在⊙O上， ∴（ ）（填推理的依据） ∴ （填计算结果） 22. 正方形网格在如图所示的平面直角坐标系中，现有过格点A，B，C的一段圆弧．请在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，并写出圆心D的坐标． 23. 2021年第十四届全国运动会的吉祥物：“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，现将四张背面完全相同，正面分别印有以上4个吉祥物图案 （1）若从中任意抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好是“羚羚”的概率是 ． （2）若先从中任意抽取1张、记录后放回，洗匀后再任意抽取第2张，求两次抽取的卡片图案相同的概率（用树状图或列表的方法求解）． 24. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 25. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB． （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r． 26. 乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？ （2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ （3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 27. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 28. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省武威市凉州区洪祥九年制学校2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是识别中心对称图形以及轴对称图形，掌握中心对称图形以及轴对称图形的特征是解此题的关键．根据中心对称图形以及轴对称图形的定义逐项判断即可．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、整理得：一元二次方程，故本选项符合题意； D、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程是解题的关键． 3. 在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，三角形的顶点都在格点上，将三角形绕点O按顺时针方向旋转得到三角形，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的概念，根据旋转角的概念找到旋转角是解题的关键． 先根据旋转角的概念找到是旋转角，再根据图形确定度数即可． 【详解】解：如图：由旋转角的定义可：对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，即旋转角是， 由图可知：． 故选：D． 4. 过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数条 【答案】A 【解析】 【详解】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条． 5. 数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签的办法确定一个小组进行展示活动，则第2小组被抽到的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案． 【详解】解：第3个小组被抽到的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6. 已知四边形ABCD内接于，，则的度数为（ ）． A. 30° B. 60° C. 120° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的内接四边形的性质可得 再利用圆周角定理可得答案. 【详解】解：如图，四边形ABCD内接于， 故选C 【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补与圆周角定理”是解题的关键. 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝1056 B. x（x﹣1）＝1056×2 C. x（x﹣1）＝1056 D. 2x（x+1）＝1056 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 8. A(-3，2)关于原点对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ） A. (3，2) B. (-3，2) C. (3，-2) D. (-2，3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的对应的横纵坐标互为相反数可得B点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点C的坐标． 【详解】∵关于原点的对称点是B， ， 关于x轴的对称点是C， 点C的坐标是， 故选A． 【点睛】此题主要考查了两个点关于原点对称和关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 9. 若x＝1是关于x一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10. 如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA，即可证得△OMA是直角三角形，根据勾股定理即可求得AM的长，根据垂径定理即可求得AB． 【详解】解：连接OA， ∵M是AB的中点， ∴OM⊥AB，AB=2AM， ∵OA=10，OM＝6， 在Rt△OAM中，， ∴弦AB=16． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，证明△OAM是直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分） 11. 二次函数的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ． 则此二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 12. 关于x的一元二次方程(a-2)x2-2x+a2-4 =0有一个根为x= 0，则a=_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值． 【详解】解：把x=0代入方程（a-2）x2+2x+4-a2=0得4-a2=0， 解得a1=2，a2=-2， 因为a-2≠0， 所以a的值为-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 点与点关于原点对称， 则点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标关于原点对称的特点“关于原点对称的两个点的坐标互为相反数”可直接进行求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特点是解题的关键． 14. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据方程的系数结合两根之积等于，即可求出结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 15. 已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y=2x2-3上，则y1___y2（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】将点A（-1，y1），点B（2，y2）分别代入y=2x2-3，求出相应的y1、y2，即可比较大小． 【详解】解：∵点A（-1，y1），点B（2，y2）在抛物线y=2x2-3上， ∴y1=2×1-3=-1， y2=2×4-3=5， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，由一元二次方程可知，再由方程有两个实数根可知． 【详解】解：由一元二次方程可知；由方程有两个实数根可知， 解得且， 故答案为：且． 17. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知： 将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为：， 由“上加下减”的原则可知： 将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题，解题的关键是熟练掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 18. 在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm． 【答案】4π 【解析】 【分析】根据弧长的计算公式计算可得答案. 【详解】解：由弧长计算公式为: 可得：==4， 故本题正确答案为4. 【点睛】本题主要考查弧长的计算,其中弧长公式为：. 三、解答题（本题共计10小题，共计66分） 19. 解方程：（1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）将看成整体，利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） 解得：， （2） 解得：， 【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的方法以及整体思想的利用． 20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点 A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）． （1）将△向下平移3个单位后得到△，则点的坐标是 ； （2）将△绕点O逆时针旋转90°后得到△，请在图中作出△，这时点的坐标为 ． 【答案】（1）（1，0）；（2）画图见解析，（-2，3） 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、O1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可，进而可得点的坐标； 【详解】解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）； （2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（-2，3）； 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 21. 如图，是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若，求． 下面是小雯的解法，请帮他补充完整． 解：在⊙O中， ∵D是的中点， ∴， ∴（ ）（填推理的依据） ∵， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴，（ ）（填推理的依据） ∴， ∵A、B、C、D四个点都在⊙O上， ∴（ ）（填推理的依据） ∴ （填计算结果） 【答案】等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补， 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识，包括等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补等知识，解决本题的关键是结合已知条件逐步推导． 根据等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补等知识填空即可 【详解】解：在⊙O中， ∵D是的中点， ∴， ∴，（等弧所对的圆周角相等） ∵， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴，（直径所对的圆周角是直角） ∴， ∵A、B、C、D四个点都在⊙O上， ∴，（圆内接四边形的对角互补） ∴． 故答案为：等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补，． 22. 正方形网格在如图所示的平面直角坐标系中，现有过格点A，B，C的一段圆弧．请在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，并写出圆心D的坐标． 【答案】作图见解析；D(2，0) 【解析】 【分析】连接AC，BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示：D（2，0）． 【点睛】本题考查确定圆的圆心，掌握确定圆心的基本方法是解题关键． 23. 2021年第十四届全国运动会的吉祥物：“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，现将四张背面完全相同，正面分别印有以上4个吉祥物图案 （1）若从中任意抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好是“羚羚”的概率是 ． （2）若先从中任意抽取1张、记录后放回，洗匀后再任意抽取第2张，求两次抽取的卡片图案相同的概率（用树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“金金”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 把“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”4个吉祥物图案的卡片分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有4种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 24. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 【答案】（1），；（2）AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【解析】 【分析】（1）先用x表示出BC，再根据矩形的面积公式求解关系式，根据限制条件AB＜AD列出不等式求解即可； （2）利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴CD=AB=x（米），AD=BC， ∵矩形除AD边外的三边总长为36米， ∴（米）． ∴． 由题意，， ∴ 即自变量的取值范围是； （2）， ∵－2＜0，且对称轴在的范围内 ， ∴ 当时，S取最大值． 即AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及求二次函数的表达式、求二次函数的最值、解一元一次不等式，理解题意，正确求得二次函数的表达式是解答的关键． 25. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB． （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r． 【答案】（1）证明见试题解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接OE，先由CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，再证明DE∥BC，即可证得结论； （2）连接OE，设BE与OD交于F，由（1）知△ODE是等边三角形，OF⊥BF，即可得到，则，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接OE， ∵∠BOD=60°， ∴∠AOD=120°， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴OD⊥BE， ∵CD是圆O的切线， ∴OD⊥CD， ∴ ∵OE=OD， ∴△DOE是等边三角形， ∴∠EDO=∠BOD=60°， ∴ ∴四边形BCDE是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接OE，设BE与OD交于F， 由（1）知△ODE是等边三角形，OF⊥BF， ∴F是OD的中点，F是BE的中点， ∴， ∴ ∵阴影部分面积为6π， ∴， ∴r=6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的性质与判定，垂径定理，等边三角形的性质与判定，弧、弦、圆心角的关系，扇形面积，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？ （2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ （3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）800元；（2）20元；（3）每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【解析】 【分析】（1）用降价前每件利润×销售量列式计算即可得； （2）设每件童装降价元，利用“童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润”列出方程解答即可得； （3）设每件童装降价元，可获利元，利用（2）中的关系列出函数，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）（元）， 答：童装店降价前每天销售该童装可盈利800元； （2）设每件童装降价元， 由题意得：， 解得， 因为要使顾客得到更多的实惠， 所以取， 答：每件童装应降价20元； （3）设每件童装降价元，可获利元， 由题意得：， 整理得：， 将二次函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1250， 答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 27. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）AD=6 【解析】 【分析】(1)连接OD，BD，证明BDC为直角三角形，由点E为BC的中点可得BE=DE=CE，所以，证明出后，可以得出+，所以DE是半圆⊙O的切线． （2）求出BC的长度后，由直角三角形的性质可求出AC的长度，证明DCE是等边三角形后，可得到CD的长度，由即可求出AD的长度． 【小问1详解】 连接OD，BD，如图， 是直径， ， ， E是BC的中点， ， 即 是半径， DE是半圆⊙O的切线． 【小问2详解】 ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，还用到了等边对等角的性质及勾股定理，牢固掌握切线的判定方法和准确计算是做出本题的关键． 28. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，即得出抛物线的解析式．再将一般式改为顶点式，即得出其顶点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案； （3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【小问1详解】 将代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的对称轴为：，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，为4． 当时，， ∴； 【小问3详解】 设，则的高为， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， 当时，即， 此时方程无解； 当时，即 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $